2025届高三9月数学考试试题
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.若随机变量，随机变量，则（ ）
A．0 B． C． D．2
2.设是可导函数，且，则（ ）
A. 2 B. C. D.
3.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为，则从到这部分电源能通电的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（ ）
A.-1 B.1 C.64 D.
5.下列命题不正确的是（ ）
A.正十二边形的对角线的条数是54；
B. 身高各不相同的六位同学，三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法；
C.有5个元素的集合的子集共有32个；
D. 6名同学被邀请参加晚会，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，共有32种去法.
0.050 0.010
3.841 6.635
6．某校团委对“学生性别和喜欢某视频是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的一半，男生喜欢该视频的人数占男生人数的，女生喜欢该视频的人数占女生人数的，若依据小概率值的独立性检验，认为喜欢该视频和性别有关，则男生至少有（ ）
附：
.
A．12人 B．6人 C．10人 D．18人
7.已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8．已知过点不可能作曲线的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A B. C. D.
10.设函数,则( )
A．是的极小值点 B．当时,
C．当时, D．当时,
11．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则的值域为
B．若，则过原点有且仅有一条直线与曲线相切
C．存在，使得有三个零点
D．若，则的取值范围为
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.
13.已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是________．
14．若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围 ．
四、解答题：共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）某社区举办“闹元宵，猜灯谜”活动.甲、乙、丙三个家庭同时参加此活动．某一灯谜，已知甲家庭猜对的概率是，甲、丙两个家庭都猜错的概率是，乙、丙两个家庭都猜对的概率是．若各家庭是否猜对互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自猜对此灯谜的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜的概率．
16.（15分）已知函数（为实数，且），在区间上最大值为，最小值为.
（1）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围；
（2）过点作函数图象的切线，求切线方程.
17.（15分）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少
18.（17分） 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
（2）假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
19．（17分）已知函数，且在上的最小值为0.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质.
（i）求证：函数在上具有性质；
（ii）记，其中，求证：.2025届高三9月考试数学参考答案
1． B
2.B
3.
A
4. B
5.
D
6．A
7.
A
8．A
9.
BC
10.
AC
11．ABD
12.
13.
14．
15．(1)甲家庭猜对的概率为，乙家庭猜对的概率为
(2)
【分析】（1）记甲家庭猜对此灯谜为事件，乙家庭猜对此灯谜为事件，丙家庭猜对此灯谜为事件，根据相互独立事件的概率公式得到方程组，解得即可；
（2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【详解】（1）记甲家庭猜对此灯谜为事件，乙家庭猜对此灯谜为事件，丙家庭猜对此灯谜为事件，
则，，，
又、、两两相互独立，所以，
解得，即甲家庭猜对的概率为，乙家庭猜对的概率为.
（2）记甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜为事件，
则
.
16.
（1）；（2）；（3）或.
【解析】（1），，，；
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递增，，
，，，，解得：，；
，；
在上为减函数，在上恒成立，，
又当时，，，即实数的取值范围为.
（2）由（1）得：，
设切点为，则切线斜率，
切线方程为：，
又切线过点，，解得：或；
当时，切线方程为：，即；
当时，切线方程为：，即.
17.
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少
17【详解】（1）解：设模型①和②的相关系数分别为，.
由题意可得：，
.
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
（2）因为，
又由，，
得，
所以，即回归方程为.
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
18.（1）
（2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）求出，可得在上单调递增，所以，再分和两种情况讨论，得到的单调性，进而求出的最小值，判断是否符合题意；
（2）（i）要证函数在上具有性质，即证当时，，令，，求得可得在上的单调递增，所以，得证；
（ii）由（i）得，当当时，，再利用导数证明两个不等式：①，其中，②，其中，在利用不等式放缩证明即可.
【详解】（1），，，
，，令
，等号不同时取，
所以当时，，在上单调递增，
①若，即，，在上单调递增，
所以在上的最小值为，符合题意.
②若，即，此时，
，
又函数在的图象不间断，
据零点存在性定理可知，存在，使得，
且当时，，在上单调递减，
所以，与题意矛盾，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）（i）由（1）可知，当时，.
要证函数在上具有性质.
即证：当时，.
即证：当时，.
令，，则，
即，，，
所以在上单调递增，.
即当时，，得证.
（ii）法一：由（i）得，当时，，
所以当时，.
下面先证明两个不等式：①，其中；②，其中.
①令，，则，在上单调递增，所以，即当时，.
②令，，则，
所以在上单调递增，故，
即当时，，故，得.
据不等式②可知，当时，，
所以当时，.
结合不等式①可得，当时，
.
所以当时，
当，时，，有.
所以.
又，
所以
法二：要证：.
显然，当时，，结论成立.
只要证：当，时，.
即证：当，时，.
令，.
所以，，
所以，在上单调递减，
所以，在上单调递增，
所以，在上单调递增，
所以，即当时，.
所以当，时，，有，
所以当，时，.
所以
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
