第二章 一元二次方程
一、选择题
下列关于 的方程中，一定是一元二次方程的是
A． B．
C． D．
方程 的解是
A． B．
C． ， D． ，
用配方法解方程：，下列配方正确的是
A． B．
C． D．
等腰三角形的底和腰是方程 的两根，则这个三角形的周长为
A． B． 或 C． D．无法确定
如果一元二次方程 的两个根是互为相反数，那么有
A． B．
C． D．以上结论都不对
如图，在一幅长 ，宽 的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为 ，则满足的方程是
A． B．
C． D．
已知 是方程 的一个根，则代数式 的值等于
A． B． C． D．
为迎接“双十一”促销活动，某服装店从 月份开始对秋装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价 元的秋装，优惠后实际仅需 元．设该店秋装原本打 折，则有
A． B．
C． D．
二、填空题
以 ， 为根，且二次项系数为 的一元二次方程是 ．
若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 ．
当 时，代数式 的值为 ．
有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感．假设每轮传染中，平均一个人传染了 个人，依题意可列方程，得 ．
已知方程 的一个根是 ，则另一个根是 ， 的值是 ．
某机械厂七月份生产零件 万个，第三季度生产零件 万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为 ，那么方程是 ．
如图，某小区规划在一个长 、宽 的长方形 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为 ，那么通道的宽应设计成多少 ？设通道的宽为 ，由题意列得方程 ．
若关于 的一元二次方程 有实数根，且其中一个根是另一根的一半时，称之为“半根方程”．如果关于 的一元二次方程 是“半根方程”，那么 的值为 ．
三、解答题
解方程．
(1) ． (2) ．
某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长 ，宽 ，矩形冰场的长与宽的比为 ，如果要使冰场的面积是原空地面积的 ，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
已知关于 的一元二次方程 ．
(1) 求证：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数 的值．
已知，平行四边形 的两边 ， 的长是关于 的方程 的两个实数根．
(1) 当 为何值时，四边形 是菱形？求出这时菱形的边长．
(2) 若 的长为 ,那么平行四边形 的周长是多少？
“佳佳商场”在销售某种进货价为 元/件的商品时，以 元/件售出，毎天能售出 件，调査表明：这种商品的售价每上涨 元/件，其销售量就将减少 件．
(1) 为了实现每天 元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？
(2) 物价局规定该商品的售价不能超过 元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？
关于 的方程 ．
(1) 求证：无论 为何值，方程总有实数根．
(2) 设 ， 是方程 的两个根，记 ， 的值能为 吗？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由．
答案
一、选择题
1. C
2. C
3. A
4. C
5. B
6. B
7. C
8. C
二、填空题
9.
10.
11. 或
12.
13. ；
14.
15.
16. 或
三、解答题
17.
(1)
(2)
18. 设矩形冰场的长为 ，宽为 ．
列方程解方程，得上、下通道的宽度为 ，
左、中、右通道的宽度为 ．
答：上、下通道的宽度为 ，左、中、右通道的宽度为 ．
19.
(1)
所以此方程总有两个实数根．
(2) 根据求根公式得：
，
所以 ．
．
因为方程的两实数根都是整数．
所以正整数 或
20.
(1) 方法一：
，
，
，，
即 ，，
由菱形的性质可知，，
得 ，
解得 ，
．
(2) 把 代入原方程，得：，
解得：，
将 代入原方程，得：，
方程的另一根 ，
平行四边形 的周长是 ．
21.
(1) 设商品的定价为 元，根据题意可知：解得：答：售价定为 元或 元．
(2) 设利润为 元，．
因为 ，
所以，当 时， 取得最大值．
又因为 ，
则在 时可取的最大值，即：．
22.
(1) 当 时，原方程可化为 ，
解得：，此时该方程有实根，
当 时，方程是一元二次方程，
无论 为何实数，方程总有实数根，综上所述，无论 为何实数，方程总有实数根．
(2) 由根与系数关系可知，，，
若 ，则 ，即 ，
将 ， 代入整理得：，
解得： (舍）或 ，
的值能为 ，此时 ．
