第二十九讲 万有引力定律
一、单项选择题
1．科学的思维和研究方法对物理学的发展意义深远，对揭示物理现象的本质十分重要。下列哪项研究是运用理想实验法得到的（ ）
A．牛顿发现万有引力定律 B．卡文迪许用扭秤实验测量计算出万有引力常量
C．开普勒提出行星的运动规律 D．伽利略发现力不是维持物体运动的原因
2．甲、乙两个质点间的万有引力大小为F，若甲、乙两物体的质量均增加到原来的2倍，同时它们之间的距离亦增加到原来的两倍，则甲、乙两物体间的万有引力大小将为（ ）
A．8F B．4F C．F D．
3．2024年6月4日，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，成功进入预定环月轨道。若上升器的质量为m、离月球表面的高度为h，月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则月球对上升器的万有引力的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．《天问》是屈原笔下的不朽诗篇，而天问”行星探索系列代表着中国人对深空物理研究的不懈追求。如图所示，半径相同的两球形行星A、B各有一个近表面卫星C、D，各自绕行周期分别为、，已知，忽略卫星到行星表面的高度，则行星A，B的密度之比为（ ）
A． B．
C． D．2
5．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同，已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，由此可知地球的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．“嫦娥七号”探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆，登陆月球前假设探测器绕月球做周期为的匀速圆周运动，轨道半径可认为等于月球半径。月球绕地球做周期为的匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的倍。引力常量为，则（ ）
A．根据题中所给信息可求出地球的质量 B．根据题中所给信息可求出月球的质量
C．周期和满足 D．地球质量与月球质量之比
7．2024年5月3日17时27分，“嫦娥六号”探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。“嫦娥六号”被月球捕获后，经过调整进入周期为T、距月球表面高度为h的圆形轨道，绕月球做匀速圆周运动。运动的线速度大小为v，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．“嫦娥六号”在地球上的发射速度大于地球的第二宇宙速度
B．月球的第一宇宙速度不大于v
C．月球的质量为 D．月球表面的重力加速度为
8．某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F；在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为。已知引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．该行星的自转周期为 B．该行星的质量为
C．该行星赤道处的重力加速度为 D．该行星的密度为
9．2023年7月20日21时40分，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务。如图，核心舱组合体在离地高度为h处，绕地球做匀速圆周运动。若核心舱与地球中心的连线在单位时间内扫过的面积为，已知地球半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．航天员相对核心舱静止时，所受合外力为零
B．核心舱的运行周期为
C．核心舱处的重力加速度大小为
D．地球的密度为
10．目前的国际空间站将于2024年退役，中国天宫空间站在不久的将来会是人类近地轨道上唯一运行的空间站。用高倍望远镜在地球上观测月球时，如果时间合适可以看到我国空间站在月球前面快速掠过的奇观，称为“空间站凌月”，将空间站绕地球的运动看作半径为r的匀速圆周运动，已知地球半径为R，月球绕地球做匀速圆周运行的周期为T，空间站与月球在同一轨道平面且绕行方向相同，连续两次观测到“凌月”现象的时间间隔为t，则地球表面的重力加速度g可表示为（ ）
A． B．
C． D．
11．天文学家利用开普勒太空望远镜寻找地外行星。当恒星系统中的行星运行到探测器与恒星之间时，由于行星的遮挡，探测器光度计传感器接收到的恒星亮度会变弱。可以根据恒星亮度的这种周期性微弱变化来推算行星和恒星的相关数据。如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做半径为r的匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化（和已知），已知引力常量为G，忽略探测器和恒星Q间的相对运动。则（ ）
A．三者连续两次共线的时间间隔为 B．恒星Q的质量为
C．行星P的质量为 D．恒星Q表面的重力加速度小于
12．如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为2θ，Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（ ）
A．地球的平均密度为
B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为
C．卫星Ⅱ的周期为
D．卫星Ⅱ运动的一个周期内无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号的时间为
二、多项选择题
