八年级数学上学期第一次月考卷
范围：苏科版八上第1~3章（全等三角形+轴对称图形+勾股定理）
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 无锡期末）下列说法中，正确的是
A．面积相等的两个图形是全等图形
B．形状相等的两个图形是全等图形
C．周长相等的两个图形是全等图形
D．能够完全重合的两个图形是全等图形
【答案】
【解析】、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误；
、形状相等的两个图形也不一定是全等形，说法错误；
、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误；
、符合全等形的概念，正确．
故选．
2．（2024 灌云县二模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，，选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选．
3．（2023秋 鼓楼区校级期中）图中的两个三角形全等，则等于
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】
两三角形全等，
、两边的夹角相等，
，
故选．
4．（2023秋 海州区校级期中）如图，平分，，，分别是射线、射线、射线上的点，，，与点都不重合，连接，．若添加下列条件中的某一个，使．下列条件不一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】平分，
，
、由判定，故不符合题意；
、和分别是和的对角，不能判定，故符合题意；
、由判定，故不符合题意；
、由判定，故不符合题意．
故选．
5．（2023秋 宿迁期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是
A． B．
C．，， D．，
【答案】
【解析】、，，
，，，即不是直角三角形，符合题意；
、设，则，，
，
是直角三角形，不符合题意；
、，
是直角三角形，不符合题意；
、，，，
，即是直角三角形，不符合题意．
故选．
6．（2024 溧阳市模拟）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为
A．4 B．5 C． D．
【答案】
【解析】设，由折叠的性质可得，
是的中点，
，
在中，，
解得．
即．
故选．
7．（2024春 海安市期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图拼成的一个大正方形（如图．设直角三角形较长
直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为
A．3 B．4 C． D．
【答案】
【解析】由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，
大正方形的面积为25，
，
又大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
，
，
，
（负值已舍），
即图2中小正方形的边长为3，
，
故选．
8．（2023秋 新吴区期中）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点．，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③；④的周长；⑤．其中正确的有
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤
【答案】
【解析】，
，，
是的平分线，是的平分线，
，，
，，
，都是等腰三角形．
，，即有，
的周长，
①②④正确，
故选．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 泗洪县期中）请你任意写出一组勾股数 12，16，20 ．
【答案】12，16，20．
【解析】，且12，16，20都是正整数，
一组勾股数可以是12，16，20．
故答案为12，16，20．
10．（2023秋 建邺区校级期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 或 ．
【答案】或．
【解析】在等腰中，，为腰上的高，，
当在内部时，如图1，
为高，
，
，
，
；
当在外部时，如图2，
为高，
，
，
，
，
而，
，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．
故答案为：或．
11．（2023秋 铜山区期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出的依据是 ．
【答案】．
【解析】由作法易得，，，
在与△中，
，
△，
（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：．
12．（2023秋 阜宁县期中）如图，在的正方形网格中标出了、和，则 ．
【答案】．
【解析】如图，在和中，
，
，
，
在中，，
，
由图可知，是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：．
13．（2023秋 贾汪区期中）如图，以直角的三边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则 15 ．
【答案】15．
【解析】中，，
，
以的三边向外作正方形，其面积分别为、、，
、、，
，
，，
，
故答案为：15．
14．（2024春 工业园区校级期末）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为12，，则的长是 3 ．
【答案】3．
【解析】过点作于，如图所示：
在与中，
，
，
，，
又，
即，
，
又，，
在和中，
，
同理：，
，
，
的面积，
，
，
解得：；
故答案为：3．
15．（2023秋 泰兴市期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为 ．
【答案】
【解析】设绳索长为尺，可列方程为，
故答案为：
16．（2023秋 泗洪县期中）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 2.5 ．
【答案】2.5．
【解析】在中，，，
由勾股定理得：，
取的中点，连接，，如图所示：
点为的中点，
为的中位线，
，
，
，即，
为等边三角形，且点为的中点，
，，
，，
，
点，，在同一条直线上，
依题意可知：点在直线上运动，
根据“垂线段最短”可知：当时，为最小，
在中，，，
．
的最小值为2.5．
故答案为2.5．
三．解答题（共11小题）
17．（2023春 亭湖区校级期末）如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．
【解析】如图所示：
．
18．（2023秋 宿豫区期末）如图，在与△中，点、分别在、上，且△，．求证：．
【解析】证明：△，
，，
在和△中，
，
△，
．
19．（2023秋 海州区校级期中）如图，点在中，，，，，，求图中阴影部分的面积．
【解析】，，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
图中阴影部分的面积的面积的面积
，
图中阴影部分的面积为24．
20．（2023秋 江都区期末）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
（1）按要求作图：
①关于轴对称的图形△；
②将△向右平移6个单位得到△．
（2）回答下列问题：
①△中顶点坐标为 ．
②若为边上一点，则按照（1）中①、②作图，点对应的点的坐标为 ．
【解析】（1）如图所示：
△即为所求，
△即为所求；
（2）①坐标为；
②的坐标为，
故答案为：；．
21．（2024春 兴化市期末）如图，点为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母）
（1）你添加的条件是 ；
（2）根据你添加的条件，写出证明过程．
【解析】（1）．
（2）证明：，
，
即．
在和中，
，
，
．
22．（2023秋 仪征市期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长．
【解析】（1）为等腰三角形，
理由：的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形；
（2），
，
的周长是10，
，
．
23．（2023秋 锡山区期中）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【解析】（1）是等边三角形，
．
