5.7 三角函数的应用（同步训练）
一、选择题
1.简谐运动y＝4sin 的相位与初相是( )
A.5x－， B.5x－，4
C.5x－，－ D.4，
2.最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是( )
A.y＝sin B.y＝sin
C.y＝sin D.y＝sin
3.简谐运动可用函数f(x)＝4sin ，x∈[0，＋∞)表示，则这个简谐运动的初相为( )
A. B.－
C.8x－ D.8x
4.有一冲击波，其波形为函数y＝－sin 的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A.5 B.6
C.7 D.8
5.某质点做简谐运动，振幅y(单位：cm)与时间t(单位：s)满足y＝，则该函数的最小正周期为( )
A.2π B.π
C.4π D.
6.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin ，则当t＝ s时，电流强度I为( )
A.5 A B.2.5 A
C.2 A D.－5 A
7.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节那天某商场的人流量满足函数F (t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列时间段内人流量增加的是( )
A.[0，5] B.[5，10] C.[10，15] D.[15，20]
8.(多选)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A.该质点的运动周期为0.8 s B.该质点的振幅为－5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D.该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
9.(多选)一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( )
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4sin＋2
二、填空题
10.简谐运动y＝－3sin (x≥0)的频率为________
11.一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________
12.如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为____________
13.稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500·sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是________元．
三、解答题
14.如果某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．
15.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝A sin (ωt＋φ) .
(1)若I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝A sin (ωt＋φ)解析式；
(2)为了使I＝A sin (ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
16.某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
参考答案及解析：
一、选择题
1.C 解析：相位是5x－，当x＝0时的相位为初相，即－.
2.D 解析：由最小正周期为，排除A，B；由初相为，排除C.
3.B 解析：当x＝0时，8×0－＝－，则这个简谐运动的初相为－.故选B.
4.C 解析：由y＝－sin 的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7.故选C.
5.A 解析：易知函数y＝sin 的周期为4π，故y＝的最小正周期为×4π＝2π.
6.B 解析：当t＝ s时，I＝5sin ＝5sin ＝5cos ＝＝2.5 A．
7.C 解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F (t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z．当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15] [3π，5π]，故选C．]
8.AD 解析：由图可知T＝0.6，∴T＝0.8．振幅A＝5 cm，当t＝0.1 s或0.5 s时，v＝0．故选AD．
9.ABC 解析：设点P距离水面的高度为h(米)和t(秒)的函数解析式为h＝Asin(ωt＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜，由题意，hmax＝6，hmin＝－2，
∴解得
∵T＝＝60，∴ω＝＝，则h＝4sin＋2.
当t＝0时，h＝0，∴4sin φ＋2＝0，则sin φ＝－，
又∵|φ|＜，∴φ＝－. h＝4sin＋2，故D错误；
令h＝4sin＋2＝6，∴sin＝1，得t＝20秒，故A正确；
当t＝155秒时，h＝4sin＋2＝4sin 5π＋2＝2米，故B正确；
当t＝50秒时，h＝4sin＋2＝4sinπ＋2＝－2米，故C正确．
二、填空题
10.答案： 解析：由诱导公式可知y＝－3sin ＝3sin ，故频率为＝.
11.答案：7 解析：函数y＝－sinx的周期T＝4，且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7．所以正整数t的最小值是7．
12.答案：y＝－6sinx，x∈[0，24]
解析：设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝．
又当x＝9时，ymax＝6，故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z．
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx，x∈[0，24]．
13.答案：9 000
解析：因为y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin (ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin (2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin ＋9 500.当x＝3时，y＝9 000.
三、解答题
14.解：(1)观察图象知8～14时这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象可知，T＝14－8＝6，所以T＝12
所以ω＝＝.b＝×(50＋30)＝40，A＝×(50－30)＝10，所以y＝10sin ＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝＋2kπ(k∈Z).
又因为|φ|＜，所以φ＝. 所以所求解析式为y＝10sin ＋40，x∈[8，14].
15.解：(1)由图可知A＝300.
因为T＝－＝，所以ω＝＝100π，所以I＝300sin (100πt＋φ).
将点代入解析式，得－＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z.
因为|φ|＜，所以φ＝，所以I＝300sin .
(2)由题意，知≤，所以ω≥200π. 所以正整数ω的最小值为629.
16.解：(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃．所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃．
(2)令10sin＋20＝15，可得sin＝－．
而x∈[4，16]，所以x＝．
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，而x∈[4，16]，
所以x＝．故该细菌的存活时间为－＝小时．
