2024-2025学年第一学期浙江省杭州市九年级数学期中模拟卷（解析版）
试卷满分：120分 测试时间：120分钟
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 在中，，，，以C为圆心，为半径作，
则点A与的位置关系是（ ）
A. 点A内 B. 点A在上 C. 点A在外 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．
利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论．
【详解】解：中，，，，
，
，
∴点A在内，
故选：A
2．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用比例的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴===，
故选B．
3. 已知点在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用二次函数对称轴公式，确定对称轴位置，再利用函数的增减性比较即可．
【详解】解：∴抛物线开口向上，对称轴，
∵离对称轴越近，则点的纵坐标越低，
∴，
故选：A．
4. 如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A. 50° B. 60° C. 80° D. 90°
【答案】A
【解析】
【分析】先求解，再结合等腰三角形的性质可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选A
如图，分别是边上的点，，
若，则的长是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
解得， ，
故选C．
6 . 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为．
故选：C．
7 .如图，已知四边形内接于，若，则等于（ ）
A．130 B．140 C．150 D．160
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接四边形及圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得，再利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：四边形是内接四边形，
，
，
故选：B．
8 . 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，
分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，
两弧交于点，射线交于点，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由作图方法可知，是的角平分线，则，进而推出，，则，，设，则，再证明得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图方法可知，是的角平分线，
∴，
∴，，
∴，，
设，则，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴线段的长度是，
故选C．
已知二次函数的图像如图所示，有以下结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数的图像和性质依次判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，．
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∴①错误．
∵当时，．
∴，
∴②错误．
∵当时，，
∴，
∴③正确．
∵对称轴是直线，
∴∴，
∴，
∴④错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
∴⑤正确．
故选：B．
10 . 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB； ②CF＝2AF； ③FC＝DC； ④CD:AD＝: 2．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可得到；
②由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，得到 ，由AE=AD=BC，得到，即CF=2AF；
③作DM∥EB交BC于M，交AC于N，证明DM垂直平分CF，即可证明；
④设AE=a，AB=b，则AD=2a，根据△BAE∽△ADC，得到，即b=a，CD:AD＝:2．
【详解】解：①如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
②∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴，即CF=2AF，
∴CF=2AF，故②正确；
③作DM∥EB交BC于M，交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，
而FC≠DC故③错误；
④设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，
∴，即b=a，CD:AD =，故④正确，
综上所述正确的是①②④，
故选C．
填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
11. 已知线段，，则a，b的比例中项线段长是______.
【答案】4
【解析】
【分析】设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可知，，求得c的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【详解】解：设线段a，b的比例中项为c，
∵c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴，
即，
∴（负数舍去），
故答案：4．
12 .将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位
所得新抛物线的函数表达式为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系内二次函数的图象平移：“左加右减，上加下减”规则解答即可．
【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
所得新抛物线的函数表达式为：；
故答案为：
13 .在一个不透明的袋中装有2个黑色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外都相同，
每次摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，
发现摸到红色小球的频率稳定于0.8，则可估计这个袋中红色小球的个数约为 ．
【答案】8
【分析】根据频率估计摸到红球的概率，可以得到摸到黑球概率，从而可以求得总的球数，可以得到红球的个数．
【详解】解：由题意可得摸到红球的概率为0.8
∴摸到黑球的概率为1－0.8=0.2
∴总的球数为2÷0.2=10（个）
∴红球有：10－2=8（个）
故答案为：8．
14 .如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，
设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.
已知纸板的两条直角边，，
测得边离地面的高度，，则树高是______
【答案】5.5.
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.
【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D
∴△ADEF∽△DCB
∴
∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m
∴解得：BC=4
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米
故答案为5.5.
