期中专项13 实数
一．选择题（共33小题）
1．（2023秋 龙泉市期中）实数的相反数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】实数的相反数是，
故选．
2．（2023秋 瑞安市期中）下列各数中属于无理数的是
A． B． C．0 D．
【答案】
【解析】是分数，属于有理数，则不符合题意；
，是整数，属于有理数，则不符合题意；
0是整数，属于有理数，则不符合题意；
是无理数，则符合题意；
故选．
3．（2023秋 鹿城区期中）在实数中，属于无理数的是
A． B．0 C． D．
【答案】
【解析】是分数，0是整数，是整数，是无理数，
故选．
4．（2023秋 文成县期中）在实数9.3，，，中，属于整数的是
A．9.3 B． C． D．
【答案】
【解析】，
整数是：，
故选．
5．（2023秋 慈溪市校级期中）下列各数：，0，，．，，中，无理数的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】
【解析】有理数有：0，，，；
无理数有：，，；
故选．
6．（2023秋 安吉县期中）在，，，3.1415926，，（每两个2之间依次多一个中，属于有理数的有
A．6个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】
【解析】，3.1415926是分数，它们均为有理数，
则有理数共2个，
故选．
7．（2023秋 江干区校级期中）对于四个实数中，下列说法正确的是
A．是分数 B．是无理数 C．0.33是分数 D．是无理数
【答案】
【解析】是无理数，则不符合题意；
是有理数，则不符合题意；
0.33是有限小数，可化为分数，则符合题意；
是有理数，则不符合题意；
故选．
8．（2023秋 新昌县校级期中）下列判断正确的是
A．无限小数一定是无理数 B．实数与数轴上的点一一对应
C．实数包括有理数，0，无理数 D．实数的绝对值都是正数
【答案】
【解析】由题意知，无限循环小数是有理数，错误，故不符合要求；
实数与数轴上的点一一对应，正确，故符合要求；
实数包括有理数，无理数，错误，故不符合要求；
实数的绝对值都是非负数，错误，故不符合要求；
故选．
9．（2023秋 富阳区校级期中）下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若，互为相反数，则；③若为任意有理数，则；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】①无理数的倒数还是无理数，正确；
②当时，无意义，故若，互为相反数，则说法错误；
③若为任意有理数，则，正确；
④两个负数比较，绝对值大的反而小，故原说法错误．
综上可知正确的有①③共两个．
故选．
10．（2023秋 江山市期中）下列说法错误的是
A ．的平方根是
B ．是最小的正整数
C ． 两个无理数的和一定是无理数
D ． 实数与数轴上的点一一对应
【答案】
【解析】、，的平方根是，故本选项错误；
、，是最小的正整数， 故本选项错误；
、举一反例：和均为无理数， 其和为，故本选项正确；
、有理数和无理数均可在数轴上找到对应点， 故本选项错误 ．
故选．
11．（2023秋 嵊州市期中）若是有理数，是无理数，则下列说法正确的是
A．可能是有理数 B．一定是无理数
C．一定是无理数 D．可能是有理数
【答案】
【解析】、若，，则，是有理数，故选项正确；
、若，，则，是有理数，故选项错误；
、若，，则，是有理数，故选项错误；
、一定是无理数，故选项错误；
故选．
12．（2023秋 海曙区期中）下列说法正确的是
A．若，则是负数
B．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数
C．某数的绝对值、算术平方根都是他本身，则这个数是0
D．绝对值是同一个数的数有两个，他们互为相反数
【答案】
【解析】若，则是负数或0，所以原说法错误，故本选项不合题意；
若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数，故选项正确，符合题意；
某数的绝对值、算术平方根都是他本身，则这个数是0或1，故选项错误，不符合题意；
绝对值为0的数有一个，则选项错误，不符合题意．
故选．
13．（2023秋 义乌市期中）如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被覆盖住的数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】数轴被墨迹污染的数介在1与2之间，
，，，
，，，，
故选．
14．（2023秋 萧山区期中）有下列说法：
①相反数大于本身的数是负数；
②实数与数轴上的点一一对应；
③是分数；
④平方根是它本身的数是0和1；
其中正确的为
A．①②④ B．①② C．②③ D．①③④
【答案】
【解析】①相反数大于本身的数是负数，正确；
②实数与数轴上的点一一对应，正确；
③是无理数，不是分数，错误；
④平方根是它本身的数是0，错误；
故正确的是①②，
故选．
15．（2023秋 西湖区校级期中）下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②平方根等于它的本身的数是1，0；③表示6的算术平方根；④在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个．正确的结论为
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
【答案】
【解析】①因为实数与数轴上的点一一对应，故说法①正确；
②因为平方根等于它的本身的数是0，故说法②错误；
③因为表示6的算术平方根，故说法③正确；
④因为在1和3之间的无理数有无数个，故说法④错误．
所以正确的结论为①③．
故选．
16．（2023秋 婺城区校级期中）如图，实数在数轴上的对应点可能是
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】
【解析】，
，
，
，
实数在数轴上的对应点可能是点，
故选．
