2024—2025学年上学期学业质量月评价一
九年级 数学学科
100分钟 120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A.内角和等于360° B.对角相等
C.对角线互相垂直 D.对边平行且相等
2.一元二次方程的解是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.观察表格，一元二次方程的一个近似解是（ ）
x 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
A.0.70 B.1.19 C.1.44 D.1.71
4.用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A. B.2024 C. D.1
5.某市2021年人均可支收入为2.36万元，2023年达到2.7万元，若2021年至2023年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）
A. B. C. D.
7.已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，要在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形；
乙：分别作与的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形.
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A.甲正确，乙错误 B.甲错误，乙正确
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
9.如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设，，的面积分别为S，，，若要求出的值，只需知道（ ）
A.的面积 B.的面积
C.的面积 D.矩形BCDE的面积
10.小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，，，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平.
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿AN折叠得到，交折痕MN于点E，则线段EN的长为（ ）
图① 图②
A.8cm B. C. D.
二、填空题（每题3分，共15分）
11.一元二次方程有两个______实根（填“相等”或“不等”）.
12.如图，以正方形ABCD的边AB向内作等边，则______.
13.如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______m.
14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，，DH垂直BC于H，则______.
15.矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边的三等分点，连接DE，点P是DE的中点，，连接CP，则的值为______.
三、解答题（共8小题，75分）
16.（16分）解下列方程.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
17.（10分）如图，已知矩形ABCD.
（1）尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形.
18.（9分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C、D均在格点上.
图① 图② 图③
（1）在图①中，四边形ABCD面积为2；
（2）在图②中，四边形ABCD面积为3；
（3）在图③中，四边形ABCD面积为4.
19.（8分）关于x的方程有两个不等的实数根.求m的取值范围；
20.（10分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感.
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
21.（11分）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明.
（1）用三角板分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，画于点F；
（2）用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图；
（3）请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由.
22.（11分）我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”.
如图1，四边形ABCD中，，，则四边形ABCD叫做“等补四边形”.
［概念理解］
（1）①在等补四边形ABCD中，若，则______°；
②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是______
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
［性质探究］
（2）如图1，在等补四边形ABCD中，，连接AC，AC是否平分？请说明理由.
［知识运用］
（3）如图2，在四边形ABCD中，BD平分，，.
求证：四边形ABCD是等补四边形.
［拓展应用］
（4）将斜边相等的两块三角板按如图3放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°角的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，其中，若，连接BD，则BD的长为______.
图1 图2 图3
2024—2025学年上学期学业质量月评价一九年级数学学科答案
1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 9.C 10.B
11.不等 12.75° 13.2 14. 15.13或
16.（1），；（2），；
（3），；（4），.
17.
图① 图② 图③
18.（1）解：如图1所示：
（2）证明：如图2设EF与AC的交点为O，由（1）可知，直线EF是线段AC的垂直平分线，
∴，，
，
，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形AFCE是菱形.
19.（1）根据题意得，
解得；
20.解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：每轮传染中平均一个人传染8个人.
（2）（人）.
答：经过三轮传染后共有729人会患流感.
21.解：（1）
；
（2）如图，
；
（3）
矩形，理由如下：
∵，，
∴点M、D、E、N在一条直线上，
∵点D、点E分别是AB、AC的中点，
∴DE为的中位线，
∴，，
∵，
∴，，
∴四边形MBCN为平行四边形，
由题意可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形MBCN为矩形.
22.解：（1）解：①∵四边形ABCD等补四边形，，
∴，
∴，
故答案为：130.
②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，
∴正方形是等补四边形，
故选：D.
（2）解：AC平分，
理由：如图1，作于点E，交CD的延长线于点F，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴AC平分.
（3）证明：如图2，在BC上截取，连接DG，
∵BD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是等补四边形.
（4）解：于点H，则，
∵，，
∴，
∴四边形ABCD是等对角四边形，
由（2）得，DB平分，
∴，
∴，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD的长为，
故答案为：.
