专题强化 静电场中力的性质
[学习目标] 1.会利用几种特殊方法求解带电体的电场强度(重难点) 。2.会分析电场线与带电粒子运动轨迹结合的问题(重点)。3.会分析电场中的动力学问题(难点)。
一、非点电荷电场强度的求解
求解点电荷的电场强度时，一般可用公式E＝、E＝计算。但当一个带电体的体积较大时，已不能看作点电荷，求这个带电体在某处的电场强度时，常用微元法、对称法、补偿法等方法，化难为易。
1．微元法
把带电体分成很多小块，每小块都可以看成点电荷，用点电荷电场叠加的方法计算。
例1 如图甲所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OP＝L，静电力常量为k，求P点的电场强度大小时：
设想将圆环看成由n个相同的小段组成，当n相当大时，每一小段都可以看成一个点电荷，其所带电荷量Q′＝________，由点电荷电场强度公式可求得每一小段带电体在P点产生的电场强度大小E＝______________，如图乙中所示，E垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，而沿轴方向的分量Ex之和即为带电圆环在P点的电场强度EP，即EP＝___________________。
答案
2．对称法
带电体所带电荷或部分电荷对称分布，可应用对称性解决问题，使问题简单化。
例如：均匀带电的圆环有一个圆弧的缺口，判断O点的电场强度方向时，由于圆环上任何两个关于圆心中心对称的两点在O点产生的电场强度矢量和为零，故可以等效为弧BC在O点产生的电场强度，弧BC上关于OM对称的两点在O点产生的电场强度沿MO方向，故 O点的电场强度沿MO方向。
例2 如图所示，电荷均匀分布的半球，在中心O处的电场强度的大小为E0，现沿图示方向过球心O从半球上切下一瓣，夹角为α＝60°，则切下的一瓣在O点的电场强度大小为( )
A．E0 B. C. D.
答案 B
解析 将半球面看作是无数点电荷的集合，根据对称性可知O点只具有竖直平面内的电场强度分量，且切下的一瓣在O点的电场强度与水平方向夹角为斜向右下，剩余的一瓣在O点的电场强度与水平方向夹角为，斜向左下，如图所示，根据矢量的运算法则及几何关系可知切下的一瓣在O点的电场强度为
E＝E0sin＝，故选B。
3．补偿法
当带电体的形状不完整，如有缺口的带电圆环或球面，通常将它补全为完整的圆环或球面，根据作差法求解。
例如：已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零。如图半球球壳电荷量为＋q，A、B两点关于半球壳球心O点对称，且半球壳在A点产生的电场强度大小为E。求半球壳在B点产生的电场强度大小时，可以将题目中半球壳补成一个均匀带电的完整球壳，设右半球在A点产生的电场强度大小为E′。由于均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则E′和E大小相等。根据对称性可知，左半球在B点产生的电场强度大小也为E。
例3 (多选)(2023·如皋市调研)均匀带电球面内部的电场强度处处为零。如图所示，O为均匀带正电半球面的球心，P为与半球截面相平行截面的圆心，则( )
A．P点的电场强度为零
B．P点的电场强度方向向左
C．PO连线上各点电场强度方向向左
D．PO连线上各点电场强度方向向右
答案 BC
解析 将另一个均匀带等量正电半球面与该半球面组成一个球面，两个半球面在P点的电场强度等于零，则右半球面在P点的电场强度方向向左，A错误，B正确；因为P点的电场强度方向向左，所以PO连线上各点电场强度方向向左，C正确，D错误。
拓展 如图甲，若此球面大于半球，则P点的场强方向________；如图乙，若此球面小于半球，则P点的场强方向________(均选填“向右”或“向左”)。
答案 向左 向左
解析 将该球面补成一个完整球面，则P点的电场强度等于零，则题图甲、乙所示的两种情况，在P点的电场强度方向均向左。
二、电场线与带电粒子运动轨迹结合的问题
若实线为电场线，虚线为带电粒子的运动轨迹，带电粒子只受静电力的作用从A点向B点运动。回答以下问题：
(1)画出粒子在A点的运动方向和加速度方向；
(2)判断粒子的电性；
(3)判断粒子从A到B过程中，加速度大小的变化情况；
(4)判断粒子从A到B过程中，速度大小的变化情况。
答案 (1)粒子在A点运动方向沿轨迹切线方向；根据力总是指向轨迹的凹侧，可判断所受合力(即静电力)的方向，即加速度方向(沿电场线标注)，如图所示；
(2)粒子受的静电力向左，此粒子带负电；