17．（2023秋 温州期中）如图，已知数轴上，两点分别对应实数和，则，两点间的距离为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】数轴上，两点分别对应实数和，
、两点间的距离，
故选．
18．（2023秋 瓯海区校级期中）如图所示，数轴上表示1，的点分别为，，且，两点到点的距离相等，则点所表示的数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设点所表示的数是．
点、所表示的数分别是1、，
；
又，两点到点的距离相等，
，
．
故选．
19．（2023秋 余姚市校级期中）如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】正方形的面积为5，且，
，
点表示的数是1，且点在点右侧，
点表示的数为．
故选．
20．（2023秋 海曙区校级期中）下列四个实数1，，，中，最小的实数是
A．1 B． C． D．
【答案】
【解析】，，，，
，
则最小的实数为：，
故选．
21．（2023秋 金东区期中）下列各数中，比3大比4小的无理数是
A．3.14 B． C． D．
【答案】
【解析】．3.14是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
．，，，并且是无理数，故本选项符合题意；
．是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
故选．
22．（2023秋 绍兴期中）下列整数中，与最接近的是
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【解析】，
，
与4更接近，
故选．
23．（2023秋 瑞安市期中）估算的值是在
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】
【解析】，
，
即在5和6之间，
故选．
24．（2023秋 北仑区校级期中）下列各数中，介于2和3之间的数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】与3可以变为与，
在2与3之间的数即与之间的数，观察选项，只有选项中的根号符合题意，
故选．
25．（2023秋 江干区校级期中）若，则的值所在的范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
故选．
26．（2023秋 拱墅区校级期中）介于
A．3.1与3.2之间 B．3.2与3.3之间 C．3.3与3.4之间 D．3.4与3.5之间
【答案】
【解析】，
，
在3.3与3.4之间．
故选．
27．（2023秋 上虞区校级期中）设为正整数，且，则的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】．
【解析】，
，
故选．
28．（2023秋 慈溪市校级期中）已知、是表中两个相邻的数，且，则
19 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 20
361 364.81 368.64 372.49 376.36 380.25 384.16 388.09 392.04 396.01 400
A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.7
【答案】
【解析】，，
，
，
，
，
故选．
29．（2023秋 宁波期中）已知，且，为两个连续的整数，则
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【解析】，
，
，，
．
故选．
30．（2023秋 金华期中）已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为
A．0 B．1 C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
，
，
．
故答案为：．
31．（2023秋 西湖区校级期中）正方形面积为10，其边长是，以下说法正确的是
A．是有理数
B．
C．
D．在数轴上找不到表示实数的点
【答案】
【解析】由题意得，，
是无理数，因此选项不符合题意；
由于，因此选项不符合题意；选项符合题意；
由于实数与数轴上的点一一对应，因此在数轴上可以找到表示的点，所以选项不符合题意；
故选．
32．（2023秋 海曙区期中）已知，，表示取三个数中最小的那个数，例如：当，，，，，．当，，时，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】当时，，，不合题意；
当时，，当时，，不合题意；当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意．
故选．
33．（2023秋 富阳区校级期中）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．现对16进行如下操作：，这样对16只需进行3次操作后变为1．类似地，对121只需进行 次操作后变为1．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】，
对121只需进行3次操作后变为1，
故选．
二．填空题（共21小题）
34．（2023秋 绍兴期中）化简： ．
【答案】．
【解析】因为，
所以．
所以．
故答案为：．
35．（2023秋 余姚市校级期中）的相反数是 ，的平方根是 ．
【答案】，．
【解析】的相反数是，
，则的平方根是．
故答案为：，．
36．（2023秋 海曙区期中），则该无理数精确到 千分 位．
【答案】千分．
【解析】，则该无理数精确到千分位．
故答案为：千分．
37．（2023秋 滨江区校级期中）下列各数：，，0.101中是无理数的有 ， ．
【答案】，．
【解析】，是整数，属于有理数；
0.101是分数，属于有理数；
其中无理数的有，．
故答案为：，．
38．（2023秋 义乌市期中）写出一个同时符合下列条件的数： ．
（1）它是一个无理数；（2）在数轴上表示它的点在原点的左侧；（3）它的绝对值比2小．
