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2025届高三第一次大联考
数学
本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自已的姓名 准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则（ ）
A.2 B. C.1 D.
2.底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为的圆锥侧面积为（ ）
A. B. C. D.
3.设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
4.的展开式中的常数项为（ ）
A.45 B.55 C.105 D.75
5.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知是方程的两个实根，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若在上恒成立，则的最大值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.若函数在上有3个零点，则的取值范围是
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知正数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知曲线与直线分别相切于点，与直线分别相切于点，且相交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.命题“”的否定为__________.
13.在2024年8月8日召开的中国操作系统产业大会上，国产操作系统银河麒麟发布了首个人工智能版本，该系统通过多项技术创新实现了人工智能与操作系统的深度融合，可广泛应用于自动驾 医疗健康 教育等多个领域，标志着中国在自主操作系统领域实现新突破.某新能源车企采用随机调查的方式并统计发现市面上可以实现自动驾驶的新能源汽车上可为乘客提供的功能数目与汽车上所安装的人工智能芯片个数线性相关，且根据样本点求得的回归直线方程为，若在回归直线上，则__________.
14.棱长为2的正方体中，为内一点，且，则的最大值为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的最大值.
16.（15分）已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值.
17.（15分）已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求；
（2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围.
18.（17分）过双曲线右焦点的直线与的左 右支分别交于点，与圆：交于（异于）两点.
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）求的取值范围.
19.（17分）记数列中前项的最大值为，则数列称为的“最值数列”，由所有的值组成的集合为.设的“最值数列”的前项和为.
（1）若，且中有3个元素，求的取值范围；
（2）若数列都只有4项，为的“最值数列”，满足且存在，使得，求符合条件的数列的个数；
（3）若，求中能被2整除且不能被4整除的个数.
2025届高三第一次大联考·数学
参考答案 提示及评分细则
1.【答案】B
【解析】由，则.故选B.
2.【答案】A
【解析】圆锥的底面半径为，侧面展开图的弧长为，由侧面展开图的圆心角为，得圆锥母线长，则圆锥的侧面积，故选A.
3.【答案】D
【解析】由题意可得 ，故A C均错误；正确；错误.故选D.
4.【答案】C
【解析】由二项式定理展开式可得的展开式中的常数项为..故选C.
5.【答案】C
【解析】在区间上单调递增，则在区间上单调递减且恒为正，所以且，所以.故选C.
6.【答案】A
【解析】因为是方程的两个实根，所以，，所以，所以.故选A.
7.【答案】B
【解析】由题意可转化为恒成立，令函数为偶函数，故考虑时，，令，即在上单调递增，则，则在上单调递增，在上单调递减，故，故，故选B.
8.【答案】D
【解析】令，则或，由得，当时在上没有零点，则在[0，4]上应有3个零点，所以，
即，与联立得；当时，在上有1个零点在上有3个零点，不满足题意；当时，在[0，4]上有2个零点，在上应有1个零点，所以，即，与联立得，综上得的取值范围是.故选D.
9.【答案】ACD
【解析】对于A，因为，且，所以，故，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B，由A及题意可知，当且仅当时等号成立，所以由是增函数得，故B错误；对于C，由得，又由得即，所以，当即时等号成立，故C正确；对于D，由题意可知，当为仅当即时等号成立，故D正确.故选ACD.
10.【答案】BD
【解析】因为，两式平方后相加可得，所以，故A错误；因为且，故，故D正确；，故B正确；易得，故，故C错误，故选BD.
11.【答案】ACD
【解析】设，则，所以，即，由，整理得，且，故A正确；把，代入，整理得，故B错误；，因为的图象关于直线对称，所以点关于直线的对称点为，故C正确；因为直线关于直线对称，则点就是直线与直线的交点，直线方程为与联立得，所以，所以，由，且，可得，设，则，所以，所以，故D正确.故选ACD.
12.【答案】
【解析】由命题否定的定义，可知命题“”的否定是“”.故答案为：2024，.
13.【答案】6
【解析】由题意，点在回归直线上，所以，由在回归直线上，得，所以.
14.【答案】
【解析】如图，连接与平面交于点，则平面，因为，所以是边长为的正三角形，其内切圆半径，所以点在内切圆上，因为平面，且点到平面的距离为，所以，当点为的中点时最大，最大为，所以的最大值为.
15.【解析】（1）因为，故，且，故曲线在点处的切线方程为.
（2）易得
所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，，
又时，，所以的最大值为.
16.【解析】（1），由，
解得，即时，函数单调递减，
所以函数的单调递减区间为.
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，
所以.
若，则
.由，得，又，
所以，则
17.【解析】（1）由是定义域为的奇函数，则，解得，
则，由于，解得，则，
经检验：，则满足题意.则.
（2）由于，易得在定义域内单调递减.
则由恰有两个不同的实根.由于是定义域为的奇函数且单调递减，
则有两个不同根即可.则有两个不同根即可.
令与个数一一对应，转化为有两个不同正根即可.
满足，解得，即，故的取值范围为.
18.【解析】：（1）设，由题意可得直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，与联立得，
所以，
又两点在轴同一侧，所以.此时，即.
圆的方程为，点到直线的距离，
由得，由得，所以或
因为直线的斜率，所以直线斜率的取值范围是.
（2）由（1）可得
.
，所以
设，则，
所以的取值范围是.
19.【解析】：（1）因为，所以
中有3个元素，所以，即，
所以，解得，所以的取值范围是.
（2）若，则有1个，
①若且，则有3种可能，有3个，
②若且，则，
若，则，若的值可能是4或6，
若的值可能是2或4或6，符合条件的有6个，
③若均不为8，则，
的值可能分别为：，符合条件有10个，
，综上得符合条件的有20个.
（3）由题意得
所以，
所以，能被4整除，
，不能被2整除，
，能被2整除，不能被4整除，
，不能被2整除，
所以中能被2整除，但不能被4整除的有个.
