2024-2025学年河北省张家口市尚义一中等校高三（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，使成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.某校高三数学老师共有人，他们的年龄分布如下表所示：
年龄
人数
下列说法正确的是( )
A. 这人年龄的分位数的估计值是
B. 这人年龄的中位数的估计值是
C. 这人年龄的极差的估计值是
D. 这人年龄的众数的估计值是
5.已知、两点坐标分别，直线、相交于点，且它们的斜率之和是，则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，函数的图象与的图象交点横坐标为，，则最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱台，上下底面边长分别为和，侧面和底面所成角为，则棱台的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，周期为，且满足，则( )
A.
B. 向右平移个单位变为偶函数
C. 在区间上单调递减
D. 在上有两个不相等的实数解
10.已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则( )
A. 曲线的轨迹方程为
B. 若，为曲线上的动点，则的最小值为
C. 过点，恰有条直线与曲线有且只有一个公共点
D. 圆与曲线交于、两点，与交于、两点，则、、、四点围成的四边形的周长为
11.已知函数，则( )
A. 时，是的极大值点
B. 若存在三个零点，则
C. 当时，过点可以作的切线，有且只有一条
D. 存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等比数列的前项和，若，则 ______．
13.已知，则 ______．
14.为促进学生个性化全面发展，树人中学开设了丰富多彩的课余选课活动已知高一年级共人开始选课，要求没有人选到的课是一模一样的通过选课模拟测试，发现每人选课门，不合要求，每人选课门，符合要求则年级总共开设______门课．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，所对的边分别是，，，已知．
求；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知和为椭圆上的两点．
求椭圆的离心率；
设直线：与椭圆交于、两点，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，等边与等边的边长均为，，．
若平面，求；
若，求二面角的余弦值．
18.本小题分
某校社团开展知识竞赛活动，比赛有，两个阶段，每队由两名成员组成比赛规则如下：阶段由某参赛队中一名队员答个题，若两次都未答对，则该队被淘汰，该队得分；若至少答对一个，则该队进入阶段，并获得分奖励在阶段由参赛队的另一名队员答个题，每答对一个得分，答错得分，该队的成绩为，两阶段的得分总和已知某参赛队由甲乙两人组成，设甲每次答对的概率为，乙每次答对的概率为，各次答对与否相互独立．
若，，甲参加阶段比赛，求甲乙所在队的比赛成绩不少于分的概率；
设甲参加阶段比赛，求该队最终得分的数学期望用，表示；
，，且，设乙参加阶段比赛时，该队最终得分的数学期望为，则时，求的最小值．
19.本小题分
牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法如图，是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近的实数，，，，，在横坐标为的点处作的切线，则在处的切线与轴交点的横坐标是，同理在处的切线与轴交点的横坐标是，一直继续下去，得到数列令．
当时，用牛顿法求出方程的近似解，；
在的条件下，当时，写出与的关系式无需证明，并求数列的通项公式；
令，已知，是两个正实数，且，求证：．
参考答案
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15.解：由正弦定理及，得，
因为，
所以，
又，所以，
因为，所以．
由余弦定理知，，
所以，解得，
所以的面积．
16.解：依题意有，解得，
所以，所以，，，
所以椭圆离心率．
由有椭圆标准方程为，
联立，消去得，
，
设，，则，
则
，
点到直线的距离，
所以，
令，则，
则，
因为函数在上单调递增，
所以，所以，
所以，即的取值范围为．
17.解：在四棱锥中，由平面，
平面平面，
平面，则，
又等边的边长为，则，又，
所以．
取中点，连接，，由等边与等边的边长均为，得，，
而，，平面，
则平面，平面，
则平面平面，
在平面内过点作，于是平面，
由，，，得，，
即，
以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
由，得，，，，
设平面的法向量，
则，
令，得，
设平面的法向量，
则，
令，则，
则，
观察图形知二面角的平面角是钝角，
所以二面角的余弦值为．
18.解：甲乙所在队的比赛成绩不少于分的概率为：；
由题意，的值可能为，，，，，
且，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以；
同理可知，
由，
又，所以，
所以，所以，
所以当且仅当，即，时取“”，
所以的最小值为．
19.解：由题意得，
因为，所以，，
所以过点的切线方程为，
即，
令，得；
又因为，，
所以过点的切线方程为，
令，得，
综上得，，；
在的条件下，；
因为，，
则在点处的切线方程为，
令，得，
即，
所以，
即，
所以是首项为，公比为的等比数列，
，，
所以；
证明：由题可知，得，
显然当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
又因为，是两个正实数，且，
不妨设，
设函数，，
故，
显然时，，
此时单调递增，
所以，
即，有，
又因为，
所以有，
因为，
所以，，
因为当时，，
此时单调递增，
所以，
又因为，是两个正实数，
故．
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