浙教版2024-2025八年级上数学第1-3章综合培优训练1（含解析）

浙教版2024-2025学年八年级上数学第1-3章综合培优训练1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列长度的三段钢条，不能组成一个三角形框架的是（单位：cm）（　　）
A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7
2．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．在数轴上表示不等式-1≤x<1，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，空调外机利用三角架固定在外墙上时，利用了三角形的（　　）性质．
A．三角形任何两边的和大于第三边
B．三角形的稳定性
C．三角形三个内角的和等于180度
D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
5． 下列命题中，是真命题的是（　　）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．等腰三角形的对称轴是底边上的高线
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D．同位角相等
6．在 中， ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
7．不等式3x﹣5＜3+x的正整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（　　）
A．13 B．13或 C． D．12或13
9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．7 C．5 D．4
（第9题） （第10题）
10．如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF、BF，则下列结论：
①△AED≌△AEF ②△AED为等腰三角形 ③BE+DC＞DE ④BE2+DC2＝DE2，
其中正确的有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．“x的2倍与3的差是负数”，用不等式表示为　 　．
12．命题“对顶角相等”的逆命题是　 　
13．已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为　 　.
14． 如图，已知∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=3，则OD=　 　.
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于 点E.若∠ABC+4∠C=180°，AB=5，BC=12，则AE=　 　 .
16．如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在边AB上的点F处，折痕为DE，已知AB＝AC，FD⊥BC．
（1）则∠AFE＝　 　度；
（2）如果AF＝4，BF＝6，则AE=　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解不等式组：
（1）； （2）.
18．如图，已知，分别是边上的高和中线，若，，，．
（1）求的长度．
（2）求的面积．
19．骑车佩戴安全头盔，可以保护头部，减少意外伤害，某商店销售进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：
时间 甲头盔销量（个） 乙头盔销量（个） 销售金额（元）
周一 10 10 950
周二 6 15 930
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价；
（2）甲乙两种头盔共售出100个，为实现利润达到1250元的目标，至少需要卖多少个甲头盔．
20．如图，等边三角形ABC中，点E是边BC上的点．以AE为边，A，E，F按逆时针方向排列，构造等边三角形AEF．EF交AC于点D，连结FC．
（1）求证：△ABE≌△ACF．
（2）若AC⊥EF，AB=4，求AD的长．
21．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为3个平方单位的等腰三角形．(画一个即可)
（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为的线段．（画一条即可）
（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形．(画一个即可)
22．如图，已知在△ABC中，高线AD，BE相交于点H，点F是BH的中点，∠ABC=45°.
（1）求证：△BHD≌△ADC.
（2）若DF=5，则求AC的长度.
23．如图1：△ABC中，，延长AC到E，过点E作交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作交AB的延长线于H，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接EG与FH相交于点D，若，求DH的长．
24．如图，已知△ABC是边长为8cm(可求得高为4√3cm)的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=12cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，以CD为边作等边三角形CDE，连结BE.
（1）证明：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当12（3）当点D在射线OM上运动(即t≥0)时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形 若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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浙教版2024-2025学年八年级上数学第1-3章综合培优训练1
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列长度的三段钢条，不能组成一个三角形框架的是（单位：cm）（　　）
A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7
【答案】C
【解析】A、∵2+3＞4，所以长度为2、3、4的三条线段能围成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵7+3＞7，所以长度为3、7、7的三条线段能围成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵2+2＜6，所以长度为2、2、6的三条线段不能围成三角形，故此选项符合题意；
D、∵5+6＞7，所以长度为5、6、7的三条线段能围成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
2．下列四个图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A.本选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
B.本选项图形是轴对称图形，符合题意；
C.本选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
D.本选项图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A.
3．在数轴上表示不等式-1≤x<1，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 “≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线．
故在数轴上表示不等式-1≤x＜1如下：
故答案为：A.
4．如图，空调外机利用三角架固定在外墙上时，利用了三角形的（　　）性质．
A．三角形任何两边的和大于第三边
B．三角形的稳定性
C．三角形三个内角的和等于180度
D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
【答案】B
【解析】 空调外机利用三角架固定在外墙上时，这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性.
故答案为：B.
5． 下列命题中，是真命题的是（　　）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．等腰三角形的对称轴是底边上的高线
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D．同位角相等
【答案】C
【解析】A.有两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项是假命题，不符合题意；
B.等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，故本选项是假命题，不符合题意；
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直，是真命题，符合题意；
D.两直线平行，同位角相等，故本选项是假命题，不符合题意；
故选：C.
6．在 中， ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-70°=40°.
故答案为：B.
