2024-2025学年高一数学苏教版必修一课时作业 6.2 指数函数
一、选择题
1．若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A. B. C. D.
2．定义在R上的函数为偶函数,,,,则( )
A. B. C. D.
3．下列大小关系正确的是( )
①
②
③
④
A.①② B.③④ C.②③ D.①③
4．已知,,则( )
A. B. C. D.
5．已知函数，且，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．已知函数的大致图象如下,下列选项中e为自然对数的底数,则函数的解析式可能为( )
A. B. C. D.
7．已知函数在区间上单调递增,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．在,,,这四个数中,最大的数为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若函数（其中且）的图象过第二、三、四象限，则( )
A. B. C. D.
10．已知函数是奇函数，则下列选项正确的是( )
A.
B.，且，恒有
C.函数在上的取值范围为
D.，恒有成立的充分不必要条件是
11．函数(且)，图像经过二、三、四象限，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12．函数（，且）的大致图象可能为( ).
A. B.
C. D.
三、填空题
13．下列函数中是指数函数的是__________（填序号）.
①；②；③；④；⑤；⑥.
14．函数（，且）的图象过定点P.则点P的坐标是________.
15．若是增函数,则a的取值范围为__________.
16．已知,则的最大值为________________.
四、解答题
17．定义在D上的函数,若对任意,存在常数,都有成立,则称是D上的有界函数,其中M称为函数的上界.已知函数.
（1）若是奇函数,判断函数是否为有界函数,并说明理由;
（2）若在上是以为上界的函数,求m的取值范围.
18．已知函数为R上的奇函数.当时，(a，c为常数)，.
（1）当时，求函数的值域：
（2）若函数的图像关于点中心对称.
①设函数，，求证：函数为周期函数；
②若对任意恒成立，求的最大值.
19．已知函数，为偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
20．已知函数为奇函数.
（1）求a的值；
（2）若对任意的，关于x的不等式恒成立，求正实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：设，则.过点可以作曲线的两条切线，设切点，则，所以切线方程为.
将代入切线方程，得，即.因为过点可以作两条切线，所以方程有两个不相等的实数根.设，，则函数与的图象有两个交点.因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，所以.又当时，，当时，，所以要使两函数的图象存在两个交点，则.综上所述，.故选D.
2．答案：C
解析：由题意,函数为偶函数,则有,即,
变形可得,必有,所以,
可得函数在上单调递减,
又由,
因为,所以,即.
故选：C.
3．答案：C
解析：对①,因为指数函数单调递减,所以,①错误;
对②,因为指数函数单调递减,所以,
又因为幂函数在单调递增,所以,
所以,②正确;
对③,因为幂函数在单调递增,所以,③正确;
对④,因为幂函数在单调递减,所以,
即,④错误;
故选:C.
4．答案：C
解析：,所以.
因为,
所以,所以.
5．答案：B
解析：由题意得,函数，
，则
设,则,
由f,得g,
又因为
所以是R上的奇函数,即,
又有,因为是R上的增函数,是R上的增函数,所以是R上的增函数;则,即,
整理得:,解得:或,所以实数a的取值范围为,故选：B.
6．答案：D
解析：由图可知,函数为奇函数.
对于A选项,函数的定义域为R,,
函数不是奇函数,排除A选项;
对于B选项,函数的定义域为R,,
函数不是奇函数,排除B选项;
对于C选项,由可得,即函数的定义域为,
,函数为奇函数,,
C选项不满足要求;
对于D选项,由可得,即函数的定义域为,
,函数为奇函数,
当时,,满足题意.
故选：D.
7．答案：A
解析：令,则,依题意,只需在上单调递增,则有,所以.
8．答案：C
解析：由于函数与在上单调递减,可知,,只需比较与的大小,由于幂函数在上单调递增,所以.
9．答案：AD
解析：由函数（其中且）的图象过第二、三、四象限，可得，且，即，.
10．答案：ABD
解析：函数的定义域为R，又是奇函数，所以，解得，代入验证可知，所以，故A正确；，由于函数在R上单调递增且，函数在上单调递增，所以函数在R上单调递增，则，且，恒有，故B正确；因为在上单调递增，，，所以函数在上的取值范围为，故C错误；
若，恒有成立，则，则的解集为R，
当时，，解得，不符合题意，
当时，要使得解集为R，则有解得，综上，若，恒有成立，则，因此其成立的充分不必要条件可以是，故D正确.故选ABD.
11．答案：AD
解析：函数(且)，图像经过2，3，4象限，
故得到，当时，
函数是减函数，，函数为增函数，故得到
故得到，，故得到AD正确，BC错误.
12．答案：BC
解析：当时，的大致图象如图1，故B正确.当时，不妨取，则的图象如图2，故C正确.
13．答案：③
解析：①的系数不是1，不是指数函数；
②的指数不是自变量x，不是指数函数；
③是指数函数；
④的底数是x不是常数，不是指数函数；
⑤的指数不是自变量x，不是指数函数；
⑥是幂函数.
故答案为：③.
14．答案：
解析：当，即时，，
所以函数的图象过定点.
故答案为：
15．答案：
解析：函数是增函数,若要是增函数,则函数是增函数,.
16．答案：
解析：因为,所以,因为,
所以,,,即,即,
则的最大值为,
故答案为：.
17．答案：（1）函数为有界函数
（2）
解析：（1）若是奇函数,则,
则,
所以恒成立,
所以是奇函数时,.
或者：由为奇函数,可得,则有,解得.
此时,
由,知,于是,则,
故时,,
所以,函数为有界函数.
（2）若函数在上是以为上界的函数,则有在上恒成立.
故恒成立,即恒成立,
所以即
由题可知,不等式组在上恒成立.
因为在上单调递减,其最大值为;
又在上单调递减,其最小值为.
所以即,故m的取值范围是.
18．答案：（1）；
（2）①证明见解析；②
解析：（1）由于函数为R上奇函数，那么，且，
则，则，则，；
那么，由，则，
而函数为奇函数，那么时，，
综上所述：当时，，
由复合函数单调性可知：则.
（2）①由于，且，
由于，则，
那么，
则为R上周期为2的函数.
②由（1）可知，当时，，时，，
那么，时，；
，时，；
那么，，；
若要最大，仅需n最大，m最小，
从而考虑如下临界：由于，令，
则，此时；
，，；
当时，，
，
那么，，
令，（舍去）；
同理，时，，
，
那么，，
令，（舍去）；
从而，，
那么的最大值为.
19．答案：（1）；
（2）递减区间是，递增区间是；
（3）.
解析：（1）函数的定义域为R，由为偶函数，得，
即，即，又不恒为0，
所以.
（2）函数，令，函数在上单调递增，
当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（3）由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，
不等式，
则，而，
于是，
依题意，对于任意恒成立，
当时，，当且仅当或时取等号，
，当且仅当时取等号，因此，
所以实数k的取值范围是.
20．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）由函数为奇函数，
得，解得，
所以.
（2）由（1）知，，当时，，则，因此，
令，，不等式，
等价于，即，而，
因此，，而函数在上单调递减，
即，从而恒成立，则，
所以正实数k的取值范围是.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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