专题19 最值问题
阅读与思考
在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：
通过枚举选取.
利用完全平方式性质.
运用不等式（组）逼近求解.
借用几何中的不等量性质、定理等.
解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子.
例题与求解
【例1】 若c为正整数，且，，，则（）（）（）（）的最小值是 .
（北京市竞赛试题）
解题思路：条件中关于C的信息量最多，应突出C的作用，把a，b，d及待求式用c的代数式表示.
【例2】 已知实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A. B.0 C.1 D.
( 全国初中数学竞赛试题)
解题思路：对进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题.
【例3】 如果正整数满足=，求的最大值.
解题思路：不妨设，由题中条件可知=1.结合题意进行分析.
【例4】 已知都为非负数，满足，，记，求的最大值与最小值.
（四川省竞赛试题）
解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示.
【例5】 某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的任务，并返回仓库，若工程车每行驶1千米耗油m升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计）.每升汽油n元，求完成此项任务最低的耗油费用.
（湖北省竞赛试题）
解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5次又有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.
【例6】 直角三角形的两条直角边长分别为5和12，斜边长为13，P是三角形内或边界上的一点，P到三边的距离分别为，，，求++的最大值和最小值，并求当++取最大值和最小值时，P点的位置.
（“创新杯”邀请赛试题）
解题思路：连接P点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解.
能力训练
A 级
1.社a，b，c满足，那么代数式的最大值是 .
（全国初中数学联赛试题）
2.在满足的条件下，能达到的最大值是 .
（“希望杯”邀请赛试题）
3.已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C满足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，则的最大值是 .
（全国初中数学联赛试题）
4.已知有理数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么的取值范围是 .
（数学夏令营竞赛试题）
5.在式子中，代入不同的x值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是（ ）.
A.1 B.2 C.3 D.4
6.若a，b，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么的最大值是（ ）.
A.-1 B.-5 C.0 D.1
(全国初中数学联赛试题)
7.已知则代数式的最小值是（ ）.
A.75 B.80 C.100 D.105
(江苏省竞赛试题)
8.已知，，均为非负数，且满足=30， ，又设，则M的最小值与最大值分别为（ ）.
A.110，120 B.120，130 C.130，140 D.140，150
已知非负实数，，满足，记.求的最大值和最小值
（“希望杯”邀请赛试题）
10.某童装厂现有甲种布料38米，乙钟布料26米，现计划用这两种布料生产L，M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，试问该厂生产的这批童装，当L型号的童装为多少套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？
（江西省无锡市中考试题）
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专题19 最值问题
例1 24 提示：，原式．
例2 B 提示：．
因为，所以，从而，故
因此，即．
例3 设，则
于是得到．即．
若，则，与题设等式为矛盾；若，则，即，当时，容易找到满足条件的数组(1，1，1，2，5)，所以的最大值是5．
例4 由，得，由得，则
，当时，有最小值；当时，有最大值6．
例5 提示：显然运送次数越少，所行驶的路程越短，所需邮费越少，因此，18根电线杆运送5次行驶路程较短，这5次有两种运送方法：（1）四次个4根，一次2根；（2）三次各4根，二次各3根．
（1）考虑先送2根，后送4根；先送4根，后送2根．
①先送2根，再送4根，二次共走行驶：
米；
②先送4根，再送2根，二次共行驶：
米；
（2）两次各送3根时，所行路程为
米.
故先送2根所行驶路程最短，最短总行程为：
故所用最少油费为元
例6 如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13.点P
到BC，CA，AB的距离分别为，连接PA，PB，
PC，由三角形的面积公式知：
.
即 .
显然有.
故.
当时，有，即取最大值时，P与A重合；当时，有，即取最小值时，P与C重合.
A级
1.27 原式=
2.6
3.15° 提示：
4. 提示：，∴，又把代入中，得，∴.故.
5.D 6.B 7.A 8.B
9.设，则.
∴均为非负实数. ∴，解得：.
故.
∴，即，
所以的最小值是19，最大值是.
10.20套. 1800元.提示：设生产L型号的童装套数为，则生产M型号的童装为套，所得利润.
由
得，.
11.最小表面积的打包方式为2×3.最小表面积为17952，图略.
B级
1.27 当时，的值最大.
2.102 提示：.
3.1157 提示：.
4.B，D，E 93.62百元
5.13800元 提示：设由甲库调运x吨粮食到B市，总运费为y元，则
6.C 提示：
.
故.
7.B 提示：设，则.故.
8.（1）.
.
当或时，取最大值2003001.当中恰有1001个1，1001个时，取最小值.
（2）因为大于2002的最小完全平方数为，且必为偶数，所以
或；即中恰有1024个1，978个或1024个，978个1时，m取得最小值.
9.由条件得：，以上各式相加，得
，故.由已知
都是偶数，因此.另一方面，当
，时，符合条件，且使上式等号成立，故所求的最小值是.
10.仓库地址应选在C处，假定仓库另选一地O，设
（单位：千米），又假定A厂产量为，B厂产量为，C厂产量为，（单位：吨）.仓库在O处的总运费可表示为；仓库在C处的
总运费可表示为2mb＋3ma．
由于x＋z≥b，y＋z≥a，因此2mx＋2mz≥2mb，3my＋3mz≥3ma，两式相加得2mx＋3my＋5mz≥2mb＋3ma，当且仅当O与C重合时等号成立，所以公用仓库选在C处总运费最省．
11．设巡逻车行到途中B处用了x天，从B到最远处用y天，则有2[3(x＋y)＋2x]＝14×5，即5x＋3y＝35．又由题意知，x＞0，y＞0，且14×5－(5＋2)x≤14×3，即x≥4，从而问题的本质即是在约束条件 下，求y的最大值，显然y＝5，这样200×(4＋5)＝1800千米，即为其他三辆车可行进的最远距离．
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