7．不等式3x﹣5＜3+x的正整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵ ，
∴3x-x＜3+5，
∴x＜4，
∴x取正整数解有1、2、3共3个，
故选：C．
8．若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（　　）
A．13 B．13或 C． D．12或13
【答案】D
【解析】①当12为斜边时，它的斜边长是12；
②当12是直角边时，它的斜边长==13.
故答案为：D.
9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．7 C．5 D．4
【答案】C
【解析】作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE BC EF 5×2＝5.
故答案为：C.
10．如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF、BF，则下列结论：
①△AED≌△AEF②△AED为等腰三角形③BE+DC＞DE④BE2+DC2＝DE2，
其中正确的有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由题意可知：∠DAF =90°且∠DAE = 45°
∴ ∠FAE = ∠DAE=45°
∴在△AED和△AEF中，
AE = AE
∠EAF = ∠EAD
AD = AF
∴△AED≌△AEF(SAS)，所以①正确
题中所给条件不足以证明△AED为等腰三角形，所以②错误
∵∠BAC= ∠DAF = 90°
∴∠BAF= ∠DAC
∴在△ABF和△ACD中，
AB = AC
∠FAB= ∠DAC
AF = AD
∴△ABF≌△ACD(SAS)
∴BF=CD
∵△AED≌△AEF
∴DE =EF
∵BE+BF> EF
又∵BF =CD
∴BE+DC > DE，所以③正确；
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，AB=AC
∴=∠ABC=∠C=45°
又∵△ABF≌△ACD
∴∠ABF=∠C=45°
∴∠ABC=∠ABF=45°
∴∠EBF =∠ABC+∠ABF=90°，
：·. BE + BF’ = EF ，
即BE + DC = DE ，④正确
综上所述：①③④3个选项都正确，
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．“x的2倍与3的差是负数”，用不等式表示为　 　．
【答案】2x-3＜0
【解析】由题意得：2x-3＜0．
故答案为：2x-3＜0．
12．命题“对顶角相等”的逆命题是　 　
【答案】相等的角为对顶角
【解析】命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为相等的角为对顶角．
13．已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为　 　.
【答案】35°
【解析】根据题意得，设等腰三角形的底角的度数为 ，
则 + + =180°
解得
故答案为：35°.
14． 如图，已知∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=3，则OD=　 　.
【答案】
【解析】∵ ∠OAB=∠OBC=∠OCD=90° ， AB=BC=CD=1，OA=3 ，
∴OB=，
∴OC=，
∴OD=，
故答案为：.
15．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于 点E.若∠ABC+4∠C=180°，AB=5，BC=12，则AE=　 　 .
【答案】3.5
【解析】延长AE交BC于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABF，
∵BE⊥AF，
∴∠AEB=∠BEF=90°，
∵BE = BE，
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴AE=EF，AB=BF=5，
∵BC = 12，
∴CF-BC-BF-12-5=7，
∵∠BEF=90°，
∴∠EBF+∠AFB=90°，
∴∠ABC+∠AFB=90，
∵∠ABC+4∠C=180°，
∴∠ABC+2∠C=90°，
∴∠AFB=2∠C，
∵∠AFB是△AFC的一个外角，
∴∠AFB=∠C+∠CAF，
∴∠C=∠CAF，
∴AF=CF=7，
∴AE=EF=AF=3.5，
故答案为：3.5.
16．如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在边AB上的点F处，折痕为DE，已知AB＝AC，FD⊥BC．
（1）则∠AFE＝　 　度；
（2）如果AF＝4，BF＝6，则AE=　 　．
【答案】（1）90
（2）
【解析】（1）由折叠性质得：∠C=∠DFE，EF=CE.
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C.
∴∠B=∠DFE.
∵FD⊥BC，
∴∠B+∠BFD=90°.
∴∠DFE+∠BFD=90°.
∴∠AFE=180°－∠BFE=90°.
故答案为：90；
（2）∵AF＝4，BF＝6，
∴AC=AB=6+4=10.
设AE=x，则EF=EC=10－x.
