第3章：圆的基本性质能力提升测试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：A．直径相等的两个圆是等圆正确；
B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，当弦为直径时不成立，故此选项不正确；
C.圆中最长的弦是直径正确；
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧正确。
故选择：B
2.答案：C
解析：如图，连接OC、OD.
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD=DA=4，
∴弧AD=弧CD=弧BC，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.
又OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4，
∴⊙O的周长=2×4π=8π.
故答案为：C.
3.答案：A
解析：，
，
四边形是的内接四边形，
，
．
故答案为：．
4.答案：C
解析：正六边形内接于，
，
，
是等边三角形，
，
故选择：．
5.答案：B
解析：∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝4，
∴OA＝．
故选择：B．
6.答案：B
解析：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
故选择：B．
7.答案：A
解析：，
，
平分，
，
是的直径，
，
．
故选择：．
8.答案：C
解析：设与交于点，
弦的长为，，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得（负值舍去），
，
，
，
点在圆外．
故选择：．
9.答案：A
解析： 如图，连接AC，CM，BM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AC是圆的直径，
∴∠AMC=90°，
∵该圆的半径为5，
∴AC=10，
∵点M是的中点 ，
∴弧AM=弧CM，
∴AM=CM，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴∠ACM=45°，AM2+CM2=2AM2=AC2=100，
∴∠ACM=∠ABM=45°，AM2=50，
设AB为x，BC=y，且x＞y，
则，
解得或(舍去)，
即，
∵MN⊥AB，且∠ABM=45°，
∴△MNB是等腰直角三角形，
∴MN=BN，
∴AN=AB-BN=-MN，
∵AN2+MN2=AM2，
∴，
解得MN=或MN=（舍去）.
故选择：A.
10.答案：A
解析：由于是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可
作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则
， ，此时为最小值
连接，
平分，，
，
在中，，
，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：A．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：∵半径OA＝60cm，圆心角∠AOB＝100°，
∴这段弯管中的长
故答案为：
12.答案：65
解析：连接，
，
，
是的直径，
，
，
故答案为：65．
13.答案：
解析：连接OB，
∵E是的中点，
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴
故答案为
14.答案：
解析：是所对的圆周角，
．
，
．
又，
，
，
即．
故答案为：．
15.答案：
解析：，，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
16.答案：
解析：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，
如图，连接，，过点作，垂足为，
在中，，，
，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知，
在中，∵
故答案为：
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1） 是圆的一条弦，，
，
，
的度数是；
（2）是圆的一条弦，，
，
设圆的半径长为，
在中，，
，
，
∴圆的半径长为3．
18.解析：（1）和相等的角是∠G．证明如下：
∵AB是的直径且，∴，∴．
（2）∵，∴．
∵，
∴，
∴．
19.解析：（1）连接，
∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
答：该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米．
（2）解：∵米，，
∴米，
构造如图所示矩形，连接，
当时，
∵，
∴，
∴米，
根据勾股定理可得：米，
∴（米），
∵，
∴此货船不能顺利通过这座桥．
20.解析：（1）证明：连结BD，
∵AB是的直径，
∴．
∵，
∴．
又∵D为的中点，
∴．
∴，
∴．
（2）．
证明：延长DE交于点G，
∵，
∴，．
又∵D为的中点，
∴，
∴，
∴，即．
21.解析：（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）连结AO并延长AO交于点H，
∵，
∴，，
∴，
连结OC，设，则，
在中，，
解得，
∵OH是的中位线，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22.解析：（1）证明：如图，过点O作OM⊥EF于点M，ON⊥CD于点N，连接OF、OD，
则∠OMF=∠OND=90°，
∵PB平分∠DPF，OM⊥EF，ON⊥CD，
∴OM=ON，
在Rt△OFM和Rt△ODN中，
∵，
∴Rt△OFM≌Rt△ODN（HL），
∴FM=DN，
∵OM⊥EF，ON⊥CD，
∴EF=2FM，CD=2DN，
∴CD=EF；
（2）解：∵PE：PF=1：3，
∴设PE=x，PF=3x，
∴EF=PE+PF=4x，
∵OM⊥EF，
∴EM=FM=EF=2x，
∴PM=EM-PE=2x-x=x，
∵PB平分∠DPF，∠DPF=60°，