【答案】．
【解析】写出一个同时符合下列条件的数，
故答案为：．
39．（2023秋 西湖区校级期中）在下列数中：①，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦（每两个1之间依次多一个，⑧．非负整数有 ⑥⑧ ；无理数有 （填写序号）
【答案】⑥⑧；①⑤⑦．
【解析】非负整数有⑥⑧；无理数有①⑤⑦；
故答案为：⑥⑧；①⑤⑦．
40．（2023秋 东阳市期中）已知点在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点表示的实数为 或 ．
【答案】或．
【解析】由题意知表示的数的绝对值为，
表示的数为或，
故答案为：或．
41．（2023秋 滨江区校级期中）数轴上，两点表示的数分别为和，点关于点的对称点为，则点所表示的数为 ．
【答案】．
【解析】点关于点的对称点为，
，
设点所表示的数是，
，
点在原点左侧，
，
，
，
表示的数：，，
故答案为：．
42．（2023秋 金华期中）点，在数轴上，以为边作正方形，该正方形的面积是10．若点对应的数是，则点对应的数是 ．
【答案】．
【解析】正方形的面积是10，
．
设点表示的数为，
点对应的数是，
，
解得．
点对应的数是．
故答案为：．
43．（2023秋 瑞安市期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，对应的数为1，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点（点位于点的左侧），则线段 ，点对应的数为 ．
【答案】；．
【解析】，
所以，（舍去），
所以．
点对应的数为：．
故答案为：；．
44．（2023秋 瑞安市期中）如图，以一个单位长度为边向上作正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线为半径作半圆，交数轴于点，则点表示的数为 ．
【答案】．
【解析】由题意得正方形的边长为1，
由勾股定理得正方形的对角线长为，
，
点表示的数是，
故答案为：．
45．（2023秋 拱墅区校级期中）比较大小： 3（填：“”或“”或“”
【答案】．
【解析】，
．
故答案为：．
46．（2023秋 瓯海区校级期中）写出一个比1大且比5小的无理数： （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】根据题意可得：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
47．（2023秋 余姚市期中）大于且小于的整数有 6 个．
【答案】6．
【解析】，
，
，
大于且小于的整数有，，0，1，2，3，共6个．
故答案为：6．
48．（2023秋 萧山区期中）若，则所有满足条件的整数之和为 2 ．
【答案】2．
【解析】，
，
，
之间的所有整数的值为，0，1，2，
则，
故答案为：2．
49．（2023秋 萧山区期中），且和是两个连续整数，则 5 ， ．
【答案】5，6．
【解析】，
，
，．
故答案为：5，6．
50．（2023秋 西湖区校级期中）若的整数部分为，小数部分为，则 4 ， ．
【答案】4，．
【解析】，
，
，
，，
．
故答案为：4，．
51．（2023秋 嵊州市期中）如果的小数部分为，的整数部分为，则 1 ．
【答案】1．
【解析】，，
，，
，
故答案为：1．
52．（2023秋 南浔区期中）已知的平方根是，是的整数部分，求的值为 9 ．
【答案】9．
【解析】的平方根是，
，
解得：，
是的整数部分，
，
则．
故答案为：9．
53．（2023秋 象山县校级期中）对于任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，则 3 ．
【答案】3．
【解析】，
，
，
．
故答案为：3．
54．（2023秋 余姚市校级期中）我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．现已知，对所有正整数成立，则的值为 301 ．
【答案】301．
【解析】，，，，，，，，
，，，
．
故答案为：301．
三．解答题（共25小题）
55．（2023秋 余姚市校级期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里：
①，②③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨3.1415926
整数： ③④⑤
负分数：
正有理数：
无理数：
【解析】，
整数：③④⑤，
负分数：②⑧，
正有理数：④⑤⑥⑨，
无理数：①⑦，
故答案为：③④⑤；②⑧；④⑤⑥⑨；①⑦．
56．（2023秋 龙泉市期中）把下列各数填入相应括号里：，，0，，，，．
负分数： ， ；
整数： ；
无理数： ；
正有理数： ．
【解析】负分数：，；
整数：，0；
无理数：，；
正有理数：，．
故答案为：，；，0；，；，．
57．（2023秋 拱墅区校级期中）有下列各数：①，②；③；④0；⑤；⑥；⑦0.313113113．．（每两个3之间依次多一个．
（1）属于整数的有 ④⑥ （填序号）
（2）属于负分数的有 （填序号）
（3）属于无理数的有 （填序号）
【解析】（1）属于整数的有④⑥，
故答案为：④⑥；
（2）属于负分数的有②⑤，
故答案为：②⑤；
（3）属于无理数的有③⑦，
故答案为：③⑦．
58．（2023秋 鹿城区校级期中）实数庄园将组建三支代表队参加“体育嘉年华”活动，请仔细辨别下列“数字选手”：0，，，，，0.505，将它们填在各自所属的代表队里．
整数代表队： 0， ；
分数代表队： ；
无理数代表队： ．
【解析】0，，，，，0.505，
整数代表队：，；
分数代表队：，；
无理数代表队：，．
故答案为：0，；
，0.505；
，．
59．（2023秋 温州期中）“实数运动会”已经拉开序幕，五位实数运动员要通过专属的检录通道才能参加运动项目，请你作为志愿者带领运动员有序进行检录（请将序号填入下表对应的横线处）：①100；②；③0.5；④；⑤．
运动会检录通道
整数 分数 无理数
①
【解析】整数：①；
分数：③⑤；
