专题2.7.2 探索勾股定理（二）十一大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．48
2．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ）
A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
3．如图所示，以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数4的点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一架5的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3，若梯子的顶端下滑2，则梯足将滑动（ ）
A．2 B． C． D．
5．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，有两棵树和（都与水平地面垂直），树高8米，树梢D到树的水平距离（）的长度为8米，米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．10米 B．9米 C．8米 D．7米
7．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在海面上有两个疑似漂浮目标、，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地.一艘搜救艇以6海里／时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以8海里／时的速度向目标前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标、，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ．
12．如图，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m．
13．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形、以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 ．
14．如图，梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根的距离为，梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于，同时梯子的顶端下降至，则的长为 （梯子的长为）．
15．如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s．
16．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒．
17．为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元．
18．为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要 km(结果保留根号）．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．现有一楼房发生火灾，消防员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长，如图所示，消防员先在A处架云梯，完成从高处救人，然后前进到B处从高处救人．（精确到，参考数据：，，）
(1)求消防车在A处到楼房的距离（的长度）；
(2)求消防车两次救援移动的距离（的长度）．
20．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)求秋千的长度；
(2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
21．一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．
(1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间；
(2)求岛在港的什么方向？
22．超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，．
(1)求的距离，（取）
(2)试判断此车是否超过了的限制速度？
23．台风会引起城市积涝、山体滑坡等严重灾害，为降低台风贝碧嘉的影响，A市实时跟踪其运动状态，气象站测得台风中心在其正南方向800千米的B处，以60千米/时的速度向北偏西的方向移动，已知距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域．
(1)A市是否会受到台风的影响？请说明理由；
(2)如果A市受这次台风影响，那么影响的时间有多长？
24．【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：.
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：中，，，，.
求证：.
证明：由图可知，
，______，
正方形边长为______，
，
即．
【深入思考】
如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E
（2）求证：，；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；
【实际应用】
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题2.7.2 探索勾股定理（二）十一大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的应用，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可．
【详解】解：有图形可得：个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积中间小正方形的面积，
∴，
∴，
故选：B．
2．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ）
A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
∵米，米，米，
∴（米）．
在中，由勾股定理得到：（米）,
故选：B．
3．如图所示，以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数4的点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理及数轴上两点间距离公式，熟记勾股定理的公式是解题的关键．根据勾股定理的公式算出正方形的对角线长，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得数轴上正方形的边长为4，
则正方形的对角线长为：，
则点A表示的数为
故选：D．
4．如图，一架5的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3，若梯子的顶端下滑2，则梯足将滑动（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．如图，由题意知，，，，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，，，，
由勾股定理得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故选：B．
5．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．
故选D
6．如图，有两棵树和（都与水平地面垂直），树高8米，树梢D到树的水平距离（）的长度为8米，米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．10米 B．9米 C．8米 D．7米
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，连接，
∵
∴
∵树高8米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
故选A．
7．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，分类讨论，当筷子直立在水杯中时， ；当筷子斜放在水杯中，如图所示，运用勾股定理可得；由此即可求解．
【详解】解：根据题意，当筷子直立在水杯中时，；
当筷子斜放在水杯中，如图所示，，且
∴，
∴筷子露在外面的部分的长度为，
∴的取值范围为：，
故选：B ．
8．如图，在海面上有两个疑似漂浮目标、，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地.一艘搜救艇以6海里／时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以8海里／时的速度向目标前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标、，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、方向角是解答本题的关键．根据题意可得海里，海里，海里，即可得，则，进而可得，从而可得出答案．
【详解】解：根据题意得，（海里），（海里），
，
海里，
，
，
．
，
，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西．
故选：B
9．一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：=+=，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
10．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒
【答案】B
【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间．
【详解】解：如图：过点作，米，
，米，
米，
当火车到点时对处产生噪音影响，此时米，
米，米，
由勾股定理得：米，米，即米，
火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶，
影响时间应是：秒．
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
，即①，
∵，
②，
得，
∴大正方形的面积，
故答案为：．
12．如图，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m．
【答案】15
【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题、勾股定理等知识点，根据题意画出平面展开图是解答题的关键．
如图：连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
【详解】解：如图所示：
将图展开，图形长度增加，
原图长度增加2米，则，
如图：连接，
∵四边形是长方形，，宽，
∴，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走的路程．
