21.2解一元二次方程复习检测卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．方程有一根为0
B．方程的两根互为相反数
C．方程的两根互为相反数
D．方程无实数根
2．已知和是方程的解，则的值为（ ）
A． B．5 C．2.5 D．无法确定
3．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
4．一元二次方程配方可变形为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程的解是正数，则满足条件的整数m的值的和为（）．
A． B． C． D．
6．对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（ ）
A．1或 B．或7 C． D．
7．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．实数根的个数由b的值确定 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
8．已知，，当取任意实数时，则、的大小关系为（ ）
A．总有 B．可能 C．总有 D．不确定
二、填空题
9．方程的两根之和为 ，两根之积为 ．
10．已知方程的一个根是2，则它的另一个根是 ．
11．当方程没有实数根时，a可以是 ．
12．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为 ．
13．若“※”是新规定的某种运算符号，设，则中的值是 ．
14．下列说法正确的是 ．
①方程的解是；
②方程的两个实数根之积为1；
③以、两数为根的一元二次方程可以为：；
④一元二次方程的两实数根的和为．
15．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为 ．
16．如图，在菱形中，点E是边的中点，点F在边上．若，，，则菱形的边长为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4) ．
18．证明：不论为何值，方程都有实根．
19．关于的一元二次方程．
(1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)若方程两实根 满足，求的值．
20．材料：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．如：一元二次方程的两个实数根分别为，，则，；又如：一元二次方程的两个实数根分别为，，则，．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
(1)一元二次方程的两个根分别为，，则______，______；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，求的值；
(3)若实数m，n满足，，且，求的值．
21．在正方形中，，E，F为对角线上不重合的两个点（不包括端点），，连结并延长交于点G，连结，．
(1)求证：．
(2)设的长为x，的面积为y．
①求y关于x的函数表达式．
②当时，求x的值．
22．【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根!
(1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变为，即（ ）；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长）
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程： ；解得原方程的一个根为 ；
(2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C A B B B C
1．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．根据解一元二次方程求出根的取值，分别判断即可．
【详解】解：A、方程有一根为0，所以A选项的说法正确，不符合题意；
B、方程的两根为，互为相反数，所以B选项的说法正确，不符合题意；
C、方程的两根为，所以C选项的说法不正确，符合题意．
D、，方程无实数根，所以D选项的说法正确，不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意，得到方程的解，从而确定，即可得到答案，熟记一元二次方程的解法是解决问题的关键．
【详解】解：和是方程的解，
，，解得，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可．
【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意；
当时，为一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴，
解得：，
∴且；
综上：；
故选C．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方．
【详解】解：，
∴，
∴，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了分式方程．先根据根的判别式的意义得到且，解得且，解分式方程得到，再利用且，所以的取值范围为且，，然后确定整数的值，最后计算所有满足条件的整数之和．
【详解】解：有两个实数根，
，且，
解得，且，
的分式方程，解得，
的解是正数，
，，
解得且，
的取值范围为且，，
满足条件的整数为，，，，，2，
满足条件的整数和为．
故选：B
6．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用新运算的规定列出方程，解方程求解即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴．
故选B．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，根据的意义得到方程有两个不相等的实数根即可．
【详解】解：因为，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选B．
8．C
【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用作差法得到，据此可得结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴总有，
故选：C．
9． 5
【分析】本题考查解一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵
∴，，
∴，．
故答案为：5，．
10．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时．设方程的另一个根为，根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：设另一个根为，
∴，
∴，
∴另一个根为．
故答案为：．
11．大于1的数
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，当一元二次方程没有实数根时，，由此列不等式即可求解．
【详解】解：当方程没有实数根时，，
解得，
因此a可以是大于1的数，
故答案为：大于1的数．
12．直角三角形
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．原方程可以化为，由题意得出，推出，即可得解．
【详解】解：原方程可以化为：，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
13．
【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，理解新定义※的运算方法是解题的关键．
根据新定义，列出一元二次方程，再求方程即可．
【详解】解：，
又∵
，
，
解得．
故答案为：．
14．③④
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键掌握相关的知识．根据一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根的判别式，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①由，可得，
解得：或，故①错误；
②，
没有实数根，故②错误；
③，，
当时，，，
以、两数为根的一元二次方程可以为：，故③正确；
④一元二次方程的两实数根的和为，故④正确；
故答案为：③④．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则，．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可．
【详解】解：，
，
而，
，
，
故答案为：．
16．30
【分析】先证明，延长与的延长线于G，过点C作交的延长线于H，求出，可得，设，则，再由勾股定理得： ，然后证明，可得，从而得到，，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
延长与的延长线于G，过点C作交的延长线于H，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得： ，
∵，
∴，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：或0（舍去），
∴．
即菱形的边长为30．
故答案为：30
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，一元二次方程的解法，全等三角形的判定和性质，勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形三角形的判定方法，理解菱形的性质，难点是正确的作出辅助线构造全等三角形，灵活运用勾股定理构造方程求解．
17．(1)，；
(2)方程无实数根；
(3)，；
(4)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据因式分解法求解即可；
（2）变形后利用公式法进行求解即可；
（3）变形后利用因式分解法进行求解即可；
（4）变形后利用因式分解法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
或；
（2），
，
，
，
原方程无实数根；
（3），
，
，
或，
，；
（4），
，
，
，
或，
或．
18．见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先求出判别式，再根据非负数的性质即可得到结论．
【详解】解：，
∴不论为何值时，关于x的一元二次方程都有实根．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，，列式计算出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入，再根据的取值确定m的值．
【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
则当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵方程两实根 ，
∴，
∴，
∴．
20．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，读懂材料是解题的关键．
（1）用材料中给出的，直接计算即可；
（2）将变形为，即可求解；
（3）由，，可得m，n是一元二次方程的两根，进而求出和的值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，，，
故答案为：，；
（2）解：由题意知，，，
则；
（3）解：实数m，n满足，，且，
m，n是一元二次方程的两根，
，，
，
，
，或，
．
21．(1)详见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用正方形的性质，结合平行线的判定定理，求证：．
（2）①连接，交于点H．利用正方形的性质，三角形面积公式及解答即可．
②过F作于点I，作于点J，根据面积关系，建立方程解答即可．
【详解】（1）证明：在正方形中，
，，
，
，
，
，
．
（2）解：①连接，交于点H．
在正方形中，，，，，
，
，
，
．
②过F作于点I，作于点J，
，，
，
，
，
解得或（舍去）．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握性质和判定是解题的关键．
22．(1)；，
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程—配方法，数形结合是关键
（1）根据赵爽的解法变形一元二次方程，画出大正方形，构造新方程，求出方程的一个正解即可；
（2）仿照赵爽的解法变形一元二次方程，构造新的关于x的方程，解出正数解即可．
【详解】（1）解：第一步，将原方程变为，变形得：，
第二步，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图：
第三步，根据大正方形的面积可得新的方程：，
解得原方程的一个根为．
故答案为：；，；
（2）解：方程变形为：，
根据赵爽的解法可造方程为：，
∵，，
∴（舍去负值），
∴，
∴原方程的一个正数解为：．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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