13．金星的半径是地球半径的，质量为地球质量的，地球表面重力加速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．金星表面的自由落体加速度大于 B．金星表面的自由落体加速度小于
C．金星的平均密度小于地球的平均密度 D．金星的平均密度大于地球的平均密度
14．在外太空的空间站中，宇航员长期处于失重状态，为缓解这种状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站。如图所示，处于外太空的环形空间站绕中心轴做匀速圆周运动，宇航员站在舱壁上，受到舱壁的支持力与宇航员站在地球表面时受到地面的支持力大小相同，以此来模拟重力。已知地球表面的重力加速度大小为g，宇航员做匀速圆周运动的半径为R，宇航员可视为质点。不计其他天体对空间站自转的影响，下列说法正确的是（ ）
A．宇航员的脚应站在内舱壁上
B．宇航员的线速度大小为
C．环形空间站的周期为
D．宇航员受到舱壁的支持力与在地球表面受到的重力不是同种性质的力
15．如图所示，嫦娥五号、天问一号探测器分别在近月、近火星轨道运行。已知火星的质量为月球质量的9倍，火星的半径为月球半径的2倍。假设月球、火星可视为质量均匀分布的球体，忽略其自转影响，则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度与火星表面的重力加速度之比为2：3
B．月球的第一宇宙速度与火星的第一宇宙速度之比为
C．嫦娥五号绕月球转动的周期与天间一号绕火星转动的周期之比为
D．嫦娥五号绕月球转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值与天问一号绕火星转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值相等
16．2022年2月，有科学家报告了迄今观测到的最大星系—“阿尔库俄纽斯”，它离地球30亿光年，自身横跨1630万光年的距离。星系中心有一个超大质量的黑洞，若观测到绕该黑洞做圆周运动的天体A的角速度为，到黑洞中心的距离为，天体B绕黑洞运动的周期与地球绕太阳转动的周期相同，为。已知地球中心到太阳中心的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．该黑洞质量是太阳质量的倍 B．该黑洞质量是太阳质量的倍
C．天体B到该黑洞中心的距离为
D．天体B到该黑洞中心的距离为
17．人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太空电梯”如图甲所示。图乙中，图线A表示地球引力对航天员产生的加速度大小与航天员距地心的距离r的关系，图线B表示航天员相对地面静止时而产生的向心加速度大小与r的关系。图乙中R（地球半径），r0为已知量，地球自转的周期为T，引力常量为G，下列说法正确的有（ ）
A．太空电梯停在r0处时，航天员对电梯舱的弹力为0 B．地球的质量为
C．地球的第一宇宙速度为 D．随着r的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小
18．设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O′为隧道的中点，O′与地心O的距离为，假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体引力为零，P点到O′的距离为x，则（ ）
A．列车在P点的加速度等于
B．列车在P点的加速度等于
C．列车在运动中的最大速度为
D．列车在运动中的最大速度为
三、计算题
19．如图所示，某星球水平地面上，固定放置一个直角三角形斜面AB，斜面的倾角，顶点A高。将小球从点以速度=10m/s水平抛出，恰好落在点，已知该星球半径，万有引力常数，求：
(1)小球的飞行时间；
(2)该星球表面重力加速度；
(3)该星球的平均密度。
20．2024年4月3日，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若遥感四十二号01星发射升空后绕地球做匀速圆周运动，运行周期为，引力常量为，地球表面的重力加速度大小为，地球的半径为，不考虑地球自转的影响，求：
（1）地球的质量；（2）遥感四十二号01星运行的线速度大小。
答案解析
1．D
【详解】A．牛顿通过大量的数据研究推导得出万有引力定律，故A错误；
B．卡文迪许用扭秤实验测量计算出万有引力常量，是建立在实验基础上直接得出的结论，故B错误；
C．开普勒提出行星的运动规律，是开普勒从天文学家第谷观测火星位置所得资料中总结出来的，采用了归纳法，故C错误；
D．伽利略发现力不是维持物体运动的原因，是伽利略在实验的基础上经过抽象推理得出的结论，不能够用实验证明，即运用了理想实验法，故D正确。
故选D。
2．C
【详解】根据万有引力定律的公式
得，甲、乙物体的质量均增加到原来的2倍，同时它们之间的距离亦增加到原来的2倍，则万有引力为
故选C。
3．B
【详解】根据万有引力定律得
故选B。
4．B
【详解】由万有引力提供向心力
解得行星的质量为
行星的体积为
可得行星的密度为
则行星A，B的密度之比为
故选B。
5．B
【详解】在地球表面两极处有
在地球表面赤道处有
联立可得，地球的半径为
故选B。
6．D
【详解】A．月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，则有
解得
由于不知道月球的半径，故不能求出地球的质量，故A错误；
B．嫦娥七号绕月球表面做匀速圆周运动的周期为，则有
解得
由于不知道月球的半径，故不能求出月球的质量，故B错误；
C．开普勒第三定律是相对于同一个中心天体的，不同的中心天体该表达式不正确，故C错误；
D．地球的质量与月球的质量之比等于
故D正确。
故选D。
7．C
【详解】A．“嫦娥六号”在地球上的发射速度大于地球的第一宇宙速度，小于地球的第二宇宙速度，故A错误；
