单元测试(四) 勾股定理
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( A )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为( A )
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
3．(2023·衡阳)我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°，则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是( A )
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
4．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为( D )
A．4 B．8 C．16 D．64
6．(金华中考)如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是( C )
7．将一根长度为16 cm自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6 cm至D点(如图)，则该弹性皮筋被拉长了( B )
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
8．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( C )
A．180°－α B．180°－2α C．90°＋α D．90°＋2α
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，△BCD与△BC′D关于直线BD对称，BC＝6，CD＝3，点C与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为( B )
A．3 B． C．5 D．
10．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( C )
A.51
B．49
C．76
D．无法确定
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．某直角三角形三条边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为__20__．
12．李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30 cm，40 cm和50 cm，则这个教具__合格__(填“合格”或“不合格”).
13．(成都中考)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E.若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为__7__．
14．(鄂尔多斯中考)如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是__12__．
15．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是BC边上一点，将长方形沿AE折叠，点B落在点B′处，当△B′EC是直角三角形时，BE的长为__3或6__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．用反证法证明：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C都小于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A＋∠B＋∠C<180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不成立．因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°
17．(9分)已知a，b，c满足(a－)2＋＋|c－|＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
解：(1)∵(a－)2＋＋|c－|＝0，∴a－＝0，b－3＝0，c－＝0，∴a＝，b＝3，c＝ (2)能构成直角三角形．理由如下：∵a2＋c2＝3＋6＝9，b2＝9，∴a2＋c2＝b2，∴以a，b，c为边能构成直角三角形
18．(9分)如图，AC＝BC＝BD＝1，AD＝，求△ABD的面积．
解：在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝＝＝，∵在△ABD中，AB＝，AD＝，BD＝1，∴AB2＋BD2＝AD2，∴△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°，∴S△ABD＝AB·BD＝××1＝
19．(9分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．
(1)画一个直角三角形，使它的面积为3；
(2)画一个正方形，使它的面积为10；
(3)画一个等腰直角三角形，使它的面积为8.
解：(1)(2)(3)如图(其中(1)的答案不唯一)
20．(9分)请阅读下列材料，并完成相应的任务：
《九章算术》是中国古代数学专著，是算经十书中最重要的一种，该书内容十分丰富，多次增补，成书时间已不可考，许多人曾为它作过注释，最出名的有刘徽、李淳风等人．《九章算术》“勾股”章有这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？
解：如图，设甲、乙两人出发后x分钟相遇，根据题意，得BC2＝AB2＋AC2，其中AC＝3x，AB＝10，BC＝7x－10，根据勾股定理，得……
任务：
(1)请你完成材料中余下的部分解题过程；
(2)上述解题过程中，主要用了哪些数学知识？写出两条．
解：(1)BC2＝AC2＋AB2，∴(7x－10)2＝102＋(3x)2，∴x＝0(舍去)或x＝3.5，∴AC＝3x＝10.5，AB＋BC＝7x＝24.5.答：甲走了24.5步，乙走了10.5步 (2)上述解题过程中，主要用了勾股定理，方向角
21．(10分)如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE.
(1)在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S.
请根据以上材料，填空：
方法一：S＝__ab＋b2__；
方法二：S＝S△ABC＋S△BDE＋S△AEF＋S△ABE＝ab＋b2－a2＋c2；
(2)由于(1)中的两种方法表示的都是长方形ACDF的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系(需要化简)；
(3)请直接运用(2)中的结论，求当c＝10，a＝6时，S的值．
解：(2)由题意，得ab＋b2＝ab＋b2－a2＋c2，∴2ab＋2b2＝2ab＋b2－a2＋c2.∴a2＋b2＝c2 (3)∵a2＋b2＝c2，且c＝10，a＝6，∴62＋b2＝102，∴b＝8，∴S＝ab＋b2＝6×8＋64＝112
22．(10分)如图，圆柱形杯子高为7 cm，底面周长为18 cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外底部与蜂蜜相对的点A处．
(1)求蚂蚁从A处爬行到B处的最短距离；
(2)若蚂蚁出发时发现蜂蜜正以1 cm/s的速度沿杯内壁下滑，蚂蚁出发后5秒吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少．
解：(1)如图所示
∵圆柱形杯子高为7 cm，底面周长为18 cm，∴AD＝9 cm，BD＝7 cm.∴AB＝＝＝(cm)，答：蚂蚁从A处爬行到B处的最短距离为 cm (2)∵AD＝9 cm，∴蚂蚁所走的最短路程为＝15(cm).∴15÷5＝3(cm/s).答：蚂蚁的平均速度至少是3 cm/s
23．(11分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位长度的速度向左运动，设点P的运动时间为t.连结AP.
