2024～2025学年度第一学期阶段作业（一）
九年级数学
（建议完成时间：120分钟 满分：120分）
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2.在中，，且，则的面积y与x之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
3.用配方法解方程时，若配方后结果为，则的值为（ ）
A． B．13 C． D.7
4.在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5.关于x的一元二次方程没有实数根，则实数n的值可以为（ ）
A．3 B．2 C．1 D.0
6.如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮筐底的距离l是（ ）
（第6题图）
A．4.5m B．3.5m C．4m D．3m
7.某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，若每轮感染中平均一人感染人数相同，则每轮感染中平均一人感染人数为（ ）
A．16 B．17 C．18 D.19
8.如图，二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，设二次函数图象上点A，B之间的部分（含点A，B）为曲线L，过点作直线轴.将曲线L向上平移m个单位长度，若曲线L与直线l有两个交点，则m的取值范围为（ ）
（第8题图）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9.已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为 .
10.若关于x的方程有实数根，则a的取值范围是 .
11.将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移h个单位长度.若得到的抛物线经过点，则h的值是 .
12.如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，且这两块绿地的面积之和为96平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为x米，则所列方程是 .
（第12题图）
13.如图，正方形、的顶点D、F都在抛物线上，点B、C、E均在y轴上.若原点O是BC边的中点，则正方形的边长为 .
（第13题图）
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14.（5分）
用公式法解方程：.
15.（5分）
已知抛物线.
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
16.（5分）
下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：移项，得， 第一步 二次项系数化为1，得， 第二步 配方，得， 第三步 由此可得， 第四步 所以，，. 第五步
（1）小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；
（2）请你写出正确的解答过程.
17.（5分）
已知a是方程的一个根，求代数式的值.
18.（5分）
利用描点法画二次函数的图象，列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … m n …
（1）填空：表中 ， ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象.
（第18题图）
19.（5分）
已知抛物线，k为常数，求证：该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
20.（5分）
若是关于x的二次函数，求m的值.
21.（6分）
已知抛物线.
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移m（）个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值.
22.（7分）
已知抛物线与y轴交于点，顶点B的横坐标为.
（1）求b，c的值；
（2）设m是抛物线与x轴的交点的横坐标，求的值.
23.（7分）
为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低.2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元.
（1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率；
（2）若该制药厂计划2025年对此药剂按此下降率继续降价，预计2025年该药剂的价格为多少元？
24.（8分）
如图①为某景区一长廊，该长廊顶部的截面可近似看作抛物线型，其跨度AB为2m，长廊顶部的最高点与地面的距离CD为3m，两侧的柱子0A、BE均垂直于地面，且高度为2.5m，线段OE表示水平地面，建立如图②所示的平面直角坐标系.
图① 图②
（第24题图）
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）为了夜间美观，景区工作人员计划分别在距离A，B两端水平距离为0.5m处的抛物线型长廊顶部各悬挂一盏灯笼，且灯笼底部要保持离地面至少2.6m的安全距离，现市面上有一款长度为0.2m的小灯笼，试通过计算说明该款灯笼是否符合要求（忽略悬挂处长度）.
25.（8分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴分别交于点、点，与y轴交于点C，连接BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m.
（第25题图）
（1）求直线BC的解析式；
（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若是以PA为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式.
26.（10分）
问题背景
如图，在矩形ABCD中，，，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，沿规定路线移动.
（第26题图）
问题探究
（1）若点P从点A沿AB向终点B移动，点Q从点C沿CD向点D移动，点Q随点P的停止而停止，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着移动，点P从点A移动到点C停止，点Q从点C沿CD向点D移动点Q随点P的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为12？
2024～2025学年度第一学期阶段作业（一）
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1.B 2.A 3.C 4.D 5.A 6.A 7.C 8.B
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9.1 10. 11.4 12.（其他形式正确也可） 13.
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14.解：原方程整理得，
，，，
，
∴，
∴，.
15.解：
（1）∵，
∴该抛物线的对称轴为直线.
（2）由（1）可得抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴（或≤3）时，y随x的增大而减小.
16.解：
（1）三
（2）正确的解答过程如下：
移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
，
由此可得，
∴，.
17.解：由题意得：把代入方程中得：，
∴，
∴.
18.解：
（1），.
（2）画出图象如图所示：
19.证明：令，则，
整理得：，
即，，，
∴.
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根.
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
20.解：∵是关于x的二次函数，
∴，
解得，，
又∵，
∴，
∴.
21.解：
（1）∵，
∴抛物线的顶点坐标为.
（2）该抛物线向右平移m（）个单位长度，得到的新抛物线对应的函数解析式为，
∵新抛物线经过原点，
∴，
解得，（舍去），
∴，故m的值为3.
22.解：
（1）∵抛物线与y轴交于点，
∴.
∵顶点B的横坐标为，
∴，
解得.
（2）由（1）知，抛物线解析式为，
∵m是抛物线与x轴的交点的横坐标，
∴，即，
∴
.
23.解：
（1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）.
答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为30%.
（2）（元），
答：预计2025年该药剂的价格为68.6元.
24.解：
（1）由题意得：抛物线的顶点C的坐标为，点A的坐标为.
∴设该抛物线的函数解析式为：.
将代入解析式，得.
解得：.
∴该抛物线的函数解析式为：.
（2）当时，.
∵，
∴该款灯笼符合要求.
25.解：
（1）设抛物线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令得，
∴，
设直线BC的解析式为：，
将点代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：.
（2）∵点P的横坐标为m，点P在线段BC上，
∴，（），
∴可设新抛物线的解析式为，
点、点，
∴，，.
分情况讨论：
①当时，则，
解得，此时，，
∴新抛物线的解析式为，
∴新抛物线经过原点，
∴，
解得，
∴新抛物线的解析式为；
②当时，，
解得，（此时P与B重合，舍去），
∴，
∴新抛物线的解析式为，
∵新抛物线经过原点，
∴，
解得，
∴新抛物线的解析式为.
综上所述，新抛物线的解析式为或.
注：（2）中所求解析式为其他形式正确均不扣分.
26.解：
（1）如图1，过点P作于E，
图1
设x秒后，点P和点Q的距离是10cm，由题意得，
，
∴，，
由题意知点P的运动时间为，即，故和均符合题意.
∴经过或，P、Q两点之间的距离是10cm.
（2）由点P从点A移动到点C停止知，点P运动的时间为.
设经过y s后的面积为12.
①当点P在线段AB上（如图1），即时，，连接BQ，
∴，即，
解得；
②当点P在线段BC上（如图2），即时，连接BQ，，，
图2
则，
解得，（舍去）
综上所述，经过4秒或6秒，的面积为12.
