专题2.4.2 等腰三角形的判定定理（二）七大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，是的中点，且，，交于点，，，则的周长等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，点E是线段的中点，连接，恰好平分，下列说法不正确的是（ ）
A． B．线段是的中线
C． D．
4．在中，的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）
A．不等边三角形 B．等边三角形
C．只有两边相等的三角形 D．无法确定
5．如图，在中，平分，垂直平分．若，以下结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（ ）s后，可得到等边．
A．1 B． C．4 D．2
8．如图，，点P在的内部，点C，D分别是点P关于的对称点，连接交分别于点E，F；若的周长的为9，则线段（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接．若，则的周长为（ ）
A．8 B． C． D．
10．如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ．
12．如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 ．
13．在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角α的大小是 ．
14．如图，在中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接．若．则的长为 ．
15．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，则括号中应该填的条件是① ；② ．
16．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向的M处，它以每小时45海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为 海里．
17．如图，在长方形中，，点P为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接，当点落在边上时，的度数为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ．
18．如图，在中，，，的面积为，于点，直线的垂直平分线交于点，交于点，是线段上的一个动点，则的周长的最小值是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．
20．如图，在中，，点分别在边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数．
21．如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：；
(3)当时，求的度数．
22．已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
23．在等边中，点在直线上，点在直线上，且，连接，，交点为．
(1)如图①，猜想与的关系；
(2)当点，分别在，的延长线上，如图②，其他条件不变时，与又有怎样的大小关系？请写出你的猜想并证明．
24．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点．
求证：．
请写出完整的证明过程：…
(1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
(2)【应用】如图3，在中，，平分于点，点在上，，若，则的长为______．
(3)【拓展】如图4，在中，平分交于点于点，若，，，则的面积为____．
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专题2.4.2 等腰三角形的判定定理（二）七大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
延长至点，使，连接，证明，再运用全等三角形的性质可得，，然后运用等腰三角形的性质可得，进而求解即可
【详解】解：如图，延长至点，使，连接．
因为，，
所以．
所以，．
因为，
所以．
又因为，
所以，
所以．
所以．
故选B．
2．如图，在中，是的中点，且，，交于点，，，则的周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，由是的中点可得，进而由可得为的垂直平分线，得到，由三线合一得到，又由得，即得，得到，据此可得的周长，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵是的中点，，
∴，
又∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：．
3．如图，，点E是线段的中点，连接，恰好平分，下列说法不正确的是（ ）
A． B．线段是的中线
C． D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质可判定A选项，由线段中点可判定B选项， 延长，交于点F，证明，由全等三角形的性质结合等腰三角形的性质可判定D，根据推出，进而可得C选项说法错误．
【详解】解：∵，
∴，故A选项说法正确；
∵点E 是线段的中点，
∴，即线段 是的中线，故B选项说法正确；
延长，交于点F，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故D选项说法正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故C选项说法不正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
4．在中，的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）
A．不等边三角形 B．等边三角形
C．只有两边相等的三角形 D．无法确定
【答案】B
【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质得到，根据等边三角形的概念判断即可．本题考查的是因式分解的应用、等边三角形的概念，灵活运用配方法、非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：，
则，
，
，
，，，
，
是等边三角形，
故选：B．
5．如图，在中，平分，垂直平分．若，以下结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键，由垂直平分．得，进而得，再证，可得，即可得解．
【详解】解：垂直平分．
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项正确；
故选．
6．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、格点问题等知识点，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形，然后统计即可解答．
【详解】解：如图:根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形如下：
以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个．
故选C．
7．如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（ ）s后，可得到等边．
A．1 B． C．4 D．2
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，掌握等边三角形的判定是解题的关键．
设点M、N运动后，可得到等边，求出，由等边三角形的性质得到，当时，是等边三角形，得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：设点M、N运动后，可得到等边，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴时，是等边三角形，
∴，
∴，
∴点M、N运动后，可得到等边
故选：C．
8．如图，，点P在的内部，点C，D分别是点P关于的对称点，连接交分别于点E，F；若的周长的为9，则线段（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质．连接，．证明是等边三角形，进而可得结论．
【详解】解：连接，．
点，分别是点关于，的对称点，
，，，，，
，
是等边三角形，
，
，
．
故选：B．
9．如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接．若，则的周长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，直接利用基本作图方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，是线段的垂直平分线，，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为，
故选：D．