B．第一宇宙速度是航天器最小发射速度，也是航天器最大运行速度。“嫦娥六号”在月球该轨道上的运行速度小于月球的第一宇宙速度，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力
得月球的质量为
故C正确；
D．根据万有引力提供重力
解得
故D错误。
故选C。
8．D
【详解】物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力
在赤道表面静止时，万有引力和重力的合力提供向心力
其中
联立解得
A．根据向心力公式可得，该行星的自转周期为
故A错误；
B．物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力
解得
故B错误；
C．在赤道表面静止时，根据平衡条件，重力等于弹簧测力计的拉力，即
解得
故C错误；
D．根据可知，该行星的密度为
故D正确。
故选D。
9．D
【详解】A．航天员相对太空舱静止时，依然绕地球做圆周运动，所受合外力不为零，故A错误；
B．由题知，核心舱与地球中心的连线在单位时间内扫过的面积为，则核心舱的运行周期为
故B错误；
C．根据万有引力提供向心力得
又根据
联立解得核心舱处的重力加速度大小为
故C错误；
D．根据万有引力提供向心力得
解得
地球的密度为
故D正确。
故选D。
10．A
【详解】设空间站运行的周期为，角速度为
月球的角速度为
已知连续两次出现空间站凌月现象的时间为t，则满足
解得
对空间站由万有引力提供向心力
在地球表面有
联立可得，地球表面的重力加速度为
故选A。
11．B
【详解】A．由图（b）可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为
则三者连续两次共线的时间间隔为
故A错误；
BC．行星P绕恒星Q运行的公转周期为
对行星P，万有引力提供向心力有
可得恒星Q的质量
行星P的质量无法求出，故C错误，B正确；
D．行星P绕恒星Q运行的加速度
由于行星不是贴着恒星表面飞行，恒星Q表面的重力加速度大于，故D错误。
故选B。
12．A
【详解】C．设地球质量为M，卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为r和R，卫星Ⅰ为同步卫星，周期为，近地卫星Ⅱ的周期为T。根据开普勒第三定律
由题图得
可得卫星Ⅱ的周期为
故C错误；
A．对于卫星Ⅱ
对于地球
联立以上各式，可得地球的平均密度为
故A正确；
B．对于不同轨道卫星，根据牛顿第二定律得
所以卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为
故B错误；
D．当卫星Ⅱ运行到与卫星Ⅰ的连线隔着地球的区域内，其对应圆心角为π＋2θ时，卫星Ⅱ无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号，设这段时间为t。若两卫星同向运行，则有
解得
若两卫星相向运行，则有
解得
故D错误。
故选A。
13．BC
【详解】AB根据万有引力与重力的关系可知
解得
即金星表面的自由落体加速度小于，A错误，B正确；
CD根据题意可知
解得
又因为
解得
故金星的平均密度与地球的平均密度之比为
即金星的平均密度小于地球的平均密度，C正确，D错误。
故选BC。
14．BD
【详解】A．宇航员的脚应站在外舱壁上，外舱壁对宇航员的支持力指向圆心提供向心力，故A错误；
B．根据题意有
解得宇航员的线速度大小为
故B正确。
C．处于外太空的环形空间站绕中心轴做匀速圆周运动的周期为
故C错误；
D．宇航员受到舱壁的支持力属于弹力，在地球表面受到的重力属于万有引力，所以宇航员受到舱壁的支持力与在地球表面受到的重力不是同种性质的力，故D正确。
故选BD。
15．BC
【详解】A．在月球表面
解得
同理，可得
所以
A错误；
B．在星球表面，可以认为重力为其圆周运动提供向心力，故有
解得
同理可得
所以
B正确；
C．根据周期公式可知
C正确
D．开普勒第三定律是对于同一中心天体而言，嫦娥五号与天问一号圆周运动的中心天体不同，D错误。
故选BC。
16．BC
【详解】AB．根据万有引力等于向心力，对绕该黑洞做圆周运动的天体A
对地球
解得
选项A错误，B正确；
CD．对天体AB由开普勒第三定律可知
解得
选项C正确，D错误。
故选BC。
17．AB
【详解】A．由图乙可知，太空电梯在r0时，航天员所受地球的引力完全提供其随地球自转所需的向心力，此时，航天员与电梯舱间的弹力为0，故A正确；
BC．太空电梯在r0时，由于航天员的引力完全提供其所需的向心力，设地球的质量为M，航天员的质量为m，则
解得
由第一宇宙速度的表达式得
故B正确，C错误；
D．随着r的增加，航天员所需的向心力
逐渐增加，在时，引力完全提供向心力，此时航天员与电梯舱的弹力为0，当时，电梯舱对航天员的弹力表现为支持力，根据
解得
FN随着r的增大而减小，当时，电梯舱对航天员的弹力表现为指向地心的压力，此时
FN随着r的增大而增大，故D错误。
故选AB。
18．AD
【详解】AB．设地球密度为，在地球表面处有
可得
设P点距地心为，则有
可得
联立可得在P点的重力加速度为
设
列车运动到P点加速度满足
解得
A正确，B错位；
CD．列车在A点受到地球的引力为
列车在A点受到合力为
根据几何关系有
解得
列车在隧道内距的距离时，合力为
可知随均匀变化
列车从A到做加速度减小的加速运动，则列车在点有最大速度，则有
其中
，
联立解得
C错误，D正确。
故选AD。
19．(1)s
(2)
(3)
【详解】（1）研究水平方向运动，有
tan=
解得
s
（2）根据竖直方向的运动规律可知
解得
（3）根据万有引力定律可得
星球密度
联立解得
20．（1）；（2）
【详解】（1）设遥感四十二号01星的质量为，有
解得
（2）设遥感四十二号01星的轨道半径为，有
又
解得
