21.1-21.4二次函数
一、单选题
1．关于x的函数是二次函数的条件是（ ）
A． B．a≠b C． D．
2．已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数，且，则图象一定经过（ ）象限．
A．三、四 B．一、三、四 C．一、二、三、四 D．二、三、四
4．二次函数的图象如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图象相交于、两点，其位置如图所示．若：：，则的长度为（ ）
A．17 B．19 C．21 D．24
7．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
9．对于每个非零自然数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．二次函数的对称轴是直线 ．
12．抛物线的顶点坐标是 ．
13．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ．
14．抛物线关于轴对称的抛物线的解析式是 ；
15．已知二次函数，当时，的取值范围是 ．
16．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．
17．如图，已知二次函数（，为常数，且）的图像与轴交于，两点，若线段的长为4，则的值是 ．
18．如图，二次函数的图像与轴的交于与点，则下列结论正确的是 ．（填序号）
①
②
③抛物线与轴的另一个交点坐标是
④若点，，在抛物线上，则
⑤一元二次方程的
三、解答题
19．以下是某同学将二次函数改写成形式的部分运算过程：
解：第①步
第②步
第③步
……
（1）上面的运算过程中，从第_______步开始出现了错误．
（2）请你写出正确的解答过程．
20．已知二次函数的图象为抛物线C．
（1）抛物线C顶点坐标为 ；
（2）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围；
（3）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，求出抛物线的解析式．
21．已知抛物线，求：
（1）这条抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）当x取什么值时，？
（3）当x取什么值时，y随x的增大而减小？
22．我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务．据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）设每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月获得最大利润？
（2）如果每月获得8000元的利润，那么销售单价应定为多少元？；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月销售单价不低于60元，那么每月成本最少需要多少元？
23．已知抛物线．
（1）求抛物线的对称轴（用含的代数式表示）；
（2）若点，在该抛物线上，试比较的大小；
（3）已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围．
24．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线的顶点，连接、，求的面积．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据二次函数的定义，形如这样的函数是二次函数，其中a、b、c是常数，直接求解即可得到答案．
解：当，即，则是二次函数．
故选：B．
2．D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵点都在该抛物线上，，
∴，
故选：D．
3．A
【分析】根据，，，可以判断二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，且二次函数的顶点坐标为原点，由此即可判断二次函数图像经过的象限．
解：∵二次函数中，，，
∴二次函数的解析式为，二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴二次函数的顶点坐标为（0，c），在y轴负半轴，
∴二次函数的图象 经过三、四象限；
故选A．
4．C
【分析】由图知，，对称轴，得，，；时，；时，，变形求解．
解：由图知，，对称轴，得，，，故A选项错误，D选项错误；
时，，故B错误；
时，，得，故C正确；
故选：C．
5．D
【分析】可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
解：A、由一次函数的图象可得：两个a的符号不一致， 故错误；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，矛盾，故错误；
C、由一次函数的图象可得：，由其与y轴的交点可知，矛盾，故错误；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，故正确；
故选：D．
6．C
【分析】根据对称轴，结合即可求解．
解：设对称轴与交于点．
.
，
．
对称轴，．，
：：．
：：：：
．
故选：C．
7．C
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是，
故选：C．
8．D
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
解：∵抛物线与直线交于，两点，
由图可知：抛物线在直线上方时，x的范围是：或，
即的解集是或，
故选D．
9．B
【分析】通过解方程得，，则两点为，，所以，则，然后进行分数的混合运算即可．
解：当时，，
，
解得，，
∴两点为，，
∴，
∴
．
故选∶B．
10．C
【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．
解：设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得
，
其中，即，
①的长不可以为，原说法错误；
③菜园面积的最大值为，原说法正确；
②当时，解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】根据二次函数的对称轴为直线计算即可．
解：已知二次函数，，
所以对称轴为直线．
故答案为：．
12．
【分析】根据抛物线的顶点坐标为直接写出即可．
解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为．
13．
【分析】把代入函数解析式，即可求解．
解：把代入函数解析式，得
，
，
故答案为：．
14．
【分析】由关于x轴对称的点的特点是：横坐标不变，纵坐标变为相反数，可直接得出答案．
解：∵抛物线的图象上的点关于轴对称后横坐标不变，纵坐标变为相反数，
∴得到的抛物线的解析式是，
故答案为：．
15．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
将代入得，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
16．
【分析】找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可．
解：由图象可知，关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
17．12
【分析】先求出抛物线与x轴两个交点的横坐标，再根据线段的长为4，列出方程求解即可．
解：令，则，
解得，
∵线段的长为4，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：12．
18．①③④
【分析】根据函数图像可得，，对称轴为直线，由此可判定①；根据图示，令，函数值小于零可判定②；根据点的坐标与对称轴可判定③；根据函数的对称轴，增减性可判定④；根据图像确定二次函数系数的符号可判定⑤；由此即可求解．
解：二次函数的图像与轴的交于与点，且对称轴为，
∴点，，且，，
∴，
∴结论①，
∵，
∴，故结论①正确；
结论②，
根据图示，当时，，故结论②错误；
结论③抛物线与轴的另一个交点坐标是，
∵，对称轴为，
∴，故结论③正确；
结论④若点，，在抛物线上，则，
∵对称轴为，
∴当与时的函数值相等，即，
当时，随的增大而增大，
∵，
∴，
∴，故结论④正确；
结论⑤一元二次方程的，
∵，，，且，
∴，，
∴，故结论⑤错误；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题
19．
（1）解：上面的运算过程中，从第②步开始出现了错误
（2）解：
．
20．
（1）解：，
∴抛物线C的顶点坐标为；
故答案为：
（2）解：∵，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴ 当时，该二次函数的函数值y的取值最小，最小值为1；
当时，；
当时，；
∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为；
（3）解：∵将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，且抛物线C的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为．
21．
（1）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：当时，则，
解得或，
∵，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴当或时；
（3）解：由（2）可得当时，y随x的增大而减小．
22．
（1）解：设，把代入可得，
解得；
∴，
，
∵，抛物线的开口向下，二次函数有最大值，
∴当时，w有最大值为元，
∴当销售单价定为70元时，每月获得最大利润；
（2）解：当时，则，
解得：，；
答：如果每月获得8000元的利润，那么销售单价应定为60元或80元；
（3）解：设成本为S，
依题意得：，
∴，
∵，
∴S随x增大而减小，
∴时，S有最小值为10000元，
答：每月成本最少需要10000元．
23．
（1）解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，与轴的两个交点的横坐标为，，
∴抛物线的对称轴为，即对称轴为．
（2）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为，
∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
∵，
∴．
（3）解：已知点，，
∴线段在轴上，且长为，
∵抛物线的开口向上，与轴的两个交点为，，
∴点在线段上，
∵抛物线与线段只有一个公共点，
∴点不在线段上，
∴或，
∴或．
24．
（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，；当时，
∴，；
∵抛物线经过、两点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
