第七章 平行线的证明
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列命题是真命题的是( C )
A．同位角相等 B．平方根与立方根相等的数是1和0
C．倒数等于本身的数是1和－1 D．绝对值等于本身的数是0和1
2．如图，把△ABD沿直线AD翻折180°，点B落在点C的位置，若∠B＝70°，则∠BAC的度数为( B )
A．70° B．40° C．30° D．20°
3．如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是( D )
A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180°
C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
4．如图，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝50°，则∠C＝( B )
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．将一副直角三角板(∠A＝30°，∠E＝45°)按如图所示的位置摆放，使AB∥EF，则∠DOC的度数是( B )
A．70° B．75° C．80° D．85°
6．如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是( C )
A．AB∥CD B．∠B＝30°
C．∠C＋∠2＝∠EFC D．CG＞FG
7．如图，在△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE，BD交于点F，若∠A＝50°，∠BCA＝60°，那么∠BFC的度数是( C )
A．115° B．120° C．125° D．130°
8．如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系是( D )
A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3
C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3
9．如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交CO延长线于点D，若∠A＝45°，∠AOD＝80°，则∠CBD的度数为( B )
A．100° B．110° C．125° D．135°
10．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是( D )
A．135° B．120° C．115° D．105°
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a＝__1__，b＝__2__，c＝__－1__．
12．如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为__132°__．
13．如图所示的是某零件的平面图，其中∠B＝∠C＝30°，∠A＝40°，则∠ADC的度数为__100°__．
14．如图所示，AB∥EF，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠C＋∠D的值为__240°__．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且∠DCE＝∠DEC，点F在AE上，点G在DE的延长线上，且∠DFG＝∠DGF.若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为__70°__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝∠2，求证：AE∥BF.
证明：∵AC⊥AE，BD⊥BF，∴∠EAC＝∠FBD＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠EAC＋∠1＝∠FBD＋∠2，即∠EAB＝∠FBG，∴AE∥BF
17．(9分)如图所示，P是△ABC内的一点，延长BP交AC于点D.
(1)∠1，∠2，∠A的大小关系是怎样的？
(2)若∠3＝25°，∠A＝67°，∠4＝40°，则∠1的度数是多少？
解：(1)∠1＞∠2＞∠A
(2)∵∠3＝25°，∠A＝67°，∴∠2＝∠A＋∠3＝25°＋67°＝92°，∴∠1＝∠2＋∠4＝92°＋40°＝132°
18．(9分)如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
解：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∠ACB＋∠DAC＝180°.∴∠FEC＝∠ECB，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°.又∵∠ACF＝20°，∴∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝40°.又∵CE平分∠BCF，∴∠ECB＝∠BCF＝20°，∴∠FEC＝20°
19．(9分)(宜昌中考)光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，求∠GFH的度数．
解：∵AB∥CD，∴∠GFB＝∠FED＝45°.∵∠HFB＝20°，∴∠GFH＝∠GFB－∠HFB＝45°－20°＝25°
20．(9分)如图，在△ABC中，点D为BC上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，AE与CD相交于点F，若AE平分∠CAD，∠B＝40°，∠C＝35°，求∠1的度数．
解：∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B＝40°，∠C＝35°，∴∠BAC＝105°.又∵AE平分∠CAD，∴∠CAE＝∠DAE.由翻折的性质可得∠BAD＝∠DAE，∠B＝∠E＝40°，∴∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝35°，∴∠AFD＝∠CAE＋∠C＝70°.又∵∠AFD＝∠1＋∠E，∴∠1＝70°－40°＝30°
21．(10分)如图，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G.求证：
(1)∠EGH>∠ADE；
(2)∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.
证明：(1)∵∠EGH是△FBG的外角，∴∠EGH>∠B.又∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∴∠EGH>∠ADE
(2)∵∠BFE是△AFE的外角，∴∠BFE＝∠A＋∠AEF.又∵∠EGH是△BFG的外角，∴∠EGH＝∠B＋∠BFE＝∠B＋∠A＋∠AEF＝∠ADE＋∠A＋∠AEF
22．(10分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.
