第七章 概率 单元检测卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设A表示事件“3件产品都不是次品”,B表示事件“3件产品全是次品”,C表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列结论正确的是 ( )
A.B与C互斥 B.A与C互斥
C.A,B,C任意两个事件均互斥 D.A,B,C任意两个事件均不互斥
2.甲箱子里有3个白球,2个黑球,乙箱子里有2个白球,3个黑球,从这两个箱子里分别摸出1个球,它们都是白球的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.十二生肖作为中国民俗文化的代表,是中国传统文化的精髓,很多人把生肖作为春节的吉祥物,以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型(如图1),并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案,作为春节的吉祥物.2023年春节前,某兴趣小组的甲、乙两位成员将模型随机抛出,希望能抛出龙的图案朝上(即牛的图案在最上面),两人各抛一次,则恰好出现一次龙的图案朝上的概率为 ( )
A. B. C. D.
图1 图2
4.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.如图2,若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是 ( )
A. B. C. D.
5.某射击运动员射击一次命中目标的概率为p,且每次射击结果相互独立,已知他连续射击三次,至少有一次命中的概率为,则p为 ( )
A. B. C. D.
6.甲、乙两人玩猜数字,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀” 的概率为 ( )
A. B. C. D.
7.一个电路如图3所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,每个开关闭合的概率均为,且是相互独立的,则灯亮的概率为 ( )
A. B. C. D.
图3
8.产品质量检验按过程,主要包括进货检验(IQC),生产过程检验(IPQC),出货检验(OQC).已知某产品IQC单独通过率为,IPQC单独通过率为p(0
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.不透明的口袋内装有2张红色卡片,2张绿色卡片和1张蓝色卡片,从中一次性任意取出2张卡片,则下列说法正确的是 ( )
A.事件“至多有2张卡片为红色”与事件“2张卡片都为绿色”不是互斥事件
B.事件“2张卡片都为红色”与事件“2张卡片都为绿色”发生的可能性不同
C.取出的2张卡片颜色不同的概率为
D.取出1张蓝色卡片的概率为
10.某年级有12个班,现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动,有人提议:掷两个骰子,得到的点数之和是几就选几班,这种选法 ( )
A.公平,每个班被选到的概率都为 B.2班和12班被选到的概率相等
C.不公平,6班被选到的概率最大 D.不公平,7班被选到的概率最大
11.一道试题,A,B,C三人可解出的概率分别为,,,三人独立解答,则下列说法正确的是 ( )
A.只有一人解出试题的概率为 B.至少有两人解出试题的概率为
C.三人都没有解出试题的概率为 D.该试题被解出的概率为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.由红、黄、蓝、白四种发光元件(除颜色外没有区别)连接成霓虹灯系统N,四种发光元件的工作相互独立,当四种发光元件均正常工作时,霓虹灯系统N才能随机地发出亮丽的色彩,当某种元件出现故障时,霓虹灯系统N在该处将出现短暂的黑幕现象,若某时刻出现两处黑幕现象,则需从霓虹灯系统N中抽取两种相应的发光元件进行更换,则一次性从中随机抽取的两个恰为故障发光元件的概率为 .
13.两个袋中各装有写着数字0,1,2,3,4,5的6张卡片,若从每个袋中任意取一张卡片,则取出的两张卡片上数字之和是8的概率为 ,数字之和大于8的概率为 . (本题第一空2分,第二空3分)
14.有甲、乙两台机床生产某种零件,甲获得正品乙获得不是正品的概率为,乙获得正品甲获得不是正品的概率为,且每台机床获得正品的概率均大于,则甲、乙同时生产这种零件,至少一台获得正品的概率是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图4,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效,把这个电路是否为通路看成是一个随机现象,观察这个电路中各元件是否正常.
图4
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:M=“恰好两个元件正常”;N=“电路是通路”;T=“电路是断路”.
16.(15分)已知方程组其中a,b的值从集合{1,2,3,4,5,6}中随机取得.
(1)求该方程组无解的概率;
(2)求该方程组仅有一组解,且该解对应的点在第四象限的概率.
17.(15分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层随机抽样的方法从A,B,C三个区抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区分别有18,27,18个工厂.
(1)求从A,B,C区分别抽取的工厂个数;
(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
18.(17分)当顾客在超市排队结账时,“传统排队法”中顾客会选他们认为最短的队伍结账离开,某数学兴趣小组却认为最好的办法是如图5(1)所示排成一条长队,然后排头的人依次进入空闲的收银台结账,从而让所有的人都能快速离开,该兴趣小组称这种方法为“长队法”.为了检验他们的想法,该兴趣小组在相同条件下做了两种不同排队方法的实验.“传统排队法”的顾客平均等待时间为5分39秒,图5(2)为“长队法”顾客等待时间的柱状图.