，
，，
，
，
，
；
（2），
，
．
，
．
．
．
24．（2023秋 润州区期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【解析】（1）在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米，
答：风筝的高度为21.6米；
（2）由题意得，，
，
（米，
（米，
他应该往回收线8米．
25．（2023秋 新吴区期中） 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．
（2）如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．
【解析】（1）如图1，大正方形的面积，
整理得，；
（2）在中，，，，
，
，
；
（3）大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
，，
，
，
，
即的值为25．
26．（2023秋 海州区校级期中）如图①，在△中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为 ．
（1）如图①，当 或 时，△的面积等于△面积的一半；
（2）如图②，在△中，，，，．在△的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△△，求点的运动速度．
【解析】（1）①当点在上时，如图①，
若△的面积等于△面积的一半；则，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：秒，
②当点在上时，如图①
若△的面积等于△面积的一半；则，即点为中点，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：秒，
故答案为：或；
（2）△△，即，对应顶点为与，与，与；
①当点在上，如图②所示：
此时，，，
点移动的速度为，
②当点在上，如图②所示：
此时，，，
即，点移动的距离为，点移动的距离为，
点移动的速度为，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△△，
点的运动速度为或．
27．（2023秋 海门市期中）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ．
【解析】（1）如图1，延长到，使，连接．
在与中，
，
．
，，
．
．
又，
易证．
．
．
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由是：如图2，延长到，使，连接．
，，
，
在与中，
，
．
，，
．
．
又，
．
．
．
（3）当（1）结论成立，
当图三中，或．
证明：在上截取，使，连接．
，，
．
在与中，
，
．
，．
．
．
，
．
．
同理可得：
．
故答案为：（1）；（2）成立；（3）或或．
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八年级数学上学期第一次月考卷
范围：苏科版八上第1~3章（全等三角形+轴对称图形+勾股定理）
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 无锡期末）下列说法中，正确的是
A．面积相等的两个图形是全等图形
B．形状相等的两个图形是全等图形
C．周长相等的两个图形是全等图形
D．能够完全重合的两个图形是全等图形
2．（2024 灌云县二模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
3．（2023秋 鼓楼区校级期中）图中的两个三角形全等，则等于
A． B． C． D．
4．（2023秋 海州区校级期中）如图，平分，，，分别是射线、射线、射线上的点，，，与点都不重合，连接，．若添加下列条件中的某一个，使．下列条件不一定成立的是
A． B． C． D．
5．（2023秋 宿迁期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是
A． B．
C．，， D．，
6．（2024 溧阳市模拟）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为
A．4 B．5 C． D．
7．（2024春 海安市期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图拼成的一个大正方形（如图．设直角三角形较长
直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为
A．3 B．4 C． D．
8．（2023秋 新吴区期中）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点．，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②；③；④的周长；⑤．其中正确的有
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 泗洪县期中）请你任意写出一组勾股数 ．
10．（2023秋 建邺区校级期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ．
11．（2023秋 铜山区期中）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出的依据是 ．
12．（2023秋 阜宁县期中）如图，在的正方形网格中标出了、和，则 ．
13．（2023秋 贾汪区期中）如图，以直角的三边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则 ．
14．（2024春 工业园区校级期末）如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为12，，则的长是 ．
15．（2023秋 泰兴市期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为 ．
16．（2023秋 泗洪县期中）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 ．
三．解答题（共11小题）
17．（2023春 亭湖区校级期末）如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．
18．（2023秋 宿豫区期末）如图，在与△中，点、分别在、上，且△，．求证：．
19．（2023秋 海州区校级期中）如图，点在中，，，，，，求图中阴影部分的面积．
20．（2023秋 江都区期末）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
（1）按要求作图：
①关于轴对称的图形△；
②将△向右平移6个单位得到△．
（2）回答下列问题：
①△中顶点坐标为 ．
②若为边上一点，则按照（1）中①、②作图，点对应的点的坐标为 ．
21．（2024春 兴化市期末）如图，点为和的公共顶点，已知，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母）
（1）你添加的条件是 ；
（2）根据你添加的条件，写出证明过程．
22．（2023秋 仪征市期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长．
23．（2023秋 锡山区期中）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
24．（2023秋 润州区期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
25．（2023秋 新吴区期中） 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．
（2）如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值．
26．（2023秋 海州区校级期中）如图①，在△中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为 ．
（1）如图①，当 或 时，△的面积等于△面积的一半；
（2）如图②，在△中，，，，．在△的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△△，求点的运动速度．
27．（2023秋 海门市期中）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ．
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