(3)电场线的疏密表示电场强度的大小，从A到B电场线越来越稀疏，说明电场强度越来越弱，静电力越来越小，加速度也越来越小；
(4)由粒子运动情况知，速度方向与静电力方向夹角为钝角，静电力做负功，故A到B粒子的速度越来越小。
1．带电粒子仅受静电力作用做曲线运动时，静电力指向轨迹曲线的内侧。静电力沿电场线方向或电场线的切线方向，粒子速度方向沿轨迹的切线方向。
2．分析方法
(1)由轨迹的弯曲情况，结合电场线确定静电力的方向；
(2)由静电力和电场线的方向可判断电荷的正负；
(3)由电场线的疏密程度可确定静电力的大小，再根据牛顿第二定律，可判断带电粒子加速度的大小；
(4)根据力和速度的夹角，由静电力做功的正负，动能的增大还是减小，可以判断速度变大还是变小，从而确定不同位置的速度大小关系。
例4 (2023·景德镇市高一期末)某电场的电场线分布如图所示，虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则( )
A．粒子一定带负电
B．粒子一定是从a点运动到b点
C．粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度
D．粒子在电场中c点的速度一定大于在a点的速度
答案 C
解析 做曲线运动的物体，所受合力指向运动轨迹的内侧，由此可知，带电粒子受到的静电力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A错误；粒子不一定是从a点沿轨迹运动到b点，也可能是从b点沿轨迹运动到a点，B错误；由电场线的分布可知，粒子在c点处所受静电力较大，加速度一定大于在b点的加速度，C正确；若粒子从c点运动到a点或b点，静电力与速度方向成锐角，所以粒子做加速运动，若粒子从a点或b点运动到c点，静电力与速度方向成钝角，所以粒子做减速运动，故粒子在c点的速度一定小于在a点的速度，D错误。
三、电场中的动力学问题
分析带电体在电场中的加速运动时，与力学问题分析方法完全相同，牛顿第二定律仍适用，在进行受力分析时，不要漏掉静电力。
例5 如图所示，光滑固定斜面(足够长)倾角为37°，一带正电的小物块质量为m、电荷量为q，置于斜面上，当沿水平方向加如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变化为原来的，重力加速度为g(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)。求：
(1)原来的电场强度大小(用字母表示)；
(2)小物块运动的加速度；
(3)小物块第2 s末的速度大小和前2 s内的位移大小。
答案 (1) (2)3 m/s2，方向沿斜面向下
(3)6 m/s 6 m
解析 (1)对小物块受力分析如图所示，小物块静止于斜面上，则
mgsin 37°＝qEcos 37°，
可得E＝＝。
(2)当电场强度变为原来的时，
小物块受到的合外力
F合＝mgsin 37°－qEcos 37°＝0.3mg，
由牛顿第二定律有F合＝ma，
可得a＝3 m/s2，方向沿斜面向下。
(3)由运动学公式，知v＝at＝3×2 m/s＝6 m/s
x＝at2＝×3×22 m＝6 m。
专题强化练 [分值：60分]
1～6题每题4分，共24分
1．一带负电的点电荷，在静电力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知点电荷的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线)( )
答案 D
解析 点电荷做曲线运动，静电力与速度方向不在同一直线上，应指向轨迹凹侧，不可能沿轨迹的切线方向，则电场强度也不可能沿轨迹的切线方向，故A错误；负点电荷所受的静电力方向与电场强度方向相反，题图B中静电力方向与速度方向的夹角为锐角，静电力做正功，点电荷的速率增大，故B错误；题图C中电场强度方向指向轨迹的内侧，则静电力指向轨迹的外侧，点电荷的轨迹应向上弯曲，不可能沿题图所示的轨迹运动，故C错误；题图D中电场强度方向指向轨迹的外侧，则静电力指向轨迹的内侧，而且静电力方向与点电荷的速度方向成钝角，静电力做负功，点电荷的速率减小，故D正确。
2. 如图中实线为一匀强电场的电场线，虚线为一个点电荷仅受静电力作用时的运动轨迹的一部分，则可以知道( )
A．电场线方向向右
B．电场线方向向左
C．点电荷是负电荷
D．点电荷经过B点时速度比经过A点时速度大
答案 D