∴∠FPB=DPB=∠DPF=30°，
∴OM=x，OP=x，
在Rt△OPM和Rt△OPN中，
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴PM=PN，
由（1）知：FM=DN，
∴PM+FM=PN+DN，
∴PF=PD，
∵∠DPF=60°，
∴△PDF是等边三角形，
∵PB平分∠DPF，
∴PB⊥DF，垂足为G，
∴DF=PF=3x，FG=DF=，
∴PG=，
∴OG=PG-OP=，
∵AB=2，
∴OF=AB=，
在Rt△OFG中，根据勾股定理，得
，
∴，
整理，得=3，
解得x=±（负值舍去），
∴x=，
∴OG=．
23.解析：（1）证明：∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵设为x度，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴
，
即；
（3）连接，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24.解析：（1）在半对角四边形中，，，
，
，
，
即与的度数和为；
（2）在和中
，
，
，
，
连接，
设，则，
，
，
，
，
，
四边形是半对角四边形；
（3）过点作于，
四边形是半对角四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的直径为．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第3章：圆的基本性质能力提升测试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．圆中最长的弦是直径 D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
2．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4，则⊙O的周长为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于
A． B． C． D．
4.如图，正六边形内接于，，则的长为
A．2 B． C．1 D．
5.如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
6.如图，在中，，，D是边上的一点，以为直径的交边于点E，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为
A． B． C． D．
8.如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
9．如图，半径为5的圆中有一个内接矩形，点M是的中点，于点，若矩形ABCD的面积为30，则线段MN的长为（ ）.
A． B． C． D．
10．如图，在扇形BOC中，,OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB=3，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径OA＝60cm，圆心角∠AOB＝100°，则这段弯管中的长为______ cm（结果保留π）．
12.如图，内接于，是直径，若，则 ．
13．如图，△ABC内接于⊙O，点E是的中点，并连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为____________
14.如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．
15.如图，在中，直径于点，，，则弦的长为 ．
16.如图，在中，是线段上的动点，以为直径作，分别交于点，连接，则线段的最小值是_____________
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题6分）如图所示，是圆的一条弦，，垂足为，交圆于点C、D．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求圆的半径长．
18．（本题6分）如图，AB是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连结AD，AG，GD．（1）找出图中和相等的角，并给出证明．（2）若等于，且，求的度数．
19.（本题8分）某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即），，(1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；
(2)现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？
20.（本题8分）如图，AB为的直径，C为圆上的一点（异于点A，B），D为的中点，AD，BC相交于点P，过点D作于点E，交BC于点F．
（1）证明：．（2）猜想BC与2DE有怎样的数量关系，并证明你发现的结论．
21（本题10分）．如图，内接于⊙O，，，点E为上一点，点F为的中点，连结BF并延长与AE交于点G，连结AF，CF．
(1)求证：．(2)当BG经过圆心O时，求FG的长．
22（本题10分）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分∠DPF，连DF交AB于点G． (1)求证：CD＝EF；
(2)若∠DPF＝60°，PE∶PF＝1∶3，AB＝2，求OG的长．
23（本题12分）．如图1，四边形内接于，，点C在上，于点F．
(1)连接，求证：．
(2)设为x度，为y度，写出y关于x的函数表达式．
(3)如图2，作于点G，连接并延长交于点H．若，求的长．
24（本题12分）．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形
(1)如图1，在半对角四边形中，，，求与的度数之和；
(2)如图2，锐角内接于，若边上存在一点，使得，的平分线交于点，连结并延长交于点，．求证：四边形是半对角四边形；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，交于点，当时，求的直径．
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