(1)若∠B＝72°，∠C＝30°，求∠BAE，∠DAE的度数；
(2)若∠B＝∠C＋42°，能求出∠DAE的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．
解：(1)∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°－72°－30°＝78°.又∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝39°.又∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°－∠B＝18°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝39°－18°＝21°
(2)∠DAE＝21°，理由如下：∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B＝∠C＋42°，∴∠BAC＝222°－2∠B.又∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝111°－∠B.又∵∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°－∠B，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝(111°－∠B)－(90°－∠B)＝21°
23．(11分)如图①，在△ABC中，BE为∠ABC的平分线，点D是BC延长线上一点，且满足2∠D＝∠ACB，若∠BAC＝60°，求∠BED的度数．
小明通过探究发现，过点C作CM∥AD(如图②)，交BE于点M，将∠BED转移至∠BMC处，结合题目已知条件进而得到CM为∠ACB的平分线，在△ABC中求出∠BMC，从而得出∠BED的度数．
(1)请按照小明的分析，完成此题的解答；
(2)参考小明同学思考问题的方法，解决下面的问题：
如图③，在△ABC中，点D是AC延长线上一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A＝m°，求∠G的度数(用含m的式子表示)．
解：(1)过点C作CM∥AD交BE于点M，则∠BED＝∠BMC，∠BCM＝∠D.又∵∠ACB＝2∠D，∴∠BCM＝∠ACB.∵BE是∠ABC的平分线，∴∠MBC＝∠ABC，∴∠BED＝∠BMC＝180°－(∠MBC＋∠MCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠BAC)＝180°－×(180°－60°)＝120°
(2)延长BC交DG于点F，
∵BG平分∠ABC，DG平分∠ADE，∴∠GBF＝∠ABC，∠GDE＝∠ADE.∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠GDE＝∠ADE＝∠ACF＝(∠A＋∠ABC)＝∠A＋∠GBF，∴∠G＝∠BFD－∠GBF＝∠A＋∠GBF－∠GBF＝∠A＝m°第七章 平行线的证明
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列命题是真命题的是( )
A．同位角相等 B．平方根与立方根相等的数是1和0
C．倒数等于本身的数是1和－1 D．绝对值等于本身的数是0和1
2．如图，把△ABD沿直线AD翻折180°，点B落在点C的位置，若∠B＝70°，则∠BAC的度数为( )
A．70° B．40° C．30° D．20°
3．如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是( )
A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180°
C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
4．如图，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝50°，则∠C＝( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．将一副直角三角板(∠A＝30°，∠E＝45°)按如图所示的位置摆放，使AB∥EF，则∠DOC的度数是( )
A．70° B．75° C．80° D．85°
6．如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是( )
A．AB∥CD B．∠B＝30°
C．∠C＋∠2＝∠EFC D．CG＞FG
7．如图，在△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE，BD交于点F，若∠A＝50°，∠BCA＝60°，那么∠BFC的度数是( )
A．115° B．120° C．125° D．130°
8．如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系是( )
A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3
C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3
9．如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交CO延长线于点D，若∠A＝45°，∠AOD＝80°，则∠CBD的度数为( )
A．100° B．110° C．125° D．135°
10．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是( )
A．135° B．120° C．115° D．105°
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a＝__ __，b＝__ __，c＝__ __．
12．如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为__ __．
13．如图所示的是某零件的平面图，其中∠B＝∠C＝30°，∠A＝40°，则∠ADC的度数为__ __．
14．如图所示，AB∥EF，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠C＋∠D的值为__ __．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且∠DCE＝∠DEC，点F在AE上，点G在DE的延长线上，且∠DFG＝∠DGF.若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为__ __．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝∠2，求证：AE∥BF.
17．(9分)如图所示，P是△ABC内的一点，延长BP交AC于点D.
(1)∠1，∠2，∠A的大小关系是怎样的？
(2)若∠3＝25°，∠A＝67°，∠4＝40°，则∠1的度数是多少？
18．(9分)如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
19．(9分)(宜昌中考)光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，求∠GFH的度数．
20．(9分)如图，在△ABC中，点D为BC上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，AE与CD相交于点F，若AE平分∠CAD，∠B＝40°，∠C＝35°，求∠1的度数．
21．(10分)如图，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G.求证：
(1)∠EGH>∠ADE；
(2)∠EGH＝∠ADE＋∠A＋∠AEF.
22．(10分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.
(1)若∠B＝72°，∠C＝30°，求∠BAE，∠DAE的度数；
(2)若∠B＝∠C＋42°，能求出∠DAE的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．
23．(11分)如图①，在△ABC中，BE为∠ABC的平分线，点D是BC延长线上一点，且满足2∠D＝∠ACB，若∠BAC＝60°，求∠BED的度数．
小明通过探究发现，过点C作CM∥AD(如图②)，交BE于点M，将∠BED转移至∠BMC处，结合题目已知条件进而得到CM为∠ACB的平分线，在△ABC中求出∠BMC，从而得出∠BED的度数．
(1)请按照小明的分析，完成此题的解答；
(2)参考小明同学思考问题的方法，解决下面的问题：
如图③，在△ABC中，点D是AC延长线上一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A＝m°，求∠G的度数(用含m的式子表示)．