解析 合力的方向指向轨迹的凹侧，所以点电荷所受静电力方向向右，根据题意，无法判断点电荷的电性和电场线方向，选项A、B、C错误；若点电荷从A点向B点运动，则静电力与速度方向夹角为锐角，点电荷做加速运动，经过B点时速度比经过A点时速度大，若点电荷从B点向A点运动，则静电力与速度方向夹角为钝角，点电荷做减速运动，经过B点时速度仍比经过A点时速度大，选项D正确。
3．(多选)如图所示，半径为R的硬橡胶圆环，其上带有均匀分布的负电荷，总电荷量为Q，已知静电力常量为k，若在圆环上切去长度为l(l远小于R)的一小段AB，则圆心O处产生的电场方向和电场强度大小应为( )
A．方向指向AB中点
B．方向背离AB中点
C．电场强度大小为
D．电场强度大小为
答案 BD
解析 AB段的电荷量q＝，则AB段在O点产生的电场强度大小为E＝＝，方向指向AB中点，所以剩余部分在O点产生的电场强度大小等于，方向背离AB中点，故B、D正确，A、C错误。
4. (多选)(2023·福建省福州市第十一中学高二期中)真空中某竖直平面内存在一水平向右的匀强电场，一质量为m、带电荷量为q的带电微粒恰好能沿如图所示虚线(与水平方向成θ角)由A向B做直线运动，已知重力加速度为g，则( )
A．微粒一定带负电
B．微粒一定做匀速直线运动
C．匀强电场的电场强度大小为
D．微粒运动的加速度大小为
答案 AD
解析 微粒做直线运动的条件是速度方向和所受合外力的方向在同一条直线上，微粒受到竖直向下的重力，只有微粒受到水平向左的静电力才可能使得合力方向与速度方向在同一条直线上且方向相反，由此可知微粒所受的静电力的方向与电场强度方向相反，则微粒带负电，故A正确；微粒受到向左的静电力与竖直向下的重力，合力的方向与初速度方向相反，所以运动过程中微粒做匀减速直线运动，故B错误；根据上述分析可知qEtan θ＝mg，则E＝，故C错误；根据牛顿第二定律有＝ma，可得a＝，故D正确。
5．(2024·安徽省合肥市第一中学高二期中)如图所示，12个带电荷量均为＋q的点电荷，均匀对称地分布在半径为r的圆周上，某时刻，P、Q两处的点电荷电荷量突然减为零，则O点的电场强度大小为(静电力常量为k)( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 P、Q两处的点电荷在O点产生的电场强度大小相等，均为E＝，根据几何关系P、Q两处的点电荷在O点的合电场强度大小为E合＝2Ecos 60°＝，P、Q两处的点电荷电荷量突然减为零时，O点的电场强度大小为E合′＝E合＝，故A正确。
6. 如图甲、乙所示，两个带电荷量均为q的点电荷分别位于带电荷量密度相同、半径相同的半圆环和圆环的圆心，环的粗细可忽略不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为F，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小为( )
A.F B.F C.F D.F
答案 C
解析 由题图甲中均匀带电半圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F，可以得出圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F。将题图乙中的均匀带电圆环分成三个圆环，关于圆心对称的两个圆环对圆心点电荷的库仑力的合力为零，因此题图乙中的圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F，C正确。
7～9题每题6分，共18分
7. 如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷。已知b点处的电场强度为零，则d点处电场强度的大小为(k为静电力常量)( )
A．k B．k C．k D．k
答案 B
解析 b点处的电场强度为零，说明q与Q在b点处产生的电场强度大小相等、方向相反，即k＝EQb，由于d点和b点相对于圆盘是对称的，因此Q在d点产生的电场强度的大小为EQd＝k，点电荷q在d点产生的电场强度Eqd＝k，则d点处的合电场强度大小为E合＝k＋k＝k，故B正确。
8. 已知均匀带电的完整球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布着正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，＝＝2R。已知M点的电场强度大小为E，则N点的电场强度大小为(k为静电力常量)( )
A.－E B.