(1)当t＝4.5秒时，求AP的长度；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
解：(1)由题意，得BP＝2t，∴当t＝4.5秒时，BP＝2×4.5＝9，∵BC＝12，∴PC＝BC－BP＝12－9＝3，由勾股定理，得AP＝＝＝，∴AP的长度为 (2)在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13.当BP＝AB＝13时，t＝；当AP＝AB＝13时，BP＝2BC＝24，则t＝＝12；当PA＝PB＝2t时，在Rt△APC中，AP2＝PC2＋AC2，即(2t)2＝(12－2t)2＋52，解得t＝.综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝或12或单元测试(四) 勾股定理
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为( )
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
3．(2023·衡阳)我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°，则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是( )
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
4．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．64
6．(金华中考)如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是( )
7．将一根长度为16 cm自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6 cm至D点(如图)，则该弹性皮筋被拉长了( )
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
8．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( )
A．180°－α B．180°－2α C．90°＋α D．90°＋2α
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，△BCD与△BC′D关于直线BD对称，BC＝6，CD＝3，点C与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为( )
A．3 B． C．5 D．
10．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )
A.51
B．49
C．76
D．无法确定
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．某直角三角形三条边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为__ __．
12．李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30 cm，40 cm和50 cm，则这个教具__ __(填“合格”或“不合格”).
13．(成都中考)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E.若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为__ __．
14．(鄂尔多斯中考)如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是__ __．
15．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是BC边上一点，将长方形沿AE折叠，点B落在点B′处，当△B′EC是直角三角形时，BE的长为__ __．
三、解答题(共75分)
16．(8分)已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．用反证法证明：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
17．(9分)已知a，b，c满足(a－)2＋＋|c－|＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
18．(9分)如图，AC＝BC＝BD＝1，AD＝，求△ABD的面积．
19．(9分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．
(1)画一个直角三角形，使它的面积为3；
(2)画一个正方形，使它的面积为10；
(3)画一个等腰直角三角形，使它的面积为8.
20．(9分)请阅读下列材料，并完成相应的任务：
《九章算术》是中国古代数学专著，是算经十书中最重要的一种，该书内容十分丰富，多次增补，成书时间已不可考，许多人曾为它作过注释，最出名的有刘徽、李淳风等人．《九章算术》“勾股”章有这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？
解：如图，设甲、乙两人出发后x分钟相遇，根据题意，得BC2＝AB2＋AC2，其中AC＝3x，AB＝10，BC＝7x－10，根据勾股定理，得……
任务：
(1)请你完成材料中余下的部分解题过程；
(2)上述解题过程中，主要用了哪些数学知识？写出两条．
21．(10分)如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE.
(1)在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S.
请根据以上材料，填空：
方法一：S＝__ __；
方法二：S＝S△ABC＋S△BDE＋S△AEF＋S△ABE＝ab＋b2－a2＋c2；
(2)由于(1)中的两种方法表示的都是长方形ACDF的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系(需要化简)；
(3)请直接运用(2)中的结论，求当c＝10，a＝6时，S的值．
22．(10分)如图，圆柱形杯子高为7 cm，底面周长为18 cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外底部与蜂蜜相对的点A处．
(1)求蚂蚁从A处爬行到B处的最短距离；
(2)若蚂蚁出发时发现蜂蜜正以1 cm/s的速度沿杯内壁下滑，蚂蚁出发后5秒吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少．
23．(11分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位长度的速度向左运动，设点P的运动时间为t.连结AP.
(1)当t＝4.5秒时，求AP的长度；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
