2024-2025学年四川省内江六中八年级（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.下列等式变形，错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.下列说法中，正确的是( )
的立方根是；
的算术平方根是；
的立方根是；
的平方根是．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.下列运算错误的是( )
A. B. C. D.
4.计算的结果是( )
A. B. C. D.
5.若有一个外角是钝角，则一定是( )
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能
6.若代数式与的值相等，则的值是( )
A. B. C. D.
7.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为( )
A. B. C. D.
9.已知关于的不等式只有两个正整数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如果、、是三角形的三边长，那么代数式的值是( )
A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.“的倍与的差大于”用不等式表示为______．
12.若关于的不等式组的解集为，则的值为______．
13.已知：，则= ．
14.若，，则 ______．
15.等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数是______．
16.如图，在等边三角形中，是角平分线，为线段上一动点，为的中点，连接，，若的最小值为，则______．
17.如图，在中，、分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点下列结论：；； ；；其中正确的是______．
18.我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：是正整数，，在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：根据以上条件，可得 ______若一个两位正整数为正整数，交换其个位上的数字与十位上的数字，得到的新数减去原数所得的差为，则的最大值为______．
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.（12分）计算：
；
；
解方程：；
解不等式组：并写出它的所有整数解．
20.（10分）学校为了奖励在“诗词大赛”中获奖同学，准备购买甲、乙两种奖品，已知购买件甲奖品、件乙奖品，共需元；购买件甲奖品、件乙奖品，共需元．
求每件甲奖品和每件乙奖品各多少元？
如果学校准备购买甲、乙两种奖品共件，总费用不超过元，那么至少购买多少件乙奖品？
21.（12分）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：．
，
当时，的值最小，最小值是．
．
当时，的最小值是．
请你根据上述方法，解答下列各题：
知识再现：当 ______时，代数式的最小值是______；
知识运用：若，当 ______时，有最______值填“大”或“小”，这个值是______；
知识拓展：若，求的最小值．
22.（12分）如图，在与中，，，，把绕点顺时针方向旋转得．
在旋转过程中，当时，求的度数；
如图，在旋转过程中，若边与边相交于点，与边相交于点，连接，设，，，试探究的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由；
在旋转过程中，当与的一边垂直时，直接写出的度数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.．
14.
15.或
16.
17.
18.
19.解：原式
；
原式
；
，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
该不等式的整数解为，其所有整数解为：，．
20.解：设每件甲奖品的价格是元，每件乙奖品的价格是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每件甲奖品的价格是元，每件乙奖品的价格是元；
设购买件乙奖品，则购买件甲奖品，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为．
答：至少购买件乙奖品．
21.，．
，大，．
，
，
，
，
当时，的最小值为．
22.解：，，
，
当时，，
即，
的值不变，理由如下：
是的外角，
，
又是的外角，
，
在中，，
即，
；
当时，如图，
，，
，
即；
当时，如图，
，，
，
，即；
当时，如图，
，，
，
，
，
，即．
综上所述，满足条件的或或．
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