C.－E D.＋E
答案 A
解析 完整球壳在M点产生的电场的电场强度大小为k＝，根据电场强度叠加原理，右半球壳在M点产生的电场的电场强度大小为－E，根据对称性可知，左半球壳在N点产生的电场的电场强度大小也为－E，选项A正确。
9. (多选)如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，所带电荷量为＋Q，在圆环的最高点用绝缘丝线悬挂一质量为m、带电荷量为q的小球(大小不计)，小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，小球到圆环中心O的距离为R，已知静电力常量为k，重力加速度为g，则小球所处位置的电场强度大小为( )
A. B. C．k D.
答案 AD
解析 由于圆环不能看作点电荷，我们取圆环上很小一部分Δx，圆环总电荷量为Q，则该部分电荷量为Q，该部分电荷在小球处产生的电场强度大小为E1＝＝，方向沿该点与小球的连线指向小球；同理取与圆心对称的相同的一段，其电场强度E1′与E1大小相等，如图所示，则合电场强度为E0＝2·cos 45°＝，方向沿圆心与小球的连线向左；因圆环上各点均在小球处产生电场，则合电场强度大小为E＝E0＝，方向水平向左，选项D正确，C错误；对小球受力分析可知mgtan 45°＝qE，解得E＝，则选项A正确，B错误。
10、11题每题9分，共18分
10. 如图所示，O是半径为R的正N边形(N为大于3的偶数)外接圆的圆心，在正N边形的一个顶点A放置一个电荷量为＋2q的点电荷，其余顶点分别放置电荷量均为－q的点电荷(未画出)。已知静电力常量为k，则圆心O处的电场强度大小为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由对称性及电场强度的叠加可知，圆心O处的电场可等效为由正N边形的顶点A放置的一个带电荷量为＋2q的点电荷与过该点直径的另一端的顶点放置的一个带电荷量为－q的点电荷共同产生的，由点电荷电场强度公式知圆心O处的电场强度大小为E＝，故选项B正确。
11. 理论上已经证明，电荷均匀分布的球壳在壳内产生的电场强度为零，在球外产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。现有一半径为R、电荷均匀分布的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。关于该带电小球产生的电场强度大小E随x的变化关系，图中正确的是( )
答案 B
解析 以O为球心，选取半径为r的小球，其中r≤R，设单位体积内的电荷量为ρ，则该半径为r的小球的体积为πr3，所带的电荷量q＝ρV＝πρr3，在它的表面某一点产生的电场强度E0＝＝kπρr，除小球外的外部球壳产生的电场在该点的电场强度为零，根据电场强度叠加原理知，该点的电场强度大小E＝kπρr，与该小球的半径成正比，所以在0～R的范围内，球体内部的电场强度与r成正比；设该实心球体所带电荷量为Q，则在球体外部有E＝(x>R)，所以选项B正确。专题强化 静电场中力的性质
[学习目标] 1.会利用几种特殊方法求解带电体的电场强度(重难点) 。2.会分析电场线与带电粒子运动轨迹结合的问题(重点)。3.会分析电场中的动力学问题(难点)。
一、非点电荷电场强度的求解
求解点电荷的电场强度时，一般可用公式E＝、E＝计算。但当一个带电体的体积较大时，已不能看作点电荷，求这个带电体在某处的电场强度时，常用微元法、对称法、补偿法等方法，化难为易。
1．微元法
把带电体分成很多小块，每小块都可以看成点电荷，用点电荷电场叠加的方法计算。
例1 如图甲所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OP＝L，静电力常量为k，求P点的电场强度大小时：
设想将圆环看成由n个相同的小段组成，当n相当大时，每一小段都可以看成一个点电荷，其所带电荷量Q′＝______，由点电荷电场强度公式可求得每一小段带电体在P点产生的电场强度大小E＝______________，如图乙中所示，E垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，
而沿轴方向的分量Ex之和即为带电圆环在P点的电场强度EP，即EP＝_____________。
2．对称法
带电体所带电荷或部分电荷对称分布，可应用对称性解决问题，使问题简单化。
