内江六中高 2027 届高一（上）入学考试数学试题
时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.）
1． 8的立方根是 ( )
A．2 B． 2 C． 2 D． 2 2
2．下列关系正确的是 ( )
A． | a2 | | a |2 a2 B． | a2 | | a |2 a2 C． | a2 | | a |2 a2 D． | a2 | | a |2 a2
3 k．函数 y 与 y kx2 k(k 0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
x
A． B． C． D．
4．命题 x 0, x2 x 1 0的否定是 ( )
A． x 0, x2 x 1 0 B． x 0, x2 x 1 0
C x 0, x2． x 1 0 D． x 0, x2 x 1 0
5．如图，AD是 ABC中 BAC的平分线，DE AB，交 AB于点 E，DF AC，
交 AC于点 F ．若 S ABC 7， DE 2， AB 4，则 AC的长是 ( )
A．4 B．3 C．6 D．5
6．某班级共有 50名同学，其中爱好书法的有 25名，爱好绘画的有 24名，书法和绘画都爱好的有 10名，
则书法和绘画都不爱好的人数为 ( )
A．12 B．11 C．10 D．9
7 Rt ABC BAC 90 AD BC D AC 3 BD．在 中， ， 于点 ，若 ，则 ( )
AB 4 CD
A 4 B 3 C 16． ． ． D 9．
3 4 9 16
8．代数式 x2 4 (12 x)2 9 的最小值是( )
A．10 B．11 C．12 D．13
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二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分.）
9．如图，若二次函数 y ax2 bx c(a 0)图象的对称轴为直线 x 1，与 y轴交于点C，与 x轴交于点 A、
点 B( 1,0)，则
① a b c 0；
②二次函数的最大值为 a b c；
③ b2 4ac 0；
④当 y 0时， 1 x 3．其中正确的有 ( )
A．① B．② C．③ D．④
10．下列式子正确的是 ( )
A．因式分解 a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
B． (2m n k)2 4m2 n2 k 2 4mn 4mk 2nk
C．因式分解3x2 x 7 3(x 1 85 )(x 1 85 )
6 6
1 1
D． (2 1) 2 0.1 2 27 ( ) 3 0 99
4 8
11．已知 a R ,关于 x 的方程 ax2 2ax 3 0 2 2有两个不相等的正实数根 x1, x2 ，则 x1 x2 可取的值为（ ）
A．2 B． 5 C． 7 D．4
2 2
12．关于函数 y 2x 3 2x 1 的最值，下列说法正确的有（ ）
A．最小值为 4 B．最小值为 2 C．最大值为 2 D．最大值为 4
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13．为开展某教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中
甲和丙的概率是 ．
14 3x 1．不等式： 0的解集为 ．
2x 4
15．已知正方形OABC 在如图的平面直角坐标系，点 B的坐标为 (2,2)，D，E，F
的坐标分别为 (0,1)， (1,2 2)， (2,1)，则圆弧 DEF 的弧长为 ．
16 1 1 1 6．已知正整数 n满足： ，则 n ．
1 4 4 7 (3n 2) (3n 1) 19
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四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.其中，第 17 题 10 分，其余每题 12 分.解答题应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.）
17．小欣和小敏打算利用节假日在内江游玩，其中 4个景点分别是： A“张大千纪念馆”、 B“重龙山”、
C“罗泉古镇”和D“古宇湖”．他们各自在这 4个景点中任意选择一个游览，每个被选择的可能性相同．
（1）小欣选择C “罗泉古镇”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求小欣和小敏恰好选择同一景点的概率．
18．如图，在平行四边形 ABCD中， F 是 AD的中点， EF CF ，证明：CE AB．
19．某学校从高一同学中任意选取 40 人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，由测试
成绩绘制出统计表和如图的统计图（成绩均为整数，满分为 10分）．
甲组成绩统计表：
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）m ，甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ；(直接写答案)
（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
x 1 7 9 8 5 9 5 10甲 8.7，即甲组的平均成绩为 8.7分．20
S 2 1 (7 8.7)
2 9 (8 8.7)2 5 (9 8.7)2 5 (10 8.7)2
甲 0.81，即甲组的方差为 0.81．20
20．如图，已知Rt ABC中， ACB 90 ，AC 2，BC 4，点 P是CB边的一点，且 tan PAC 1 ， O
2
是 APB的外接圆，
（1）求证： PAC ABC；
（2）判断 O 与直线 AC的位置关系，并说明理由；
（3）请直接写出 O 的半径．
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21．在平面直角坐标系中，已知抛物线C : y ax2 2x 1(a 0)和直线 l；y kx b，点 A( 3, 3)、B(1, 1)
均在直线 l上．
（1）若抛物线C 与直线 l有交点，求 a的取值范围；
（2）当 a 1， y ax2 2x 1的自变量 x满足m x m 2时，函数 y的最大值为 4，求m的值；
（3）若抛物线C 与线段 AB有两个不同的交点，请直接写出 a的取值范围．
22．阅读下面资料：
问题情境：
（1）如图 1，等边 ABC ， CAB和 CBA的平分线交于点O，将顶角为120 的等腰三角形纸片（纸片
足够大）的顶点与点O重合，已知OA 2，则图 1中重叠部分 OAB的面积是 ．(直接写答案)
探究：
（2）在（1）的条件下，将纸片绕O点旋转至如图 2所示位置，纸片两边分别与 AB， AC交于点 E，F ，
求图 2中重叠部分的面积．
（3）如图 3，若 ABC (0 90 ) ，点O在 ABC的角平分线上，且 BO 2，以O为顶点的等腰三
角形纸片（纸片足够大）与 ABC的两边 AB， AC分别交于点 E、F ， EOF 180 ，求出重叠部分
的面积．（用含 的式子表示）
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{#{QQABZYaAggiAQpBAARhCUwXKCAIQkACCASgGhBAAMAABQQFABAA=}#}内江六中高 2027 届高一（上）入学考试数学试题
参考答案
一、单选题（每题 5分）
1-8：B A D C B B C D
二、多选题（每题全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错得 0分）
9 ：BD 10 ：ABC 11：BC 12：AD
三、填空题（每题 5分）
