第三章 二次函数
7 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数图象与x轴的交点问题
1.抛物线 与x轴的交点坐标为 ( )
A.(0,3) B.(2,0) C.(1,0)和(3,0) D.(-1,0)和(-3,0)
2.不论x取何值，抛物线 都不与x轴相交，且顶点永远在x 轴下方的条件是 ( )
3.若二次函数 与x 轴没有交点，则二次函数. 的图象的顶点在 ( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
4.已知抛物线 与x 轴没有交点，则一次函数的大致图形是 ( )
5.二次函数 的图象与x轴的交点情况是( )
A.有1个交点 B.有 2个交点 C.无交点 D.无法确定
6.在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象沿 y轴向下平移3个单位后，所得函数图象与x轴的两个交点之间的距离为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.【易错易混】已知二次函数 与x轴有交点，则m的取值范围是( )
且m≠1 且m≠1
8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点(-1,0),对称轴为直线则x的取值范围是 ( )
第 8题图 第9题图
9.如图是抛物线 的一部分,抛物线的顶点坐标是 A(1，4)，与x轴的交点是B(3,0).下列结论:
①抛物线与x轴的另一个交点是(-1，0)
②关于x的方程 有两个相等的实数根
③x( ax+b)≤a+b.
其中，正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.如图,抛物线 的一部分经过点A(-1,0),且其对称轴是直线，则一元二次方程 的根是__________.
第10题图 第11题图
11.抛物线 的部分图象如图所示，则关于x的方程 的解是___________.
12.若抛物线 与x轴没有公共点，则m的取值范围是__________.
13.把二次函数 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：______________.
14.如图，二次函数 的图象与x轴交于A,B 两点(点 A 在点 B 的右侧)，与y轴交于点 C.
(1)求点 A,B,C的坐标;
(2)若点 M 在抛物线的对称轴上，且△MAC的周长最小，求点 M的坐标.
15.已知抛物线表达式(m是常数).
(1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值；
(2)Q(m,n)为该抛物线上一点,当 取得最大值时，求点 Q的坐标.
16.已知,若关于x的方程的解为x ,x 关于x的方程 0的解为 则下列结论正确的是 ( )
17.已知函数 (m为常数).
(1)当m=1时，设函数图象与 x 轴交于A,B 两点(A 在 B 左侧),与 y 轴交于点C.请判断 的形状并说明理由；
(2)证明：无论m 取何值，函数图象与x轴一定有交点.
参考答案
1. C 2. D 3. A 4. A 5. B 6. D 7. D 8. D 9. D
10. x =-1,x =5 11. x =0,x =-2 12. 13.
14.解:(1)令 解得
令x=0,得 y=4,∴C(0,4);
(2)由题意，得二次函数对称轴为直线.
如图，过点C作CE⊥对称轴l，与抛物线交于点 E,连接AE,交 l于点M,连接 MC,AC.
∵点 C 与点 E 关于直线对称，点M 在对称轴上,C(0,4),∴MC=ME,E(-2,4),
∴△MAC 的周长
∴当且仅当E，M，A 三点共线时， 的周长最小.
设直线AE的表达式为.
将 A(2,0),E(-2,4)代入,得 解得
∴直线 AE的表达式为
令 x=-1,得. ∴点 M 的坐标为
15.解:(1)由题意,得 解得
(2)∵Q(m,n)为该抛物线上一点,
即
4m+6.
∵∴当 即 时，取得最大值
此时
故点 Q的坐标是
16. B
17.解:(1)△ABC为等腰直角三角形,理由:
对于函数 当m=1时,则有 如图，
∴当x=0时,y=-1,即C(0,-1),
当y=0时,有 解得
又∵A 在 B 左侧,∴A(-1,0),B(1,0),∴OA=OB=OC=1,
∴AC=BC,
∵OA=OC,∠AOC=90°,∴∠OAC=∠OCA=45°,
同理∠OBC=∠OCB=45°,∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°,
又∵AC=BC,∴△ABC为等腰直角三角形；
(2) 证 明: ①当 m =0 时, 此 时 函 数 为y=-x-1,为一次函数,
令 y=0，则x=-1，即此时一次函数图象与x轴交点为(-1,0);
②当m≠0时，此时函数为二次函数，
令 y=0,即
有解.
综上所述，无论m取何值，函数图象与x轴一定有交点.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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