2024-2025学年江苏省常州市西夏墅高级中学高三（上）调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知等边三角形的边长为，那么( )
A. B. C. D.
3.在同一个坐标系中，函数，，的部分图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数存在最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
8.已知角，都是锐角，且，则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点是的中线上一点不包含端点且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的最小值是
10.将函数．的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则( )
A. 的最小正周期为
B. 在 上单调递增
C. 函数的最大值为
D. 方程 在上有个实数根
11.已知，，分别是的三个内角，，的对边，其中正确的命题有( )
A. 已知，，，则有两解
B. 若是锐角三角形，，，设的面积为，则
C. 若，，，内有一点使得与夹角为，与夹角为，则
D. 已知，，设，若是钝角三角形，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.如图，在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为______．
14.在，角，，所对的边分别为，，，，交于点，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
Ⅱ求函数的单调区间．
16.本小题分
已知函数的一段图象过点，如图所示．
求函数的表达式；
将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域；
若，求的值．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，，已知向量，满足．
求；
若角的平分线交边于点，，求面积的最小值．
18.本小题分
已知是奇函数．
求实数的值；
求函数在上的值域；
令，求不等式的解集．
19.本小题分
当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”已知在中，角，，所对的边分别为，，，是的“费马点”．
若，，．
求；
设的周长为，求的值；
若，，求实数的最小值．
参考答案
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14.
15.解：函数的定义域为，．
又曲线在点处的切线与直线垂直，所以解得．
由于．
当时，对于，有在定义域上恒成立，即在上是增函数．
当时，由，得；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
16.解：由图知，，则．
由图可得，在处最大值，
又因为图象经过，故，
所以，故，
又因为，所以，
函数又经过，故，得．
所以函数的表达式为．
由题意得，，
因为，所以，
则，所以，
所以在区间上的值域为．
因为，
所以，即，
又因为，所以，
由，所以．
所以，
所以．
17.解：因为向量，满足，
所以，
由正弦定理可得：，即，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以；
，
，
，
因为，
即，即，
可得，则，当且仅当时取等号，
所以．
即面积的最小值为．
18.解：根据题意，函数的定义域为，
又因为为奇函数，则，即，解可得；
当时，，此时为奇函数，符合题意．
故；
令，所以
所以，对称轴，
当时，，所求值域为；
当时，，所求值域为；
因为为奇函数，所以，
所以为奇函数，
所以等价于，
又当且仅当时，等号成立，
所以在上单调增，
所以，即，
又，
所以或，
所以不等式的解集是．
19.解：由，
结合，可得，
即，整理得，
所以，即，可得，
因为，可得，所以．
设，则，
在中，由余弦定理得，
同理可得，，即，
则，
在中由余弦定理知：，即，
结合，可得，
所以，解得，，，
根据等面积法，可知，
整理得，结合，可得，
因此，，即；
因为，
所以，
整理得，结合正弦定理得，
所以为直角三角形，，
因此，若点为的费马点，则，
设，，，，则由，可得．
由余弦定理得，，
，
结合，可得，
由，整理得，且，，
故，当且仅当，即时，等号成立．
因为，所以，解得或负值舍去．
因此，，可知实数的最小值为．
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