专题04 初识非负数
例1 －2或－8
例2 B 提示：｜a－b｜，｜a－c｜中必有一个为0，一个为1，不妨设｜a－b｜＝0，｜a－c｜＝1，则a＝b，｜b－c｜＝1，原式＝0＋1＋1＝2．
例3 6 提示：由题意得x1＝1，x2＝1，…，x2003＝2003，原式＝2－22－23－…－22002－22003＝22003－22002－…－23－22＋2＝22002（2－1）－22001－…－22＋2＝22002－22001－…－22＋2＝…＝24－23－22＋2＝23（2－1）－22＋2＝23－22＋2＝6．
例4 －1或7 提示：分下列四种情形讨论：
（1）若a，b，c均为正数，则ab>0，ac>0，bc>0，原式＝＝7；
（2）若a，b，c中恰有两个正数，不失一般性，可设a>0，b>0，c<0，则ab>0，ac<0，bc<0，abc<0，则原式＝－1；
（3）若a，b，c中只有一个正数，不失一般性，可设a>0，b<0，c<0，则ab<0，ac<0，bc>0，abc>0，则原式＝－1；
（4）若a，b，c均为负数，则ab>0，bc>0，ac>0，abc<0，原式＝－1．
例5 根据绝对值的几何意义，题意可理解为“从数轴上点1出发，每次走一个整点，分别到达点2，点3，点4，点5，点6，最后回到点1，最少路程为多少 ”为避免重复，从左到右走到6，再从右到左走到1为最短路线，取x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5，x6＝6，则S＝1＋1＋1＋1＋1＋5＝10，（也可以取x1＝1，x2＝4，x3＝6，x4＝5，x5＝3，x3＝2）．
例6 根据｜2a－b－1｜＝0知2a－b－1＝0，即b＝2a－1．代人原式中，得（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a＋4．对3a－1的取值分情况讨论为：
（1）当3a－1＞0，即a＞时，∵（3a－1）2＞0，｜2a＋4｜＞0，2a＋4＞0．∴（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．
（2）当3a－1＜0，即a＜时，①若2a＋4≤0，而（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞0，矛盾．②若2a＋4＞0，则（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．
（3）当3a－1＝0，即时，（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a＋4成立，得b＝－．
综上可知a＝，b＝－，ab＝－．
A级
1．（4） 2．－
3．1－2c＋b 提示：－1
4．2 提示：原式变形为｜b－2｜＝2－b，｜a－b｜＝b－a．
∴b－2≤0，a－b≤0．又∵a≠b，∴a
11．－1 提示：a，b，c中不能全为正值，也不能全为负数，只能是一正二负或二正一负，原式值都为－1．
12．∵｜a－b｜<9，｜c－d｜≤16，故｜a－b｜＋｜c－d｜<25．
又∵25＝｜a－b－c＋d｜＝｜(a－b)＋(d－c)｜≤｜a－b｜＋｜c－d｜<25，∴｜a－b｜＝9，｜c－d｜＝16，故原式＝9－16＝－7．
B级
1．1 2． 3．2 4．1或－3 5．－94
6．C 提示：利用绝对值的几何意义，结合数轴进行分析，当x取15时，原式有最小值15．
7．A 提示：b＝－ka且k>0．故｜b｜ ＝k｜a｜，代人原式中，原式＝．
当a＞0时，原式＝；
当a＜0时，原式＝．
故原式＝3．
8．B 提示：分0≤a≤2，2
11．提示：a，b，c中不能全同号，必一正二负或二正一负，得a＝－(b＋c)，b＝－(c＋a)，c＝－(a＋b)，即，，，∴，，中必有两个同号，另一个符号与其相反，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋1，1＝1，原式＝1902．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
专题4 初识非负数
阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：
1.去绝对值符号法则
2.绝对值的几何意义
从数轴上看，即表示数的点到原点的距离，即代表的是一个长度，故表示一个非负数，表示数轴上数、数的两点间的距离.
3.绝对值常用的性质
① ② ③ ④
⑤ ⑥
例题与求解
【例1】已知，且，那么 .
（祖冲之杯邀请赛试题）
解题思路：由已知求出、的值，但要注意条件的制约，这是解本题的关键.
【例2】已知、、均为整数，且满足，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：≥0，≥0，又根据题中条件可推出，中一个为0，一个为1.
【例3】已知＋＋＋…＋＋＝0，求代数式…－的值.
解题思路：运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出…，的值，注意的化简规律.
【例4】设、、是非零有理数，求的值.
解题思路：根据、、的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键.
（希望杯邀请赛试题）
【例5】设是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6.
记，求S的最小值.
（四川省竞赛试题）
解题思路：利用绝对值的几何意义建立数轴模型.
【例6】已知，且，求的值.
（北京市迎春杯竞赛试题）
解题思路：由知，即，代入原式中，得，再对的取值，分情况进行讨论.
A级
1.若为有理数，那么，下列判断中：
（1）若，则一定有；
（2）若，则一定有；
（3）若，则一定有；
（4）若，则一定有；正确的是 .（填序号）
2.若有理数满足，则 .
3.若有理数在数轴上的对应的位置如下图所示，则化简后的结果是 .
4.已知正整数满足，，且，则的值是 .
（四川省竞赛试题）
5.已知且，那么 .
6.如图，有理数在数轴上的位置如图所示：
则在中，负数共有（ ）
A．3个 B．1个 C．4个 D．2个
（湖北省荆州市竞赛试题）
7. 若，且，那么的值是（ ）
A．3或13 B．13或－13 C．3或－3 D．－3或－13
8.若是有理数，则一定是（ ）
A．零 B．非负数 C．正数 D．负数
9.如果，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.是有理数，如果，那么对于结论（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（ ）
A．只有（1）正确 B．只有（2）正确
C．（1）（2）都正确 D．（1）（2）都不正确
（江苏省竞赛试题）
11.已知是非零有理数，且，求的值.
12.已知是有理数，，且，求的值.
（希望杯邀请赛试题）
B级
1.若，则代数式的值为 .
2.已知 ，那么的值为 .
3.数在数轴上的位置如图所示，且，则 .
（重庆市竞赛试题）
4.若，则的值等于
（五城市联赛试题）
5.已知，则 .
（希望杯邀请赛试题）
6.如果，那么代数式在≤≤15的最小值（ ）
A.30 B.0 C.15 D.一个与有关的代数式
7.设k是自然数，且，则等于（ ）
A.3 B.2 C. D.
（创新杯邀请赛试题）
8.已知，那么的最大值等于（ ）
A．1 B．5 C．8 D．9
（希望杯邀请赛试题）
9.已知都不等于零，且，根据的不同取值，有（ ）
A．唯一确定的值 B．3种不同的值 C．4种不同的值 D．8种不同的值
10.满足成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
（湖北省黄冈市竞赛试题）
11.有理数均不为0，且，设，试求代数式的值.
（希望杯邀请赛训练题）
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