15．如图，从一块直径为2cm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 cm2．
【答案】
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图，连接AC，
∵从一块直径为2cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，
∴AC为直径，即AC=2cm，AB=BC（扇形的半径相等），
∵在中，，
∴AB=BC=，
∴阴影部分的面积是 （cm2）．
故答案为：．
16 .如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则＝ ．
【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴=．
故答案为：．
解答题（本题共8小题，17、18、19题每小题6分，20、21题每小题8分，
22、23题每小题10分，24题12分，共66分）
17. 如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，∠1＝∠B，AD＝4，AC＝6，求AB的长．
【答案】9
【分析】由条件可证明△ACD∽△ABC，于是可得，再代入已知数据即可求出AB的长．
【详解】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
∴AB＝9
故AB的长为9．
在平面直角坐标系中，已知，；点从开始沿以的速度移动，
点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用，
(1)用含t的代数式表示：线段______ ；________．
(2)当与相似时，求出t的值．
【答案】(1)，；
(2)或
【分析】本题考查了相似三角形的性质、坐标与图形的性质：
（1）根据路程速度时间，即可求解；
（2）分两种情形：当时和当时，根据数量关系列出算式即可求解；
解题的关键是灵活运用所学知识及利用分类讨论思想解决问题．
【详解】（1）解：由图得：
，；
故答案为：，．
（2）由题意得：
①当时，即：，
．
②当时，即，
．
∴t的值为或．
19 . 为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．
现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，
根据图中提供的信息，回答下列问题．
(1)九年级（1）班的学生人数 人，扇形统计图中 %；
(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为 °；
(3)在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】(1)40，55
(2)36
(3)
【分析】（1）根据投中1次的人数及所占百分数求总人数，求出投中2次的人数，除以总人数即可求出所占的百分数；
（2）求出投中3次的人数所占比例，乘以360度即可；
（3）画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出抽到一男一女的情况数，利用概率公式求解．
【详解】（1）解：九年级（1）班的学生人数（人），
投中2次的人数为：（人），
扇形统计图中，
故答案为：40，55；
（2）解：扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为：，
故答案为：36；
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到一男一女的情况有8种，
，
即恰好抽到一男一女的概率是．
20. 如图，弦的延长相交于圆外一点A，连结．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，
（1）根据圆周角定理可得，再由，即可证得；
（2）根据，可得，即可求解．
熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴
∴．
21. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤20）；（2）每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；
（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（12，28）、（15，25）代入，得：
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤20）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤20，
∴当x＝20时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
22 . 根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．
问题解决
任务1
计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角
【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到；
任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可；
任务三：根据题意给出合理的建议即可．
【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，
由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴素材1中的投掷距离为4m；
（2）建立直角坐标系，如图，
设素材2中抛物线的解析式为，
由题意得，过点，
∴，
解得，
∴
∴顶点纵坐标为，
（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
23. 课题学习：
【证明体验】
（1）如图1，在四边形中，点P为上一点，，求证：．
思考探究】
（2）如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）5；
【解析】
【分析】（1）如图1，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题．
（3）证明，求出，再证，可求，进而解答即可．
【详解】解：（1）如图1，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）成立，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）∵， 等腰，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，（负根舍去）
∴．
24 .如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．
(2)求证：①；
②．
【答案】(1)
(2)①见详解；②见详解
【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到；
（2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故；
②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明①：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点D作平行线交于点G，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年第一学期浙江省杭州市九年级数学期中模拟卷
试卷满分：120分 测试时间：120分钟
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 在中，，，，以C为圆心，为半径作，
则点A与的位置关系是（ ）
A. 点A内 B. 点A在上 C. 点A在外 D. 无法确定
2． 已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知点在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4. 如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A. 50° B. 60° C. 80° D. 90°
如图，分别是边上的点，，
若，则的长是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6 . 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
7 .如图，已知四边形内接于，若，则等于（ ）
A．130 B．140 C．150 D．160
8 . 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，
分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，
两弧交于点，射线交于点，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
已知二次函数的图像如图所示，有以下结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10 . 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB； ②CF＝2AF； ③FC＝DC； ④CD:AD＝: 2．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
11. 已知线段，，则a，b的比例中项线段长是______.
12 .将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位
所得新抛物线的函数表达式为____________．
13 .在一个不透明的袋中装有2个黑色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外都相同，
每次摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，
发现摸到红色小球的频率稳定于0.8，则可估计这个袋中红色小球的个数约为 ．
14 .如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，
设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.
已知纸板的两条直角边，，
测得边离地面的高度，，则树高是______
15．如图，从一块直径为2cm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 cm2．
16 .如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则＝ ．
解答题（本题共8小题，17、18、19题每小题6分，20、21题每小题8分，
22、23题每小题10分，24题12分，共66分）
17. 如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，∠1＝∠B，AD＝4，AC＝6，求AB的长．
在平面直角坐标系中，已知，；点从开始沿以的速度移动，
点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用，
用含t的代数式表示：线段______ ；________．
当与相似时，求出t的值．
19 . 为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．
现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，
根据图中提供的信息，回答下列问题．
九年级（1）班的学生人数 人，扇形统计图中 %；
扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为 °；
在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，
请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
20. 如图，弦的延长相交于圆外一点A，连结．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
21. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22 . 根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．
问题解决
任务1
计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
23. 课题学习：
【证明体验】
如图1，在四边形中，点P为上一点，，
求证：．
思考探究】
如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，
上述结论是否依然成立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．
点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
24 .如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，
延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．
(2)求证：①；
②．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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