10．如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，进而可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误．
【详解】解：如图，在上取点使，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，③正确，故符合题意；
∵，
∴，
∴，②正确，故符合题意；
∴，①正确，故符合题意；
∵，，
∴，④错误，故不符合题意；
综上：正确的有①②③，共3个，
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质．根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，从而得到．
【详解】解：是的平分线，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
．
故答案为：4．
12．如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定；掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：6．
13．在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角α的大小是 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．分三种情况考虑：当，分别求出夹角的大小即可．
【详解】解：∵是等腰三角形，，
①当时，
∴，即，
∴；
②当时，是等腰三角形，
∴，即，
∴；
③当时，是等腰三角形，
∴，
∴， 即，
∴， 此时点P与点B重合，点D和A重合，
综合所述：当是等腰三角形时，或或．
故答案为：或或．
14．如图，在中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接．若．则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明是等边三角形，由等腰三角形三线合一得到，进而求出，再根据等角对等边即可得出结果．
【详解】解：，
是等边三角形，
．
是边上的中线，
．
是等腰三角形，
，
故答案为：．
15．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，则括号中应该填的条件是① ；② ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的判断；利用等边三角形和等腰三角形的判定定理即可求解．
【详解】条件①：添加，
∵有一个角是的等腰三角形是等边三角形；
条件②：添加
∵有两边相等的等腰三角形是等腰直角三角形；
故答案为：，
16．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向的M处，它以每小时45海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为 海里．
【答案】90
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，方向角的计算，根据方向角先求出，根据平行线的性质得出，得出，根据等腰三角形的判定得出结果即可．
【详解】解：∵，
∵向北的方向线是平行的，
∴，
∴，
∴（海里），
故答案为：90．
17．如图，在长方形中，，点P为边上的一个动点，以为边向右作等边，连接，当点落在边上时，的度数为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ．
【答案】
【分析】以为边向右作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，如图1中，设交于点，再证明是等腰直角三角形，可得结论．
【详解】解：如图，以为边向右作等边，连接．
是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
点在射线上运动，
如图1中，设交于点，
当点落在上时，点与重合，此时，
当时，的长最小，此时，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于填空题中的压轴题．
18．如图，在中，，，的面积为，于点，直线的垂直平分线交于点，交于点，是线段上的一个动点，则的周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】如图，连接利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，推出的最小值为，由此即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．
【答案】见解析
【分析】根据线段的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可．
本题考查了线段的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图的基本技能是解题的关键．
【详解】解：根据基本作图的步骤，作图如下：
（1）作射线；
（2）在射线上截取；
（3）作的中垂线，交于点D；
（4）截取，
则等腰就是所求的三角形．
20．如图，在中，，点分别在边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由可得，结合，，利用“边角边”证明，然后即可求证是等腰三角形；
（2）结合可得，，根据三角形内角和定理解得，进而可得，易知，然后由求出的度数即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：；
(3)当时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．
（1）首先根据条件证明，根据全等三角形的性质可得，进而可得到是等腰三角形；
（2）根据，可知，即可得出结论；
（3）由（2）知，再根据等腰三角形的性质即可得出的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，
∵，
∴．
22．已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的度数是；；
(3)证明见解析．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据等边三角形性质得出，求出，证即可；
（2）根据全等求出，求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出，根据证，推出，求出即可．
【详解】（1）证明：∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴
，
∴，
∴的度数是；
（3）证明：∵，
∴，
又∵点M、N分别是线段的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
23．在等边中，点在直线上，点在直线上，且，连接，，交点为．
(1)如图①，猜想与的关系；
(2)当点，分别在，的延长线上，如图②，其他条件不变时，与又有怎样的大小关系？请写出你的猜想并证明．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质定理是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质和证明，再根据全等的性质得到，最后根据三角形外角的性质得出结论．
（2）同理，先证，再根据全等的性质得到，再根据三角形外角的性质以及等边三角形的性质得出结论．
【详解】（1）猜想，理由如下：
在等边中，，，
又∵，
∴在和中 ，
∴，
∴，
∴．
（2）猜想，理由如下：
在等边中，，，
又∵，
在和中 ,
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
24．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点．
求证：．
请写出完整的证明过程：…
(1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
(2)【应用】如图3，在中，，平分于点，点在上，，若，则的长为______．
(3)【拓展】如图4，在中，平分交于点于点，若，，，则的面积为____．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由此证明，即可证明；
（2）同（1）法可得：，得到，，再证明，得到，根据线段之间的关系推出，代入求解即可；
（3）过点作，交于点，由角平分线的定义和性质得到，，再证明，得到，据此利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：是的平分线，
，
，，
，
又，
，
；
（2）解：，
，
平分，，
同（1）法可得：，
，，
，
，
又，，
，
，
，，
，
∵，
∴，
；
故答案为：；
（3）解：过点作，交于点，如图，
平分交于点，，
，，
，，
，
，
，
∵，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和角平分线的性质，等角对等边，三角形内角和定理，通过（1）中证明角平分线的性质定理是解题的关键．
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