例如：均匀带电的圆环有一个圆弧的缺口，判断O点的电场强度方向时，由于圆环上任何两个关于圆心中心对称的两点在O点产生的电场强度矢量和为零，故可以等效为弧BC在O点产生的电场强度，弧BC上关于OM对称的两点在O点产生的电场强度沿MO方向，故 O点的电场强度沿MO方向。
例2 如图所示，电荷均匀分布的半球，在中心O处的电场强度的大小为E0，现沿图示方向过球心O从半球上切下一瓣，夹角为α＝60°，则切下的一瓣在O点的电场强度大小为( )
A．E0 B. C. D.
3．补偿法
当带电体的形状不完整，如有缺口的带电圆环或球面，通常将它补全为完整的圆环或球面，根据作差法求解。
例如：已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零。如图半球球壳电荷量为＋q，A、B两点关于半球壳球心O点对称，且半球壳在A点产生的电场强度大小为E。求半球壳在B点产生的电场强度大小时，可以将题目中半球壳补成一个均匀带电的完整球壳，设右半球在A点产生的电场强度大小为E′。由于均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则E′和E大小相等。根据对称性可知，左半球在B点产生的电场强度大小也为E。
例3 (多选)(2023·如皋市调研)均匀带电球面内部的电场强度处处为零。如图所示，O为均匀带正电半球面的球心，P为与半球截面相平行截面的圆心，则( )
A．P点的电场强度为零
B．P点的电场强度方向向左
C．PO连线上各点电场强度方向向左
D．PO连线上各点电场强度方向向右
拓展 如图甲，若此球面大于半球，则P点的场强方向__________；如图乙，若此球面小于半球，则P点的场强方向________(均选填“向右”或“向左”)。
二、电场线与带电粒子运动轨迹结合的问题
若实线为电场线，虚线为带电粒子的运动轨迹，带电粒子只受静电力的作用从A点向B点运动。回答以下问题：
(1)画出粒子在A点的运动方向和加速度方向；
(2)判断粒子的电性；
(3)判断粒子从A到B过程中，加速度大小的变化情况；
(4)判断粒子从A到B过程中，速度大小的变化情况。
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
1．带电粒子仅受静电力作用做曲线运动时，静电力指向轨迹曲线的内侧。静电力沿电场线方向或电场线的切线方向，粒子速度方向沿轨迹的切线方向。
2．分析方法
(1)由轨迹的弯曲情况，结合电场线确定静电力的方向；
(2)由静电力和电场线的方向可判断电荷的正负；
(3)由电场线的疏密程度可确定静电力的大小，再根据牛顿第二定律，可判断带电粒子加速度的大小；
(4)根据力和速度的夹角，由静电力做功的正负，动能的增大还是减小，可以判断速度变大还是变小，从而确定不同位置的速度大小关系。
例4 (2023·景德镇市高一期末)某电场的电场线分布如图所示，虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则( )
A．粒子一定带负电
B．粒子一定是从a点运动到b点
C．粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度
D．粒子在电场中c点的速度一定大于在a点的速度
三、电场中的动力学问题
分析带电体在电场中的加速运动时，与力学问题分析方法完全相同，牛顿第二定律仍适用，在进行受力分析时，不要漏掉静电力。
例5 如图所示，光滑固定斜面(足够长)倾角为37°，一带正电的小物块质量为m、电荷量为q，置于斜面上，当沿水平方向加如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变化为原来的，重力加速度为g(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)。求：
(1)原来的电场强度大小(用字母表示)；
(2)小物块运动的加速度；
(3)小物块第2 s末的速度大小和前2 s内的位移大小。
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________________________________________________________________________(共54张PPT)
DIJIUZHANG
第九章
专题强化 静电场中力的性质
1.会利用几种特殊方法求解带电体的电场强度(重难点) 。
2.会分析电场线与带电粒子运动轨迹结合的问题(重点)。
3.会分析电场中的动力学问题(难点)。
