2024-2025学年山东省青岛市崂山区育才中学九年级（上）期初
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程的根是( )
A. ， B. ，
C. D.
4.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
5.阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有只，则只没地方去，若每棵树上有只，则多了一棵树”设乌鸦只，树棵依题意可列方程组( )
A. B. C. D.
6.某玩具店销售某款玩具，单价为元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
7.一次函数与的图象在同一坐标系中，能满足条件的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.如图，，，，设，，，则，，的数量关系是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.某校体育期末考核“仰卧起坐”和“米”两项，并按：的比例
算出期末成绩，已知小林这两项的考试成绩分别为分、分，则小林
的体育期末成绩为______分
10.如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单
位，得到线段，则点的对应点的坐标是______．
11.边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则的度数为______．
12.已知，其中，是常数，则 ______．
13.如图，的周长为，点，在边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，若，则的长度为______．
14.如图， 的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为______．
三、解答题：本题共11小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某国际帆船中心外形形状是一个三角形，要在它的内部修建一处公共服务设施用点表示，使它到公路、的距离相等，且到点、的距离也相等在图中确定公共服务设施的位置不写作法，保留作图痕迹
16.本小题分
解方程组：．
17.本小题分
解不等式组，并写出其所有的整数解．
18.本小题分
化简：
；
．
19.本小题分
解方程：
用配方法：；
用公式法：．
20.本小题分
由北航北京科技创新中心研究基地和国家科技资源共享服务工程技术研究中心联合完成的年中国城市科技创新指数报告以下简称报告正式发布，该研究中心随机对年我国个地级市城市科技创新指数得分的有关数据进行收集、整理、描述和分析下面给出了部分信息：
综合指数得分的频数分布表数据分成组：；；；：；：
综合指数得分 频数 频率
合计
在“”这一组的综合指数得分是：
个城市的科技创新总量指数与效率指数得分扇形统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
综合指数得分的频数分布表中， ______， ______；
个城市综合指数得分的中位数为______；
在个城市的科技创新总量指数与效率指数得分情况扇形统计图中，科技创新总量得分所在的扇形的圆心角的度数是______；
若城市科技创新指数得分在分以上的为创新型城市，请估算我国参评“中国城市科技创新指数”的个地级以上城市中的创新型城市有多少个？
21.本小题分
已知，在 中，点、分别在和上，点、在对角线上，且，．
求证：≌
四边形是平行四边形．
22.本小题分
年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用元，很快销售一空，第二次又用元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的倍，但单价贵了元．
求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于不考虑其他因素，那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
23.本小题分
我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式例如图可以得到，基于此，请解答下列问题：
根据图，写出一个代数恒等式： ______；
利用中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ______；
小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个长方形，直接写出的所有可能取值______；
事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．
24.本小题分
如图，直线与轴交于点、与轴交于点．
直线的表达式为______；
若直线上有一点，轴上有一点，当周长最小时，求点的坐标；
如图，直线：与直线交于点，点，直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25.本小题分
如图，在等腰中，，在中，，旋转得到点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为过点作，交于点，交于点，过点作，交于点分别连接，，设运动时间为，解答下列问题：
当点在垂直平分线上时，求的值；
当时，求的值；
当平分时，求的值；
设五边形的面积为，求与之间的函数关系式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据题意作图如下：
点即为所求．
16.解：，由方程得：，
由得：，
把代入得：，
原方程组的解为．
17.解：
由得，，
由得，．
所以不等式组的解集为，
该不等式组的整数解为，，．
18.解：
；
．
19.解：，
移项得：，
二次项系数化为得：，
配方得：，
即，
开平方得：，
，．
，
，，，
，
，
，．
20.；；
；
；
个，
答：估算我国参评“中国城市科技创新指数”的个地级以上城市中的创新型城市约有个．
21.证明：在平行四边形中，，
．
在和中，
，
≌．
≌，
，．
．
四边形是平行四边形．
22.解：设第一次购进冰墩墩个，则第二次购进冰墩墩个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进冰墩墩个．
由知，第二次购进冰墩墩的数量为个．
设每个冰墩墩的标价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每个冰墩墩的标价至少为元．
23.；
；
或；
原几何体的体积，新几何体的体积，
．
故答案为：．
24.解：；
在轴上取点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，
最小，
的周长最小，
，
设直线的解析式为，
将点，代入上式，
得
解得：
直线的解析式为，
直线与轴交点，令，得，
，
存在．
如图，
得：
，
，
设直线的表达式是：，
将点，，代入上式，
，
解得，
，
令，
，
，
，
，
过点作轴，垂足为，则
，
，
，
设，
，
即，
，，
或
25.解：如图，连接，
点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，
，
点在垂直平分线上，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：；
由题意， ，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得：；
连接，如图所示：
根据解析可知：，，
，
根据题意可得：，则，
，
，
平分，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：；
如图，过点作于，
在等腰直角中，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，
，则，
，
∽，
，
，，
，
， ，
，
与之间的函数关系式为：．
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