13 1 1 2： 14： x 或 x 2 15： 16：6
6 3 2
四、解答题（第 17题 10分，其余每题 12分）
17：解：（1）在这四个景点中任选一个，每个被选中的可能性相同，所以小欣选择C “罗
1
泉古镇”的概率是 ；.........................................................................................................5分
4
（2）画树状图如下：
4 1
共有 16种等可能的结果，小欣和小敏恰好选择同一景点的结果有 4种，则概率为 ．
16 4
.........................................................................................................10分
18：证明：延长 EF，交CD的延长线于点M ，
四边形 ABCD是平行四边形，
AB / /CD， A FDM ，
在 EAF和 MDF 中，
A FDM
AF DF ，
AFE DFM
EAF MDF (ASA)，
EF MF，
EF CF， EF FM CF， ECM 90 ，
AB / /CD，
BEC ECM 90 ，
CE AB． .........................................................................................................12分
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19：解：（1）由题意可得：1 9 5 5 2 9 6 m 40，解得m 3，
8 9
甲组成绩一共有 20组，从小到大最中间为 8和 9，则中位数为 8.5，
2
乙组成绩中最多的为 8，则众数为 8．..................................................................6分（每空 2分）
（2 x 2 7 9 8 6 9 3 10） 乙 8.5，20
2 2 7 8.5
2 9 8 8.5 2 6 9 8.5 2 3 10 8.5 2S 乙 0.75，20
S 2乙 S
2
甲， 乙组的成绩更加稳定．.....................................................................................12分
20：证明：（1）Rt ACP中， tan PAC PC 1
AC 2
AC 2 AC 1 PC AC ， BC 4， ， ，且 PCA ACB 90 ， ACP∽ BCA
BC 2 AC BC
PAC ABC ． ....................................................................................3分
（2） O与直线 AC相切，理由如下：
如图 1，作直径 AD，交 O于点 D，连接 PD，
AD为 O的直径， APD 90 ， PAD PDA 90
PDA ABC，又由（1）得 PAC ABC， PDA PAC
PAC PAD 90 ， CAD 90 ， AD AC
AD为 O的直径， O与直线 AC相切. ..................................................................8分
5
（3） .........................................................................................................12分
2
（详解：
tan PAC PC 1 ， AC 2 CP 1， AP AC2 CP2 5
AC 2
PDA PAC tan PAC tan PDA AP 1 PD 2AP 2 5
PD 2
AD AP2 PD2 5 O的半径为 5 .）
2
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k 1k b 1
21：解：（1）点 A( 3, 3)， B(1, 1) 代入 y kx b得 ，解得：
2 ，
3k b 3
b 3
2
y 1 3 1 3 x ，联立 y ax2 2x 1与 y x ，则有 2ax2 3x 1 0，
2 2 2 2
9抛物线C与直线 l有交点， △ 9 8a 0， a 且 a 0； ............................4分
8
（2）根据题意可得， y x2 2x 1， a 0， 抛物线开口向下，对称轴 x 1，
m x m 2时， y有最大值 4， 当 y 4时，有 x2 2x 1 4，
x 1或 x 3，
①在 x 1左侧， y随 x的增大而增大， x m 2 1时， y有最大值 4， m 3；
②在对称轴 x 1右侧， y随 x最大而减小， x m 3时， y有最大值 4；
综上所述：m 3或m 3；...............................................................................................8分
4 9
（3） a 或 a 2．..................................................................................................12分
9 8
（详解：抛物线与直线联立得：2ax2 3x 1 0，因为有两个不同交点，所以△ 9 8a 0，
a 9 ，
8
① a 0时， x 1时， y 1，即 a 1 1， a 2；
4
② a 0时， x 3时， y 3，即 9a 7 3， a ，
9
a 4 9的取值范围为 a 或 a 2．）
9 8
22：解：（1） 3 ..................................................................................................4分
（详解：过点O作ON AB，垂足为 N，如图 1，
ABC为等边三角形， CAB CBA 60 ，
O ABC 1 1点 为 的内心 OAB CAB， OBA CBA．
2 2
OAB OBA 30 ． OB OA 2．
ON AB， AN NB， PN 1． AN 3，
AB 2AN 1 2 3． S OAB AB PN 3．）2
（2）图 2中重叠部分的面积为 3．
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证明：连接 AO、 BO，如图 2，
由旋转可得： EOF AOB，则 EOA FOB．
在 EOA和 FOB中，
EAO FBO 30
OA OB ， EOA FOB．
EOA FOB
S四边形AEOF S OAB．
图 2中重叠部分的面积与图 1重叠部分的面积相等，为 3． .......................8分
（3）在射线 BC上取一点G，使得OG OB，过点O作OH BF，垂足为 H ，如图 3，
1
则有 BH GH BG，
2
ABC ， BO为 CAB的角平分线，
OBE OBF 1 ABC ．
2 2
OB OG，
OGB OBG ．
2
BOG 180 ．
EOF 180 ，
BOG EOF ．
同理可得： S四边形BEOF S OBG．
OB 2，
OH 2sin ， BH 2cos ．
2 2
BG 2BH 4cos ．
2
1
S OBG BG OH 4sin
cos ．
2 2 2
重叠部分的面积为： S 4sin cos ． ...........................................................12分面积 2 2
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