无理数：②④；
故答案为：①；③⑤；②④．
60．（2023秋 余姚市期中）升入初中后，我们相继学习了一些新的数，数就扩充到了实数．以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分分家吧．★将各数的序号填入相应的家族里）
【解析】无理数：②④⑦；整数：①⑤；分数：③⑥．
61．（2023秋 绍兴期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 甲 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：
【解析】（1）因为“”是负分数，属于有理数；“”是无理数，“”是无理数．
所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．
故答案为：甲
（2）整数有：0、；负分数有：、．
故答案为：0、；、．
62．（2023秋 西湖区校级期中）请把实数，，，近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”号连接）．
【解析】所给的四个实数在数轴上表示如下：
由四个实数数轴上表示的位置可知：．
63．（2023秋 滨江区校级期中）请将下列实数与它们在数轴上的对应点连起来，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”连接．
，，，，0．
【解析】如图所示，
由数轴可知：．
64．（2023秋 鹿城区校级期中）现有四个实数：，0，，．
（1）请在数轴上近似表示出上列四个实数．
（2）请将上列四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接．
．
（3）将上列四个实数分别填入相应的横线上．
整数： ；
分数： ；
无理数： ．
【解析】（1）如图：
（2），
故答案为：，0，，；
（3）整数：，0；
分数：；
无理数：；
故答案为：，0；
；
．
65．（2023秋 文成县期中）现有五个实数：，，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用点，，，表示．
（1）点表示数 ；点表示数 ；点表示数 ．
（2）①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形的面积）
②将上列五个数按从小到大的顺序用“”连接 ．
（3）将上列各数分别填入相应的横线上：
无理数： ；
负数： ．
【解析】（1）根据、、在数轴上的位置，
可知，点表示数，点表示数，点表示数；
故答案为：，，；
（2）如图，
由数轴可知，；
故答案为：；
（3）无理数：，；
负数：，．
故答案为：，，．
66．（2023秋 北仑区校级期中）已知：81的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求，的值；
（2）求的平方根．
【解析】（1）的算术平方根是，是的整数部分，
，，
，；
（2）由（1）知：，，
，
的平方根是．
67．（2023秋 西湖区校级期中）材料：，，即，的整数部分是2，小数部分为．
问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求的平方根．
【解析】（1），
，
的整数部分是3，小数部分是；
（2）的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，
，，，
，，，
，
的平方根是．
68．（2023秋 平湖市校级期中）阅读材料，解答下面的问题：
，即，
的整数部分为2，小数部分为．
（1）求的整数部分．
（2）已知的小数部分是，的小数部分是，求的值．
【解析】（1），
，
的整数部分是2；
（2），
，
的小数部分，
，
，
，
的小数部分为，
．
69．（2023秋 拱墅区校级期中）求值．
观察下边图形，每个小正方形的边长为1．
（1）则图中阴影部分的面积是 13 ，边长是 ，
（2）已知为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分．
求：①，的值；
②的算术平方根．
【解析】（1）根据题意可得，
，
则阴影部分正方形的边长为：．
故答案为：13，；
（2）①，，
，，
，，
②．
70．（2023秋 义乌市期中）阅读理解，并回答问题．
阅读材料
，，即．
的整数部分为2，小数部分为．
阅读材料
对于任意实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法．
例如：比较与的大小时，可以计算，得，
，．．
（1）请表示出的整数部分和小数部分；
（2）试判断与的大小，并说明理由．
【解析】（1），
，
，
的整数部分为4，小数部分为；
（2），
理由：，
，
，
．
71．（2023秋 义乌市期中）阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
信息的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为：根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是 3 ，小数部分是 ．
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为则 ．
（3）若，其中是整数，且，请求的相反数．
【解析】（1），
，
的整数部分为3，小数部分为．
故答案为：3，；
（2），
，
，
即，
，，
．
故答案为：23；
（3），
，
，
即，
的整数部分为2，小数部分为，
，，
，
的相反数为．
72．（2023秋 吴兴区期中）下面是小李同学探索的近似数的过程：
面积为107的正方形边长是，且，
设，其中，画出如图示意图，
图中，
当较小时，省略，得，得到，即．
（1）的整数部分是 8 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【解析】（1），即，
的整数部分为8，
故答案为：8；
（2）面积为76的正方形边长是，且，
设，其中，如图所示，
图中，，