学习目标
内容索引
一、非点电荷电场强度的求解
二、电场线与带电粒子运动轨迹结合的问题
专题强化练
三、电场中的动力学问题
一
非点电荷电场强度的求解
1.微元法
把带电体分成很多小块，每小块都可以看成点电荷，用点电荷电场叠加的方法计算。
如图甲所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OP＝L，静电力常量为k，求P点的电场强度大小时：
设想将圆环看成由n个相同的小段组成，当n相当大时，每一小段都可以看成一个点电荷，其所带电荷量Q′
＝___，由点电荷电场强度公式可求得每一小段带电
体在P点产生的电场强度大小E＝_________，如图乙
例1
中所示，E垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，而沿轴方向的分量Ex之和
即为带电圆环在P点的电场强度EP，即EP＝__________。
2.对称法
带电体所带电荷或部分电荷对称分布，可应用对称性解决问题，使问题简单化。
例如：均匀带电的圆环有一个 圆弧的缺口，判断O点
的电场强度方向时，由于圆环上任何两个关于圆心中心对称的两点在O点产生的电场强度矢量和为零，故可以等效为弧BC在O点产生的电场强度，弧BC上关于OM对称的两点在O点产生的电场强度沿MO方向，故O点的电场强度沿MO方向。
如图所示，电荷均匀分布的半球，在中心O处的电场强度的大小为E0，现沿图示方向过球心O从半球上切下一瓣，夹角为α＝60°，则切下的一瓣在O点的电场强度大小为
例2
√
根据矢量的运算法则及几何关系可知切下的一瓣在O点的电场强度为
3.补偿法
当带电体的形状不完整，如有缺口的带电圆环或球面，通常将它补全为完整的圆环或球面，根据作差法求解。例如：已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零。如图
半球球壳电荷量为＋q，A、B两点关于半球壳球心O点对称，且半球壳在A点产生的电场强度大小为E。求半球壳在B点产生的电场强度大小时，可以将题目中半球壳补成一个均匀带电的完整球壳，设右半球在A点产生的电场强度大小为E′。由于均匀带电球壳内部电场强度处处为零，则E′和E大小相等。根据对称性可知，左半球在B点产生的电场强度大小也为E。
(多选)(2023·如皋市调研)均匀带电球面内部的电场强度处处为零。如图所示，O为均匀带正电半球面的球心，P为与半球截面相平行截面的圆心，则
A.P点的电场强度为零
B.P点的电场强度方向向左
C.PO连线上各点电场强度方向向左
D.PO连线上各点电场强度方向向右
例3
√
√
将另一个均匀带等量正电半球面与该半球面组成一个球面，两个半球面在P点的电场强度等于零，则右半球面在P点的电场强度方向向左，A错误，B正确；
因为P点的电场强度方向向左，所以PO连线上各点电场强度方向向左，C正确，D错误。
拓展 如图甲，若此球面大于半球，则P点的场强方向______；如图乙，若此球面小于半球，则P点的场强方向_______(均选填“向右”或“向左”)。
向左
向左
将该球面补成一个完整球面，则P点的电场强度等于零，则题图甲、乙所示的两种情况，在P点的电场强度方向均向左。
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电场线与带电粒子运动轨迹结合的问题
二
若实线为电场线，虚线为带电粒子的运动轨迹，带电粒子只受静电力的作用从A点向B点运动。回答以下问题：
(1)画出粒子在A点的运动方向和加速度方向；
答案 粒子在A点运动方向沿轨迹切线方向；根据力总是指向轨迹的凹侧，可判断所受合力(即静电力)的方向，即加速度方向(沿电场线标注)，如图所示；
(2)判断粒子的电性；
答案 粒子受的静电力向左，此粒子带负电；
(3)判断粒子从A到B过程中，加速度大小的变化情况；
答案 电场线的疏密表示电场强度的大小，从A到B电场线越来越稀疏，说明电场强度越来越弱，静电力越来越小，加速度也越来越小；
(4)判断粒子从A到B过程中，速度大小的变化情况。
答案 由粒子运动情况知，速度方向与静电力方向夹角为钝角，静电力做负功，故A到B粒子的速度越来越小。
1.带电粒子仅受静电力作用做曲线运动时，静电力指向轨迹曲线的内侧。静电力沿电场线方向或电场线的切线方向，粒子速度方向沿轨迹的切线方向。
2.分析方法
(1)由轨迹的弯曲情况，结合电场线确定静电力的方向；
(2)由静电力和电场线的方向可判断电荷的正负；
(3)由电场线的疏密程度可确定静电力的大小，再根据牛顿第二定律，可判断带电粒子加速度的大小；