(1) (2)
图5
(1)根据柱状图估算使用“长队法”的100名顾客平均等待时间,并说明选择哪种排队法更适合;
(2)为进一步分析“长队法”的可行性,对使用“长队法”的顾客进行满意度问卷调查,发现等待时间为[8,10)的顾客中有5人满意,等待时间为[10,12]的顾客中仅有1人满意,在这6人中随机选2人发放幸运奖,求获得幸运奖的都是等待时间在[8,10)的顾客的概率.
19.(17分)随着小汽车的普及,驾驶证已经成为现代人必考证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在每一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试,若5次都没有通过,则需要重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计,得到如下结论:男性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为,女性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止,
(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;
(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.
第七章 概率 单元检测卷 参考答案
1.B 由题意得事件A与事件B不可能同时发生,是互斥事件;事件A与事件C不可能同时发生,是互斥事件;当事件B发生时,事件C一定发生,所以事件B与事件C不是互斥事件.
2.B 因为甲箱子里有3个白球,2个黑球,所以从甲箱子里摸1个球是白球的概率为;因为乙箱子里有2个白球,3个黑球,所以从乙箱子里摸1个球是白球的概率为.
所以从甲、乙两个箱子里分别摸出1个球,它们都是白球的概率为×=.
3.B 抛出一次恰好出现龙的图案朝上的概率为,出现其他图案朝上的概率为,由于甲、乙抛掷模型的结果相互独立,故所求概率为×+×= .
4.A 从四个阴数(2,4,6,8)和五个阳数(1,3,5,7,9)中分别随机选取1个数,样本空间Ω={(2,1),(2,3),(2,5),(2,7),(2,9),(4,1),(4,3),(4,5),(4,7),(4,9),(6,1),(6,3),(6,5),(6,7),(6,9),(8,1),(8,3),(8,5),(8,7),(8,9)},共20个样本点,其和等于11包含的样本点有(2,9),(4,7),(6,5),(8,3),共4个,∴其和等于11的概率P==.
5.A 因为射击一次命中目标的概率为p,所以射击一次未命中目标的概率为1-p,又每次射击结果相互独立,所以三次都未命中的概率为(1-p)3.因为“连续射击三次,至少有一次命中”的对立事件为“三次都未命中”,所以“连续射击三次,至少有一次命中”的概率为1-(1-p)3=,解得p=.
6.D 由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},依题意得样本点的总数为36.满足要求的样本点有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种.故所求概率为=.
7.B 设“A与B至少有一个不闭合”为事件T,“E与F至少有一个不闭合”为事件R,则P(T)=P(R)=1-×=.记开关C,D不闭合的概率分别为P(),P(),所以灯亮的概率为P=1-P(T)P(R)P()P()=.
8.C 设Ai表示第i次通过IQC,Bi表示第i次通过IPQC(i=1,2),
由题意得P(A1B1+A2B1+A1B2+A2B2)=,
即p+×p+×(1-p)p+××(1-p)p=,解得p=或p=(舍),故选C.
9.AD 设2张红色卡片为R1,R2,2张绿色卡片为G1,G2,1张蓝色卡片为B,从中一次性任意取出2张卡片,该试验的样本空间为Ω={(R1,R2),(R1,G1),(R1,G2),(R1,B),(R2,G1),(R2,G2),(R2,B),(G1,G2),(G1,B),(G2,B)},共10个样本点.
由互斥事件、对立事件的概念可知,事件“至多有2张卡片为红色”与事件“2张卡片都为绿色”不是互斥事件,故A正确. 事件“2张卡片都为红色”与事件“2张卡片都为绿色”包含的样本点都只有1个,所以两个事件发生的概率相同,故B不正确.事件“取出的2张卡片颜色不同”包含的样本点有8个,发生的概率为=,故C不正确.事件“取出1张蓝色卡片”包含的样本点有4个,发生的概率为=,故D正确.
10.BD 掷两粒骰子,每粒骰子得到的点数有 6种结果,故样本点数为36.
两粒骰子的点数和的情况如图D 1所示.
图D 1
由图D 1可以看出掷两粒骰子得到的点数和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12的情况分别有1种,2种,3种,4种,5种,6种,5种,4种,3种,2种,1种.
记“掷两粒骰子,得到点数和为i”的概率为Pi(i=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12),则
P2=P12=,P3=P11==,P4=P10==,
P5=P9==,P6=P8=,P7==.
所以2班和12班被选到的概率相等,7班被选到的概率最大,故选BD.