，
当较小时，省略，得，得到，即．
73．（2023秋 海曙区校级期中）阅读下面文字，然后回答问题．
是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示．由此我们得到一个结论：若，其中是整数，且，那么，．
请解答下列问题：
（1）如果，其中是整数，且，那么 5 ， ；
（2）如果，其中是整数，且，求的值．
【解析】（1），
，
的整数部分是5，小数部分是，
，其中是整数，且，
，
故答案为：5，；
（2），
，
，
整数部分为2，小数部分为，
，其中是整数，且，
，
．
74．（2023秋 江北区期中）已知：为的整数部分，为的小数部分．
（1）求分别，的值；
（2）求的值．
【解析】（1），
的整数部分为3，小数部分为，即，；
（2）当，时，
原式
．
75．（2023秋 象山县校级期中）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）整数部分是 7 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值：
（3）已知：，其中是整数，且，求的值．
【解析】（1），即，
的整数部分为7，小数部分为，
故答案为：7，；
（2），即，
的整数部分3，小数部分，
的整数部分，
；
（3），即，
，
的整数部分为11，小数部分为，
又，且是整数，且，
，，
．
76．（2023秋 西湖区校级期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 3 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知，其中是整数，且，求的相反数．
【解析】（1），即，
的整数部分是3，小数部分是，
故答案为：3，；
（2），
的小数部分，
又，
的整数部分，
；
（3），
，
又，其中是整数，且，
，，
．
的相反数为．
77．（2023秋 杭州期中）中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数．由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”．我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为，由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．
（1）现已知．
使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
（2）的整数部分为，小数部分为，求的值．
【解析】（1）已知．
使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为，
由，再使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为，
即使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为，
由，再使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为，
即使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为；
故答案为：，，；
（2），，而，
，
的整数部分是2，小数部分是，即，，
．
78．（2023秋 宁波期中）【阅读理解】
表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离．
（1）【尝试应用】
①数轴上表示和3的两点之间的距离是 9 （写出最后结果）；
②若，则 ；
（2）【动手探究】
伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示的点与表示2的点重合．
①则表示16的点与表示 的点重合；
②这时如果，在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经过折叠后重合，则表示的数是 ，表示的数是 ；
③若点表示的数为，点表示的数为在的左侧），且，两点经折叠刚好重合，那么与之间的数量关系是 ；
（3）【拓展延伸】
当时，的最小值是 ．
【解析】（1）①数轴上表示和3的两点之间的距离是，
故答案为：9；
②若，则或，
解得或，
故答案为：1或；
（2）①由于经过折叠，数轴上表示的点与表示2的点重合，
所以“折合点”在数轴上所表示的数为，
设数轴上示16的点与表示数的点重合，则，
解得，
即表示16的点与表示的点重合，
故答案为：；
②设点在数轴上所表示的数为，则点在数轴上所表示的数为，由于“折合点”所表示的数为，
所以，
解得，
即点在数轴上所表示的数为，
所以点在数轴上所表示的数为，
故答案为：，；
若点表示的数为，点表示的数为在的左侧），且，两点经折叠刚好重合，那么与之间的数量关系是，
即，
故答案为：；
（3）由于的最小值是，此时；的最小值为，此时，而，
所以当，时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
79．（2023秋 上城区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与表示的点重合，则表示的点与 2 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上、两点之间距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，则、两点表示的数分别是 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从到的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
【解析】操作一，
（1）表示的点1与表示的点重合，
折痕为原点，
则表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，
则折痕表示的点为，
①设表示的点与数表示的点重合，
