专题16 不等式（组）
阅读与思考
客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：
1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.
2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.
例题与求解
【例1】已知关于的不等式组恰好有5个整数解，则t的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）
解题思路：把的解集用含t的式子表示，根据题意，结合数轴分析t的取值范围.
【例2】如果关于的不等式那么关于的不等式的解集为 .
（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）
解题思路：从已知条件出发，解关于的不等式，求出m，n的值或m，n的关系.
【例3】已知方程组若方程组有非负整数解，求正整数m的值.
（天津市竞赛试题）
解题思路：解关于，y的方程组，建立关于m的不等式组，求出m的取值范围.
【例4】已知三个非负数a，b，c满足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，求m的最大
值和最小值.
（江苏省竞赛试题）
解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的最大值与最小值.
【例6】设是自然数，，
，，求的最大值.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.
【例6】已知实数a，b满足且a－2b有最大值，求8a＋2003b的值.
解题思路：解法一：已知a－b的范围，需知－b的范围，即可知a－2b的最大值得情形.
解法二：设a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b)＝（m＋n)a＋（m－n)b
能力训练
A级
已知关于x的不等式那么m的值是
（“希望杯”邀请赛试题）
2、不等式组 的解集是，那么a＋b的值为
（湖北省武汉市竞赛试题）
若a＋b＜0，ab＜0，a＜b，则的大小关系用不等式表示为
（湖北省武汉市竞赛试题）
4、若方程组的解x，y都是正数，则m的取值范围 是
（河南省中考试题）
关于x的不等式的解集为，则a应满足（ ）
A、a＞1 B、a＜1 C、 D、
(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）
适合不等式的x的取值的范围是（ ）
已知不等式的解集那么m等于（ ）
A、 B、 C、3 D、－3
已知，下面给出4个结论：①；②；③④，其中，一定成立的结论有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
（江苏省竞赛试题）
9、当k为何整数值时，方程组 有正整数解？
（天津市竞赛试题）
10、如果是关于x，y的方程的解，求不等式组的解集
11、已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a，b）共有多少个？
（江苏省竞赛试题）
B级
如果关于x的不等式的正整数解为1，2，3那么的取值范围是
（北京市”迎春杯“竞赛试题）
若不等式组有解， 则的取值范围是___________.
（海南省竞赛试题）
3、已知不等式只有三个正整数解，那么这时正数a的取值范围为 .
（”希望杯“邀请赛试题）
已知则的取值范围为 .
(“新知杯”上海市竞赛试题）
5、若正数a，b，c满足不等式组 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A、a＜b＜c B、 b＜c＜a C、c＜a＜b D、不确定
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
一共（ ）个整数x适合不等式
A、10000 B、20000 C、9999 D、80000
（五羊杯“竞赛试题）
已知m，n是整数，3m＋2＝5n＋3，且3m＋2＞30，5n＋3＜40，则mn的值是（ ）
A、70 B、72 C、77 D、84
不等式的解集为（ ）
B、 C、 D、
（山东省竞赛试题）
的最大值和最小值.
（北京市”迎春杯”竞赛试题）
已知x，y，z是三个非负有理数，且满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若s＝2x＋y－z，求s的取值范围.
（天津市竞赛试题）
求满足下列条件的最小正整数n，对于n存在正整数k使成立.
已知正整数a，b，c满足a＜b＜c，且，试求a，b，c的值.
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专题16 不等式（组）
例1 C 提示：解不等式组得，则5个整数解为x＝19，18，17，16，15.结合数轴分析，应满足14≤3－2t＜15，故－6＜t≤.
例2 提示：，，，，.
例3 或 提示：解方程组得，由
得－1≤m≤0
例4 提示：由已知条件得 ,解得,m=3c－2.由
得,解得,故m的最大值为,最小值为
例5先用x1和x2表示x3,x 4，…，x7,得,因此x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7= 2 010.
于是得.因为x2是自然数,所以是整数，所以x1
是10的奇数倍.又因为x1＜x2，故有三组解:x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x1=50,x2=68.
因此x1+x2的最大值为50+68=118,所以x1+x2 +x3的最大值为2(x1+x2)=2×118=236.
例6解法一 ：∵0≤a－b≤1①，1≤a+b≤4 ②，由②知－4≤－a－b≤－1③，
①+③得－4≤－2b≤0，即－2≤－b≤0④，①+④得－2≤a－2b≤1
要使a—2b最大，只有a－b=1且－b=0. ∴a=1 且b=0，此时8a+2003b=8.
解法二 ：设a－2b=m(a+b)+n(a－b)=(m+n)a+ (m－n)b,知,解得.
而,,∴a－2b=+
∴－2≤a－2b≤1
当a—2b 最大时，a +b=1，a－b=1∴b=0，a=1，此时8a+2003b=8.
A 级
1.
2.11. 1提示:原不等式组变形为由解集是0＜x＜2知,解得
故a+b=2+(－1)=1
3.a＜－b＜b＜－a 4.＜m＜7
5.B提示：由ax+3a＞3+x,得(a－1)(x+3)＞0,.由不等式的解集为x＜－3知x+3＜0,
所以a－1＜0,得a＜1.
6.C 7.B 8.C 9.k=2或3.
10. 提示：由非负数性质求得a=2,b=5,原不等式组的解集为x＜－3.
11.原不等式组等价于,因为该不等式组的整数解一1，0，1，2不是对称地出现，
所以其解不可能是必有，由整数解的情况可知,
得a=－5,－4,－3;b=5,6.故整数对(a,b)共有2×3=6对.
B 级
1. 提示:由题意可知:.由正整数解为1,2,3知,解得
2.a≥－1 提示:原不等式组变形为由不等式组有解知－a≤1,故a≥－1
3. 9≤a＜12 4.
5. B 提示:原不等式组变形为,,.
6. C示：若x≥2000，则(x－2000)+x≤9999，即2000≤x≤5999, 共有4 000个整数;
若0≤x＜2000,则(x－2000)+x≤9999.2000≤9999，恒成立，又有2000个整数适合
若x＜0，则2000－x+(－x) ≤9999即－3999.5≤x＜0，共有3999个整数适合，故一共有
4000+2 000+3999 = 9 999个整数适合.
7. D 8.C 提示:由原不等式得x2＞(x+5)2
9.提示：解不等式，得,
原式=,从而知最大值为4，最小值为
10.提示：s=x+2，2≤s≤3
11.提示:由,得，即
.又n与k是都是正整数，显然n＞8，当n取9,10,11,12,13,14时，k都取不到整数.
当n=15时,,即 此时是k=13故满足条件的最小正整数n=15,k=13.
12.由得，故，即，又因为，故a=2，从而有，又，则，即b＜4，又b＞a=2，得b=3，从而得c=6，故a=2，b=3,c=6即为所求.
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