11.AC 根据题意知三人解出试题是相互独立的,事件“只有一人解出试题”包含“A解出试题而其余两人没有解出试题”“B解出试题而其余两人没有解出试题”“C解出试题而其余两人没有解出试题”,三个事件互斥,所以P(只有一人解出试题)=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×=,所以A正确.同样,可以得出P(只有两人解出试题)=(1-)××+×(1-)×+××(1-)=,P(三人都解出试题)=××=,P(三人都没有解出试题)=(1-)×(1-)×(1-)=,所以C正确.事件“至少有两人解出试题”包含“只有两人解出试题”“三人都解出试题”,这两个事件互斥,所以P(至少有两人解出试题)=+=,所以B不正确.事件“该试题被解出”的对立事件是“三人都没有解出试题”,
所以P(该试题被解出)=1-=,所以D不正确.
12. 记红、黄、蓝、白四种发光元件分别为A,B,C,D,
则从中随机抽取两个的所有情况为AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,
而更换的两个故障发光元件为其中一种情况,
故一次性从中随机抽取的两个恰为故障发光元件的概率为.
13. 从每个袋中任意取一张卡片,样本空间中共有36个样本点.
记“和等于8”为事件A,其包含(3,5),(4,4),(5,3),共3个样本点,所以P(A)==;
记“和等于9”为事件B,其包含(4,5),(5,4),共2个样本点,所以P(B)==;
记“和等于10”为事件C,其包含(5,5),共1个样本点,所以P(C)=.
又“和等于9”与“和等于10”彼此互斥,故取出的两张卡片上数字之和大于8的概率为P(B)+P(C)=+=.
14. 设甲、乙两台机床生产这种零件为正品的概率分别为p,q,则
因为乙获得正品甲获得不是正品的概率为,所以q(1-p)= ②,
①②联立得p=,q=.
所以甲、乙均获得正品的概率为pq=×=,则甲、乙同时生产这种零件,至少一台获得正品的概率是++=.
15.分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态,则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示,用1表示元件的“正常”状态,用0表示“失效”状态.
(1)则样本空间Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)};
(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1,
所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.
“电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,
所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}.
同理,“电路是断路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=0,或x1=1且x2=x3=0.
所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.
16.(1)点(a,b)的所有可能出现的结果共有6×6=36(个),记事件A为“方程组无解”,则直线ax+by=2与直线x+3y=1平行(或重合),即b=3a,其中满足该条件的点有(1,3),(2,6)共2个,所以P(A)==.
(2)记事件B为“该方程组仅有一组解,且该解对应的点在第四象限”,
由解得
又该解对应的点在第四象限,所以
所以或解得或
得点(1,1),(1,2)均满足b≠3a,
所以事件B的样本点个数为2,所以P(B)==.
17.(1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为=,所以从A,B,C三个区抽取的工厂个数分别为2,3,2.
(2)设A1,A2为在A区抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区抽得的3个工厂,C1,C2为在C区抽得的2个工厂,在这7个工厂中随机抽取2个,全部可能出现的样本点有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共有21个.
随机抽取的2个工厂至少有1个来自A区(记为事件X)的样本点有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),共有11个.
所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)=.
18.(1)=6(分),因为使用“长队法”的顾客平均等待时间长于使用“传统排队法”的顾客平均等待时间,所以选择“传统排队法”更适合.
(2)记事件A=“获得幸运奖的都是等待时间在[8,10)的顾客”,
用1,2,3,4,5表示等待时间在[8,10)的满意顾客,用A表示等待时间在[10,12]的满意顾客,
Ω={(1,2),(1,3),(1,4)(1,5),(1,A),(2,3),(2,4),(2,5),(2,A),(3,4),(3,5),(3,A),(4,5),(4,A),(5,A)},n(Ω)=15,
事件A包含的样本点为(1,2),(1,3),(1,4)(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),n(A)=10,
所以P(A)===.
故获得幸运奖的都是等待时间在[8,10)的顾客的概率为.
19.(1)用M表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”,Ai表示“丈夫在第i次参加科目二考试中通过”,Bi表示“妻子在第i次参加科目二考试中通过”,
则P(M)=P(A1B1)+P(B1A2)+P(A1B2)+P(A2B2)=×+××+××+×××=.
(2)用N表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”.
D表示“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”,E表示“妻子参加科目二考试需交补考费200元”,F表示“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”,G表示“妻子参加科目二考试不需要交补考费”,
则P(D)=P(A3)=××=,
P(E)=P(B3)=××=,
P(F)=+×=,P(G)=+×=,
所以P(N)=P(D)P(G)+P(E)P(F)=×+×=.
所以这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为.
