济宁市实验中学高二年级第一学期九月模块测试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码.
2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.以下现象是随机现象的是( )
A．标准大气压下，水加热到100 ℃，必会沸腾
B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为ab
D．实系数一次方程必有一实根
2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )
A. B. C. D.
4.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为( )
A. B． C. D.
5．直三棱柱中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知空间向量，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7.国庆节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( )
A. B. C. D.
8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为( )
A.4.33% B.3.33% C. 3.44% D.4.44%
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为（ ）
A． B． C． D．
10.下列各组事件中，是互斥事件的是( )
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
11．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
第Ⅱ卷（非选择题）
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.
13.已知A，B，C两两互斥，且P(A)＝0.3，P()＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A∪B∪C)＝________．
14.在长方体中，，以为原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，若点为线段的中点，则到平面距离为 ．
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（13分）
16.（13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级” ，求事件M发生的概率．
17.（15分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
18.（17分）如图所示，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面．
19．（17分）在长方体中，，为线段中点．
（1）求直线与直线所成的角的余弦值；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由．济宁市实验中学高二年级第一学期九月模块测试
数学试题答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B B B C D D B B BC ACD CD
13. 0.9 14. ，
15.解：
…………6分
…………13分
16.解：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． …………5分
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种． …………10分
②由(1)知，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝. …………15分
17.解：记Ai表示事件“第i局甲获胜”，i＝3,4,5，Bj表示事件“第j局乙获胜”，j＝3,4,5.(1)记A表示事件“再赛2局结束比赛”．A＝(A3A4)∪(B3B4)．
由于各局比赛结果相互独立，故
P(A)＝P((A3A4)∪(B3B4))＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52. …………7分
(2)记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”．
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5)，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)·P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648. …………15分
18.解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
设，连结．
则，，，，∴，，
∴且与不共线，∴，
∵平面，平面，∴平面． …………7分
（2）由（1）知，∵，，∴，
∴，∴，同理，
又，∴平面． …………17分
19．解：（1）以点为原点，分别以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，
∴，，，，
∴，故，
即与所成角的余弦值为． …………7分
（2）假设在棱上存在一点，使得平面，则，
设，平面的法向量为，
则有，取，可得，
要使平面，只要，∴，
又平面，∴存在点使平面，此时．…………17分■■■■
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
16.(15分)
数学试题·答题卡
四、解答题（共77分，解答应写出 说明、证明过程或演算步骤）
15.(13分)
姓名：
班级：
考生条形码粘贴处
考号：
,考生答酣，先将条形羽桩条形羽区，并将本人班级、蛀名、考号值写在相应位置。
注2答题时，必须传用0,5毫米粕的娠色墨整字笔书写：选格填途时，必须用2笔按医示范墙涂：
正确填涂
3.严格照题号在答驱域内作培：超出答题区林写的答案无放，在草藉纸、试港上音题无效。
项4保持答卡清洁完整：严禁新叠：严禁驻答题卡上做任闪标就记，严禁放液、修正纸和修正带
错误填涂[×1【/]【/]
若考生未按上送要求填与答题，影评粉结果，后自负。
一、单选题（共40分）
5[A][B][C][D]
5三
1[A]B][C[D]
2[A[B][C[D]
6[A][B][C][D]
3[A][BI[C][D]
7[A][B][C][D]
4[A]B][C[D]
8 [A][B][C][D]
二、多选题（共18分）
9[A]B][C[D]
10[AN[B][C[D]
11[A]B][CD]
三、填空题（每小题5分，共15分）
13
14.
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
数学第1页（共6页）
数学第2页（共6页）
数学第3页（共6页）
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
17.(15分)
18.(17分)
19.(17分)
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效：
数学第4页（共6页）
数学第5页（共6页）
数学第6页（共6页）
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