则，
；
②数轴上、两点之间距离为8，
数轴上、两点到折痕的距离为4，
在的左侧，
则、两点表示的数分别是和3；
故答案为：①，②和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是，
如图1，当时，
设，，，
，
，
，，，
，
如图2，当时，
设，，，
，
，
，，，
，
如图3，当时，
设，，，
，
，
，，
，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
故答案为：或或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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期中专项13 实数
一．选择题（共33小题）
1．（2023秋 龙泉市期中）实数的相反数是
A． B． C． D．
2．（2023秋 瑞安市期中）下列各数中属于无理数的是
A． B． C．0 D．
3．（2023秋 鹿城区期中）在实数中，属于无理数的是
A． B．0 C． D．
4．（2023秋 文成县期中）在实数9.3，，，中，属于整数的是
A．9.3 B． C． D．
5．（2023秋 慈溪市校级期中）下列各数：，0，，．，，中，无理数的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2023秋 安吉县期中）在，，，3.1415926，，（每两个2之间依次多一个中，属于有理数的有
A．6个 B．4个 C．3个 D．2个
7．（2023秋 江干区校级期中）对于四个实数中，下列说法正确的是
A．是分数 B．是无理数 C．0.33是分数 D．是无理数
8．（2023秋 新昌县校级期中）下列判断正确的是
A．无限小数一定是无理数 B．实数与数轴上的点一一对应
C．实数包括有理数，0，无理数 D．实数的绝对值都是正数
9．（2023秋 富阳区校级期中）下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若，互为相反数，则；③若为任意有理数，则；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023秋 江山市期中）下列说法错误的是
A ．的平方根是
B ．是最小的正整数
C ． 两个无理数的和一定是无理数
D ． 实数与数轴上的点一一对应
11．（2023秋 嵊州市期中）若是有理数，是无理数，则下列说法正确的是
A．可能是有理数 B．一定是无理数
C．一定是无理数 D．可能是有理数
12．（2023秋 海曙区期中）下列说法正确的是
A．若，则是负数
B．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数
C．某数的绝对值、算术平方根都是他本身，则这个数是0
D．绝对值是同一个数的数有两个，他们互为相反数
13．（2023秋 义乌市期中）如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被覆盖住的数是
A． B． C． D．
14．（2023秋 萧山区期中）有下列说法：
①相反数大于本身的数是负数；
②实数与数轴上的点一一对应；
③是分数；
④平方根是它本身的数是0和1；
其中正确的为
A．①②④ B．①② C．②③ D．①③④
15．（2023秋 西湖区校级期中）下列说法中：①实数和数轴上的点一一对应；②平方根等于它的本身的数是1，0；③表示6的算术平方根；④在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个．正确的结论为
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
16．（2023秋 婺城区校级期中）如图，实数在数轴上的对应点可能是
A．点 B．点 C．点 D．点
17．（2023秋 温州期中）如图，已知数轴上，两点分别对应实数和，则，两点间的距离为
A． B． C． D．
18．（2023秋 瓯海区校级期中）如图所示，数轴上表示1，的点分别为，，且，两点到点的距离相等，则点所表示的数是
A． B． C． D．
19．（2023秋 余姚市校级期中）如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为
A． B． C． D．
20．（2023秋 海曙区校级期中）下列四个实数1，，，中，最小的实数是
A．1 B． C． D．
21．（2023秋 金东区期中）下列各数中，比3大比4小的无理数是
A．3.14 B． C． D．
22．（2023秋 绍兴期中）下列整数中，与最接近的是
A．2 B．3 C．4 D．5
23．（2023秋 瑞安市期中）估算的值是在
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
24．（2023秋 北仑区校级期中）下列各数中，介于2和3之间的数是
A． B． C． D．
25．（2023秋 江干区校级期中）若，则的值所在的范围是
A． B． C． D．
26．（2023秋 拱墅区校级期中）介于
A．3.1与3.2之间 B．3.2与3.3之间 C．3.3与3.4之间 D．3.4与3.5之间
27．（2023秋 上虞区校级期中）设为正整数，且，则的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
28．（2023秋 慈溪市校级期中）已知、是表中两个相邻的数，且，则
19 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 20
361 364.81 368.64 372.49 376.36 380.25 384.16 388.09 392.04 396.01 400
A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.7
29．（2023秋 宁波期中）已知，且，为两个连续的整数，则
A．4 B．5 C．6 D．7
30．（2023秋 金华期中）已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为