(4)根据力和速度的夹角，由静电力做功的正负，动能的增大还是减小，可以判断速度变大还是变小，从而确定不同位置的速度大小关系。
提炼·总结
(2023·景德镇市高一期末)某电场的电场线分布如图所示，虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c是
轨迹上的三个点，则
A.粒子一定带负电
B.粒子一定是从a点运动到b点
C.粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度
D.粒子在电场中c点的速度一定大于在a点的速度
例4
√
做曲线运动的物体，所受合力指向运动轨迹的内侧，由此可知，带电粒子受到的静电力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A错误；
粒子不一定是从a点沿轨迹运动到b点，也可能是从b点沿轨迹运动到a点，B错误；
由电场线的分布可知，粒子在c点处所受静电力较大，加速度一定大于在b点的加速度，C正确；
若粒子从c点运动到a点或b点，静电力与速度方向成锐角，所以粒子做加速运动，若粒子从a点或b点运动到c点，静电力与速度方向成钝角，所以粒子做减速运动，故粒子在c点的速度一定小于在a点的速度，D错误。
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三
电场中的动力学问题
分析带电体在电场中的加速运动时，与力学问题分析方法完全相同，牛顿第二定律仍适用，在进行受力分析时，不要漏掉静电力。
如图所示，光滑固定斜面(足够长)倾角为37°，一带正电的小物块质量为m、电荷量为q，置于斜面上，当沿水平方向加如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变化为原来的 ，重力加速度为g(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)。求：
(1)原来的电场强度大小(用字母表示)；
例5
对小物块受力分析如图所示，小物块静止于斜面上，则
mgsin 37°＝qEcos 37°，
(2)小物块运动的加速度；
答案 3 m/s2，方向沿斜面向下
小物块受到的合外力
由牛顿第二定律有F合＝ma，
可得a＝3 m/s2，方向沿斜面向下。
(3)小物块第2 s末的速度大小和前2 s内的位移大小。
答案 6 m/s 6 m
由运动学公式，知v＝at＝3×2 m/s＝6 m/s
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专题强化练
四
1.一带负电的点电荷，在静电力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知点电荷的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线)
基础强化练
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点电荷做曲线运动，静电力与速度方向不在同一直线上，应指向轨迹凹侧，不可能沿轨迹的切线方向，则电场强度也不可能沿轨迹的切线方向，故A错误；
负点电荷所受的静电力方向与电场强度方向相反，题图B中静电力方向与速度方向的夹角为锐角，静电力做正功，点电荷的速率增大，故B错误；
题图C中电场强度方向指向轨迹的内侧，则静电力指向轨迹的外侧，点电荷的轨迹应向上弯曲，不可能沿题图所示的轨迹运动，故C错误；
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题图D中电场强度方向指向轨迹的外侧，则静电力指向轨迹的内侧，而且静电力方向与点电荷的速度方向成钝角，静电力做负功，点电荷的速率减小，故D正确。
2.如图中实线为一匀强电场的电场线，虚线为一个点电荷仅受静电力作用时的运动轨迹的一部分，则可以知道
A.电场线方向向右
B.电场线方向向左
C.点电荷是负电荷
D.点电荷经过B点时速度比经过A点时速度大
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合力的方向指向轨迹的凹侧，所以点电荷所受静电力方向向右，根据题意，无法判断点电荷的电性和电场线方向，选项A、B、C错误；
若点电荷从A点向B点运动，则静电力与速度方向
