荆州中学2023级高二上学期九月月考
数学试卷参考答案
1-8 CCBBA BCC 9.ABC 10.ACD 11.AC
12. 2 13. 14.
15．(1) (2)
【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为.
乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲 乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.
（2）丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲 乙 丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：.
16.（1） （2）
【小问1详解】因，
由正弦定理可得，
且，
即，
整理可得，
且，则，可得，
又因为，则，可得，所以.
【小问2详解】因为为的平分线，则，
因为，则，
即，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，整理可得，解得或（舍去），
所以的面积.
17.(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为是的中点，所以，
因为平面，且，
所以平面.
（2）因为，由（1）知四边形为矩形，则，
又平面，所以平面，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
取平面的法向量为，设平面的法向量为，
则，即，令，则，所以.
，所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)众数为；平均数为(2)平均数为；方差为
【详解】（1）解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为，
这800名学生成绩的的平均数为：
（分）.
（2）解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人，
各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人，
其中分数在区间的学生为10人，分别为，
其中平均成绩与方差分别为，则，
设第三组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，则，
设第四组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，
由，可得，由，
可得，解得，
所以第四组的学生实际成绩的平均数为与方差为.
19.（1） （2） （3）（i）；（ii）
（1）由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则有，所以，
直线与平面所成角的余弦值为.
（2）由题可知平面的法向量为，且过点，
因为,所以，所以点到平面的距离为.
（3）（i）建立空间直角坐标系，
先分别画平面 ，
然后得到几何体为
几何体是底面边长为的正方形，高为的长方体，故几何体的体积为，
（ii）由（i）可知，的图像是一个完全对称的图像，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，
此时，
得，
画出第一卦限图像，显然其二面角为钝角，计算平面得二面角，
所以两个平面的法向量分别为，
所以其二面角的余弦值为，所以二面角为.荆州中学2024-2025学年高二上学期9月月考
数学试卷
命题人： 审题人：
时间：150分钟 满分：150分
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2. 图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（ ）
A. 这10年粮食年产量的极差为15
B. 这10年粮食年产量的平均数为31
C. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
D. 这10年粮食年产量的中位数为29
3．正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．8π B．16π C．26π D．32π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件是相互独立事件 D．事件与事件是互斥事件
11.如图，在直三棱柱中，已知为的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段长度的取值范围是
C．当点为中点时，截面的周长为
D．存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在平行六面体中，，，，则 ．
13.已知，，三点，则到直线的距离为 .
14.如图，已知为等边三角形，点 G是的重心.过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段 AC交于点.设，，且设的周长为，的周长为，设，记，则的值域为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲 乙 丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.
(1)求甲 乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
(2)求甲 乙 丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.
16.已知的内角所对的边分别为，且
（1）求角A；
（2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积.
17．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和，第三组的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组的学生实际成绩的平均数与方差.
19．在空间直角坐标系中，己知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
（1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离；
（3）（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积；
（ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.
