2024-2025学年高一数学北师大版必修第一册课时优化训练：指数函数的图像和性质
一、选择题
1．已知，若，则n的最大值为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
2．已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则( )
A.4 B.16 C. D.
3．已知函数的定义域为R，且，当时，，则( )
A. B.3 C.9 D.
4．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
5．已知函数则的图象关于( )
A.点对称 B.点对称 C.直线对称 D.直线对称
6．已知函数，若实数a，b满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是( )
A. B. C. D.
8．若将函数的图象平移后能与函数的图象重合，则称函数和互为“平行函数”.已知，互为“平行函数”，则( )
A.2 B.1 C. D.
二、多项选择题
9．函数(且)，图像经过二、三、四象限，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10．函数（，且）的大致图象可能为( ).
A. B.
C. D.
11．下列式子不正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知是偶函数，，且当时，，则__________.
13．定义在R上的奇函数满足，当时，，则__________.
14．已知m，n为均不等于1且不相等的正实数.若函数是奇函数，则__________.
四、解答题
15．已知奇函数的定义域为.
（1）求实数a、b的值；
（2）当时，有解，求m的取值范围.
16．已知函数.
（1）求实数k的值，使得为偶函数；
（2）当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数m的取值范围.
17．定义在D上的函数,若对任意,存在常数,都有成立,则称是D上的有界函数,其中M称为函数的上界.已知函数.
（1）若是奇函数,判断函数是否为有界函数,并说明理由;
（2）若在上是以为上界的函数,求m的取值范围.
18．已知函数为R上的奇函数.当时，(a，c为常数)，.
（1）当时，求函数的值域：
（2）若函数的图像关于点中心对称.
①设函数，，求证：函数为周期函数；
②若对任意恒成立，求的最大值.
19．已知函数，为偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为当时，，
所以
，
又，所以，
所以，，，
所以若，则n的最大值为10，
故选：B.
2．答案：B
解析：因为.
故选：B.
3．答案：D
解析：，所以函数是周期为8的周期函数，
.
故选：D.
4．答案：D
解析：因为函数是定义在R上的奇函数，则，
又当时，，即，所以，
所以时，，
由，得，于是，
因此4是函数的一个周期，
则，
又，则.
故选：D.
5．答案：B
解析：因为
由于的定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，
所以的图象关于点对称.
故选：B.
6．答案：B
解析：因为，所以，即有，
所以关于点中心对称，又，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
故选：B.
7．答案：C
解析：根据题意，用排除法分析：
对于选项A：，当时，有，不符合题意；
对于选项B：当时，，不符合题意；
对于选项D：的定义域为R，不符合题意；
故选：C.
8．答案：B
解析：因为，
，
而将函数的图象平移后能与函数的图象重合，
所以，经检验符合题意，
故选：B.
9．答案：AD
解析：函数(且)，图像经过2，3，4象限，
故得到，当时，
函数是减函数，，函数为增函数，故得到
故得到，，故得到AD正确，BC错误.
10．答案：BC
解析：当时，的大致图象如图1，故B正确.当时，不妨取，则的图象如图2，故C正确.
11．答案：AB
解析：由于函数为单调递增函数,所以,故A错误,
由于而,所以,故B错误,
由于幂函数在单调递增,所以,故C正确,
由于,故D正确,
故选：AB.
12．答案：3
解析：设函数，因为函数为偶函数，
可得，所以，
令，可得，所以，即，
又因为，可得，
设，可得，即，
所以函数是周期为4的函数，则，
又因为当时，，所以.
故答案为：3.
13．答案：
解析：由，且该函数为奇函数，
故，即该函数周期为4，
故，对，令，
则，由该函数为奇函数，故，
，即.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为函数是奇函数，所以，即，即，则.当时，，所以，则，所以；当时，恒成立.故.
15．答案：（1），
（2）
解析：（1）因为函数，是奇函数，
所以，即，
即，即，
整理得，
所以，即，则，
因为定义域为关于原点对称，所以.
（2）因为，所以.
又当时，有解，
所以在上有解，
因为，所以，得到，
所以，解得，
即.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由函数为R上的偶函数，则，
即，
即，即恒成立，
所以.
（2）由（1）知，
可得，
令，因为函数，在都是增函数，
所以函数在上为递增函数，则，，
所以，，
因为函数的对称轴为，所以函数在递增，
所以，当时，，
要使得，都有成立，则，即实数m的取值范围.
17．答案：（1）函数为有界函数
（2）
解析：（1）若是奇函数,则,
则,
所以恒成立,
所以是奇函数时,.
或者：由为奇函数,可得,则有,解得.
此时,
由,知,于是,则,
故时,,
所以,函数为有界函数.
（2）若函数在上是以为上界的函数,则有在上恒成立.
故恒成立,即恒成立,
所以即
由题可知,不等式组在上恒成立.
因为在上单调递减,其最大值为;
又在上单调递减,其最小值为.
所以即,故m的取值范围是.
18．答案：（1）；
（2）①证明见解析；②
解析：（1）由于函数为R上奇函数，那么，且，
则，则，则，；
那么，由，则，
而函数为奇函数，那么时，，
综上所述：当时，，
由复合函数单调性可知：则.
（2）①由于，且，
由于，则，
那么，
则为R上周期为2的函数.
②由（1）可知，当时，，时，，
那么，时，；
，时，；
那么，，；
若要最大，仅需n最大，m最小，
从而考虑如下临界：由于，令，
则，此时；
，，；
当时，，
，
那么，，
令，（舍去）；
同理，时，，
，
那么，，
令，（舍去）；
从而，，
那么的最大值为.
19．答案：（1）；
（2）递减区间是，递增区间是；
（3）.
解析：（1）函数的定义域为R，由为偶函数，得，
即，即，又不恒为0，
所以.
（2）函数，令，函数在上单调递增，
当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（3）由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，
不等式，
则，而，
于是，
依题意，对于任意恒成立，
当时，，当且仅当或时取等号，
，当且仅当时取等号，因此，
所以实数k的取值范围是.