故答案为15．
13．如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形、以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了实数与数轴的有关问题，利用勾股定理求出圆的半径是解题的关键．根据图形可知正方形的边长为1，所以其对角线的长度为，即圆的半径为，点A可以看作表示2的点向左平移个单位长度得到的，据此即可解答．
【详解】解：∵正方形的边长为1，则正方形的对角线的长度是，
∴圆的半径为，
∴点A可以看作表示2的点向左平移个单位长度得到的，即点A表示的数是，
∴点A表示的数是．
故答案为：．
14．如图，梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根的距离为，梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于，同时梯子的顶端下降至，则的长为 （梯子的长为）．
【答案】
【分析】直接利用勾股定理求出以及进而求出的长即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确利用勾股定理是解题关键．
【详解】解：由题意可得出：，
∴在中，，
在中，，
∴的长为：．
故答案为：．
15．如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s．
【答案】24
【分析】本题考查了勾股定理的应用及等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间路程速度．设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束，在中求出，继而得出，再由卡车的速度可得出所需时间．
【详解】解：设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束了噪声的影响．
则有，
在中，，
，
则该校受影响的时间为：．
该学校受影响的时间为24秒．
故答案为：24
16．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒．
【答案】 80 12
【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
【详解】解：作于，
，m，
m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，
，
在中，m，
m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，
重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
故答案为：80，12．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元．
【答案】2100
【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，然后可得答案．
【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边，
所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长，
所以需要地毯的总长度为，
所以需要地毯的总面积为，
所以购买这种地毯至少需要元，
故答案为：2100．
【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长．
18．为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要 km(结果保留根号）．
【答案】
【分析】作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小，先在Rt△ABM中利用勾股定理求出线段AM的长，再在Rt△A′BN中利用勾股定理求出线段A′B即可．
【详解】如图，
作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小．
作A′N∥，AM∥，BN⊥与AM、A′N分别交于点M、N，
∵A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，
∴Rt△ABM中，BM=1km，AB=4km，
∴AM=(km)，
在Rt△A′BN中，∵A′N= AM=(km)，BN=1+2=3(km)，
∴A′B=(km)，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、勾股定理的应用等知识，利用对称找到点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．现有一楼房发生火灾，消防员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长，如图所示，消防员先在A处架云梯，完成从高处救人，然后前进到B处从高处救人．（精确到，参考数据：，，）
(1)求消防车在A处到楼房的距离（的长度）；
(2)求消防车两次救援移动的距离（的长度）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意是解答的关键．
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求得，进而可求解．
【详解】（1）解：由题意，，，，，，
∴在中，，
则，
答：消防车在A处到楼房的距离为；
（2）解：由题意，在中，，，
∴，
∴，
答：消防车两次救援移动的距离约为．
20．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)求秋千的长度；
(2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
【答案】(1)秋千的长度是；
(2)此时踏板离地的垂直高度为．
【分析】本题考查勾股定理的应用等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案；
（2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则，
解得，
即此时踏板离地的垂直高度为．
21．一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．
(1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间；
(2)求岛在港的什么方向？
【答案】(1)从岛返回港所需的时间为小时；
(2)岛在港的北偏西．
【分析】（）中，利用勾股定理求得的长度，则，然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间路程速度；
（）由勾股定理的逆定理推知，由方向角的定义作答；
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）由题意，
中，，得，
∴．
∴．
∴．
则（小时），
答：从岛返回港所需的时间为小时；
（2）∵，，
∴．
∴，
∴
∴岛在港的北偏西．
22．超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，．
(1)求的距离，（取）
(2)试判断此车是否超过了的限制速度？
【答案】(1)
(2)此车超过的限制速度．
【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
（1）先说明，然后根据含30度角直角三角形的性质可得，再运用勾股定理可求得的长，然后再根据等腰直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答；
（2）先求出从A处行驶到B处的速度，然后再比较即可解答．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴,
∴．
（2）解：小车的速度为：
∴此车超过的限制速度．
23．台风会引起城市积涝、山体滑坡等严重灾害，为降低台风贝碧嘉的影响，A市实时跟踪其运动状态，气象站测得台风中心在其正南方向800千米的B处，以60千米/时的速度向北偏西的方向移动，已知距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域．
(1)A市是否会受到台风的影响？请说明理由；
(2)如果A市受这次台风影响，那么影响的时间有多长？
【答案】(1)A市是否会受到台风的影响，理由见详解
(2)A市受这次台风影响的时间为10小时
【分析】本题考查了勾股定理的应用和含角的直角三角形，根据题意正确构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点A作于点C，根据题意得出的长，进而得出答案；
（2）以点A为圆心，500千米为半径画圆交于点D、E，首先求出的长，进而得出的长，因此可求得A市受这次台风影响的时间．
【详解】（1）解：A市会受到台风的影响，理由如下：
过点A作于点C，
在中，，千米，
千米500千米，
A市会受到台风的影响；
（2）以点A为圆心，500千米为半径画圆交于点D、E，
在中，（千米），
（千米），
A市受这次台风影响的时间为：（小时）
24．【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：.
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：中，，，，.
求证：.
证明：由图可知，
，______，
正方形边长为______，
，
即．
【深入思考】
如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E
（2）求证：，；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；
【实际应用】
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 （4）
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键．
（1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题；
（2）依据题意,通过证明即可判断得解；
（3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解；
（4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解.
【详解】(1)证明：由图可知，
，，
正方形边长为，
，
即．
故答案为：，；
（2）证明: ∵,
∴，
∵,
∴，
∴，
又, ,
∴.
∴；
(3)证明： 由题意，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
(4)由题意,如图,
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为,
，
设则，
在中,
，
将代入可得，
，
，
∴小正方形的边长等于
∴风车的面积为：．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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