A．0 B．1 C． D．
31．（2023秋 西湖区校级期中）正方形面积为10，其边长是，以下说法正确的是
A．是有理数
B．
C．
D．在数轴上找不到表示实数的点
32．（2023秋 海曙区期中）已知，，表示取三个数中最小的那个数，例如：当，，，，，．当，，时，则的值为
A． B． C． D．
33．（2023秋 富阳区校级期中）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．现对16进行如下操作：，这样对16只需进行3次操作后变为1．类似地，对121只需进行 次操作后变为1．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共21小题）
34．（2023秋 绍兴期中）化简： ．
35．（2023秋 余姚市校级期中）的相反数是 ，的平方根是 ．
36．（2023秋 海曙区期中），则该无理数精确到 位．
37．（2023秋 滨江区校级期中）下列各数：，，0.101中是无理数的有 ．
38．（2023秋 义乌市期中）写出一个同时符合下列条件的数： ．
（1）它是一个无理数；（2）在数轴上表示它的点在原点的左侧；（3）它的绝对值比2小．
39．（2023秋 西湖区校级期中）在下列数中：①，②，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦（每两个1之间依次多一个，⑧．非负整数有 ；无理数有 （填写序号）
40．（2023秋 东阳市期中）已知点在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点表示的实数为 ．
41．（2023秋 滨江区校级期中）数轴上，两点表示的数分别为和，点关于点的对称点为，则点所表示的数为 ．
42．（2023秋 金华期中）点，在数轴上，以为边作正方形，该正方形的面积是10．若点对应的数是，则点对应的数是 ．
43．（2023秋 瑞安市期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，对应的数为1，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点（点位于点的左侧），则线段 ，点对应的数为 ．
44．（2023秋 瑞安市期中）如图，以一个单位长度为边向上作正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线为半径作半圆，交数轴于点，则点表示的数为 ．
45．（2023秋 拱墅区校级期中）比较大小： 3（填：“”或“”或“”
46．（2023秋 瓯海区校级期中）写出一个比1大且比5小的无理数： ．
47．（2023秋 余姚市期中）大于且小于的整数有 个．
48．（2023秋 萧山区期中）若，则所有满足条件的整数之和为 ．
49．（2023秋 萧山区期中），且和是两个连续整数，则 ， ．
50．（2023秋 西湖区校级期中）若的整数部分为，小数部分为，则 ， ．
51．（2023秋 嵊州市期中）如果的小数部分为，的整数部分为，则 ．
52．（2023秋 南浔区期中）已知的平方根是，是的整数部分，求的值为 ．
53．（2023秋 象山县校级期中）对于任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，则 ．
54．（2023秋 余姚市校级期中）我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．现已知，对所有正整数成立，则的值为 ．
三．解答题（共25小题）
55．（2023秋 余姚市校级期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里：
①，②③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨3.1415926
整数：
负分数：
正有理数：
无理数：
56．（2023秋 龙泉市期中）把下列各数填入相应括号里：，，0，，，，．
负分数： ；
整数： ；
无理数： ；
正有理数： ．
57．（2023秋 拱墅区校级期中）有下列各数：①，②；③；④0；⑤；⑥；⑦0.313113113．．（每两个3之间依次多一个．
（1）属于整数的有 （填序号）
（2）属于负分数的有 （填序号）
（3）属于无理数的有 （填序号）
58．（2023秋 鹿城区校级期中）实数庄园将组建三支代表队参加“体育嘉年华”活动，请仔细辨别下列“数字选手”：0，，，，，0.505，将它们填在各自所属的代表队里．
整数代表队： ；
分数代表队： ；
无理数代表队： ．
59．（2023秋 温州期中）“实数运动会”已经拉开序幕，五位实数运动员要通过专属的检录通道才能参加运动项目，请你作为志愿者带领运动员有序进行检录（请将序号填入下表对应的横线处）：①100；②；③0.5；④；⑤．
运动会检录通道
整数 分数 无理数
60．（2023秋 余姚市期中）升入初中后，我们相继学习了一些新的数，数就扩充到了实数．以下是数学乐园中的“实数家族”，请给该“实数家族”分分家吧．★将各数的序号填入相应的家族里）
61．（2023秋 绍兴期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：
62．（2023秋 西湖区校级期中）请把实数，，，近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”号连接）．
63．（2023秋 滨江区校级期中）请将下列实数与它们在数轴上的对应点连起来，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”连接．
，，，，0．
64．（2023秋 鹿城区校级期中）现有四个实数：，0，，．
（1）请在数轴上近似表示出上列四个实数．
（2）请将上列四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接．
．
（3）将上列四个实数分别填入相应的横线上．
整数： ；
分数： ；
无理数： ．
