2024-2025学年高一数学北师大版必修第一册课时优化训练:函数的单调性和最值
一、选择题
1.已知函数,若在上恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知函数的对称轴为直线,则下列关系式正确的是( ).
A. B.
C. D.
3.已知函数在上是增函数,则a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
4.下列四个函数在上为增函数的是( ).
①;②;③;④.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
5.若函数在区间上单调递减,则a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
6.如果二次函数在区间上是减函数,则a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
7.函数,的最大值与最小值之和为( ).
A.1.75 B.3.75 C.4 D.5
8.已知函数,,若的最小值为,则实数m的值为( ).
A. B. C.3 D.或3
二、填空题
9.已知定义在R上的函数的值域为,则的单调递增区间为__________.
10.若函数在区间上不是单调函数,那么实数a的取值范围是__________.
11.已知一次函数在上的最大值为9,则实数a的值为_________.
三、解答题
12.已知函数的导函数的两个零点为和0.
(1)求的单调区间;
(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.
13.已知.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,恒成立,求实数的最大值.
14.已知函数.
(1)若为单调函数,求的取值范围;
(2)若函数仅有一个零点,求的取值范围.
15.已知函数.
(1)求的最大值;
(2)设函数,若对任意实数,当时,函数的最大值为,求的取值范围;
(3)若数列的各项均为正数,.求证:.
16.已知函数,
(1)讨论函数的单调区间;
(2)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.
参考答案
1.答案:C
解析:当时,,故,
即,由随x增大而增大,故,
当时,恒成立。
当时,,故,
即,由随x增大而增大,故,
当时,,故,
即,由随x增大而减小,故,
即,
综上所述,.
故选:C.
2.答案:C
解析:因为该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线,所以在上单调递减.因为,所以.
3.答案:D
解析:由于函数在上是增函数,因此函数在区间上单调递增,在区间上单调递增,且,
即解得.
4.答案:C
解析:①在上为减函数;②在上既不是增函数,也不是减函数;③在上是增函数;④在上是增函数.
5.答案:C
解析:令,则在上单调递减,其图象的对称轴为,
,且,解得.
6.答案:B
解析:函数图象的对称轴为直线,函数在区间上是减函数,可得,解得.
7.答案:B
解析:函数图象的对称轴为直线,则在上单调递减,在上单调递增,,,,故选B.
8.答案:C
解析:函数,.
当时,,不合题意;
当,即时,在上单调递减,可知在处取得最小值,则,解得;
当,即时,在上单调递增,可知在处取得最小值,则,不成立.
综上可得.
9.答案:(或)
解析:由已知得解得,
所以,
所以其单调递增区间为(或).
10.答案:
解析:函数在区间上不是单调函数,说明其图象的对称轴满足,所以.
11.答案:2或
解析:当时,在上单调递增,
解得则;
当时,在上单调递减,
解得则.
综上所述,或.
12.答案:(1).
令,
因为,所以的零点就是的零点,且与符号相同.
又因为,所以当时,,即,
当或时,,即,
所以的单调递增区间是,单调递减区间是.
(2)由(1)知,是的极小值点,所以有
解得,所以.
由(1)可知当时,取得极大值,为,
故在区间上的最大值取和中的最大者.
因为,所以函数在区间上的最大值是.
解析:
13.答案:(1)的定义域为.
由得, ,可得到下表:
正 0 负
极大值
故在上单调递增,在上单调递减.
(2)当时,,即,化简可得.
令,则.
,令,
则在上单调递增.
,
存在唯一的,使得,
在区间上单调递减,在区间上单调递增,
.
由得,两边取对数,得,
,即的最大值为1.
解析:
14.答案:(1)由,得,
因为为单调函数,所以当时,或恒成立,
由于,于是只需或对于恒成立.
令,则,
当时,,所以为增函数,
则当时,.
又当时,,
所以不可能恒成立,即不可能为单调递减函数.
当时,恒成立,此时函数单调递增,符合题意.
故的取值范围为.
(2)因为,所以是的一个零点.
由(1)知,当时,为上的增函数,
此时关于的方程仅有一解,即函数仅有一个零点,满足条件.
当时,由得,令,
当时,,则,
此时,易知为上的增函数,且,
所以当时,,即为减函数,
当时,,即单调递增,所以在上恒成立,且仅有,于是函数仅有一个零点.
所以满足条件.
当时,由于在上为增函数,且,当时,,
则存在,使得,即使得,
当时,,当时,,
所以,且当时,.
于是当时,存在的另一解,不符合题意,舍去.
当时,由在上为增函数,,
得存在,使得,即使得,
当时,,当时,,
所以,且当,时,,
于是当时,存在的另一解,不符合题意,舍去.
综上,的取值范围为.
解析:
15.答案:(1) 的定义域为,
当时,单调递增;
当时,单调递减,
所以
(2)由题意
①当时,函数在上单调递增,在上单调递减,此时,不存在实数,使得当时,函数的最大值为.
②当时,令,有
(i)当时,函数在上单调递增,显然符合题意.
(ii)当即时,函数在和上单调递增,在上单调递减,在处取得极大值,且,
要使对任意实数,当时,函数的最大值为,只需,解得,又所以此时实数的取值范围是.
(iii)当即时,函数在和上单调递增,在上单调递减,要对任意实数,当时,函数的最大值为需代入化简和,①
令,
因为恒成立,
故恒有,所以时,①式恒成立,
综上,实数的取值范围是.
(3)由题意,正项数列满足:
由(1)知:,即有不等式
由已知条件知
故
从而当时,
所以有,对也成立,
所以有
解析:
16.答案:解:(1) 求导得.
当时, ,,在上递增.
当,求得两根为,即在递增,递减. 递增.
(2)由(1)知,只有当 时,在内是减函数,因此
,且,
解得:.
解析:
精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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