在Rt△AFE中，AF2+EF2=AE2，
即42+(10－x)2=x2，
解得：.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解不等式组：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：7x-5<4+6x
7x-6x<4+5
x<9
（2）解：
由①得：x>
由②得：2x+1≥3x-3
x≤4
∴18．如图，已知，分别是边上的高和中线，若，，，．
（1）求的长度．
（2）求的面积．
【答案】（1）解：，是边上的高，
．
．
的长度为．
（2）解：，，，
∴
又是边上的中线，
．
，
即．
．
的面积是．
19．骑车佩戴安全头盔，可以保护头部，减少意外伤害，某商店销售进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：
时间 甲头盔销量（个） 乙头盔销量（个） 销售金额（元）
周一 10 10 950
周二 6 15 930
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价；
（2）甲乙两种头盔共售出100个，为实现利润达到1250元的目标，至少需要卖多少个甲头盔．
【答案】（1）解：设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲头盔的销售单价为55元，乙头盔的销售单价为40元
（2）解：设卖出m个甲头盔，则卖出个乙头盔，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最小值为50．
答：至少需要卖50个甲头盔．
20．如图，等边三角形ABC中，点E是边BC上的点．以AE为边，A，E，F按逆时针方向排列，构造等边三角形AEF．EF交AC于点D，连结FC．
（1）求证：△ABE≌△ACF．
（2）若AC⊥EF，AB=4，求AD的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=60°
∵△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠EAF=60°．
∵∠BAC=EAF
∴∠BAE=∠CAF．
∵AB=AC，AE=AF，∠BAE=∠CAF
∴△ABE≌△ACF(SAS)
（2）解：∵AE=AF，AC⊥EF
∴∠EAD=∠DAF=30°
∴∠BAE=∠CAE=30°
∵AB=AC，∠BAE=∠CAE=30°
∴BE=CE=2，AE⊥BC
∵CE=2，∠EDC=90°．∴CD=1
∴AD=3
21．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为3个平方单位的等腰三角形．(画一个即可)
（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为的线段．（画一条即可）
（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形．(画一个即可)
【答案】（1）解：如图所示：
△ABC即为所求作的等腰三角形；
（2）解：如图所示：
线段DF即为要求作的线段；
（3）解：如图所示：
△DFG即为所求作的直角三角形.
22．如图，已知在△ABC中，高线AD，BE相交于点H，点F是BH的中点，∠ABC=45°.
（1）求证：△BHD≌△ADC.
（2）若DF=5，则求AC的长度.
【答案】（1）证明：∵ △ABC中，AD为BC边高线， ∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠BAD=45°，∠BDH=∠ADC=90°.
∴BD=AD.
∵△ABC中，BE为AC边高线，
∴BE⊥AC，∠AEH=90°.
∴∠DBH+∠DHB=∠AHE+∠DAC=90°.
又∵∠DHB=∠AHE，
∴∠DBH=∠DAC.
在 △BHD和△ADC中
∴ △BHD≌△ADC （ASA）
（2）解：∵△BDH为直角三角形，且点F是BH的中点，
∴BH=2DF=2×5=10.
∵ △BHD≌△ADC ，
∴AC=BH=10.
23．如图1：△ABC中，，延长AC到E，过点E作交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作交AB的延长线于H，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接EG与FH相交于点D，若，求DH的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴
∵，
∴
在△ADG和△CDF中，
∴
（2）解：∵
∴
∴
∵，
∴
在△EFD和△GHD中，
∴
∴
24．如图，已知△ABC是边长为8cm(可求得高为4√3cm)的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=12cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，以CD为边作等边三角形CDE，连结BE.
（1）证明：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当12（3）当点D在射线OM上运动(即t≥0)时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形 若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴∠DCE=∠ACB=60°，DC=EC，AC=BC.
∴∠DCA=∠ECB.
∴△CAD≌△CBE.
（2）解：当12∴C△CDE=BE+DB+DE=AB+DE=8+DE.
∵△CDE是等边三角形，
∴DE=CD，∴C△E=CD+8.
当CD⊥AB时，CD最短，此时△BDE的周长最小，
∴C△BDE的最小值为4+8.
（3）解：存在，理由如下：
①当0≤t<12时(如图1所示)，存在∠BED=90°.
∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴∠CAB=∠DEC=60°.
∴∠CEB=30°.
由(1)得△CAD≌△CBE，
∴∠CDA=∠CEB=30°.
∴∠ACD=∠CAB-∠CDA=30°.
∴∠ACD=∠ADC.
∴DA=CA=8.
∴OD=OA-DA=12-8=4.
∴t=4÷1=4.
②当1290°，
∴此时不存在.
③当t=20时，点D与点B重合，D，B，E不能构成三角形，不符合题意.
④当t>20时(如图3所示)，存在∠BDE=90°.
∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠CDE=60°，
由(1)得△CAD≌△CBE，∴∠CBE=∠CAB=60°.
∴∠BDC=∠BDE=∠CDE=30°，
∴∠BCD=∠ABC-∠BDC=30°.
∴∠BCD=∠BDC.∴BD=BC=8.
∴OD=12+8+8=28.∴t=28÷1=28.
综上所述，当t=4或t=28时，以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形.

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