65．（2023秋 文成县期中）现有五个实数：，，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用点，，，表示．
（1）点表示数 ；点表示数 ；点表示数 ．
（2）①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形的面积）
②将上列五个数按从小到大的顺序用“”连接 ．
（3）将上列各数分别填入相应的横线上：
无理数： ；
负数： ．
66．（2023秋 北仑区校级期中）已知：81的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求，的值；
（2）求的平方根．
67．（2023秋 西湖区校级期中）材料：，，即，的整数部分是2，小数部分为．
问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求的平方根．
68．（2023秋 平湖市校级期中）阅读材料，解答下面的问题：
，即，
的整数部分为2，小数部分为．
（1）求的整数部分．
（2）已知的小数部分是，的小数部分是，求的值．
69．（2023秋 拱墅区校级期中）求值．
观察下边图形，每个小正方形的边长为1．
（1）则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ，
（2）已知为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分．
求：①，的值；
②的算术平方根．
70．（2023秋 义乌市期中）阅读理解，并回答问题．
阅读材料
，，即．
的整数部分为2，小数部分为．
阅读材料
对于任意实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法．
例如：比较与的大小时，可以计算，得，
，．．
（1）请表示出的整数部分和小数部分；
（2）试判断与的大小，并说明理由．
71．（2023秋 义乌市期中）阅读下列信息材料：
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“”或者“”的表示方法都不够百分百准确．
信息的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成得来的；
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如，是因为：根据上述信息，回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为则 ．
（3）若，其中是整数，且，请求的相反数．
72．（2023秋 吴兴区期中）下面是小李同学探索的近似数的过程：
面积为107的正方形边长是，且，
设，其中，画出如图示意图，
图中，
当较小时，省略，得，得到，即．
（1）的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
73．（2023秋 海曙区校级期中）阅读下面文字，然后回答问题．
是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示．由此我们得到一个结论：若，其中是整数，且，那么，．
请解答下列问题：
（1）如果，其中是整数，且，那么 ， ；
（2）如果，其中是整数，且，求的值．
74．（2023秋 江北区期中）已知：为的整数部分，为的小数部分．
（1）求分别，的值；
（2）求的值．
75．（2023秋 象山县校级期中）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值：
（3）已知：，其中是整数，且，求的值．
76．（2023秋 西湖区校级期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知，其中是整数，且，求的相反数．
77．（2023秋 杭州期中）中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数．由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”．我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为，由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．
（1）现已知．
使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为 ；
（2）的整数部分为，小数部分为，求的值．
78．（2023秋 宁波期中）【阅读理解】
表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离．
（1）【尝试应用】
①数轴上表示和3的两点之间的距离是 （写出最后结果）；
②若，则 ；
（2）【动手探究】
伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示的点与表示2的点重合．
①则表示16的点与表示 的点重合；
②这时如果，在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经过折叠后重合，则表示的数是 ，表示的数是 ；
③若点表示的数为，点表示的数为在的左侧），且，两点经折叠刚好重合，那么与之间的数量关系是 ；
（3）【拓展延伸】
当时，的最小值是 ．
79．（2023秋 上城区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上、两点之间距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，则、两点表示的数分别是 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从到的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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