夹角为锐角，点电荷做加速运动，经过B点时速度比经过A点时速度大，若点电荷从B点向A点运动，则静电力与速度方向夹角为钝角，点电荷做减速运动，经过B点时速度仍比经过A点时速度大，选项D正确。
3.(多选)如图所示，半径为R的硬橡胶圆环，其上带有均匀分布的负电荷，总电荷量为Q，已知静电力常量为k，若在圆环上切去长度为l(l远小于R)的一小段AB，则圆心O处产生的电场方向和电场强度大小应为
A.方向指向AB中点
B.方向背离AB中点
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4.(多选)(2023·福建省福州市第十一中学高二期中)真空中某竖直平面内存在一水平向右的匀强电场，一质量为m、带电荷量为q的带电微粒恰好能沿如图所示虚线(与水平方向成θ角)由A向B做直线运动，已知重力加速度为g，则
A.微粒一定带负电
B.微粒一定做匀速直线运动
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微粒做直线运动的条件是速度方向和所受合外力的方向在同一条直线上，微粒受到竖直向下的重力，只有微粒受到水平向左的静电力才可能使得合力方
向与速度方向在同一条直线上且方向相反，由此可知微粒所受的静电力的方向与电场强度方向相反，则微粒带负电，故A正确；
微粒受到向左的静电力与竖直向下的重力，合力的方向与初速度方向相反，所以运动过程中微粒做匀减速直线运动，故B错误；
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根据上述分析可知qEtan θ＝mg，
5.(2024·安徽省合肥市第一中学高二期中)如图所示，12个带电荷量均为＋q的点电荷，均匀对称地分布在半径为r的圆周上，某时刻，P、Q两处的点电荷电荷量突然减为零，则O点的电场强度大小为(静电力常量为k)
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6.如图甲、乙所示，两个带电荷量均为q的点电荷分别位于带电荷量密度相同、半径相同的半圆环和 圆环的圆心，环的粗细可忽略不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为F，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小为
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7.如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷。已知b点处的电场强度为零，则d点处电场强度的大小为(k为静电力常量)
能力综合练
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b点处的电场强度为零，说明q与Q在b点处产生的电场强度大小相等、方向相反，
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8.已知均匀带电的完整球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布着正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点， ＝2R。已知M点的电场强度大小为E，则N点的电场强度大小为(k为静电力常量)
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9.(多选)如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，所带电荷量为＋Q，在圆环的最高点用绝缘丝线悬挂一质量为m、带电荷量为q的小球(大小不计)，小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，小球到圆环中心O的距离为R，已知静电力常量为k，重力加速度为g，则小球所处位置的电场强度大小为
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由于圆环不能看作点电荷，我们取圆环上很小一部分Δx，圆环总电荷量为Q，
方向沿该点与小球的连线指向小球；
同理取与圆心对称的相同的一段，其电场强度E1′与E1大小相等，如图所示，
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10.如图所示，O是半径为R的正N边形(N为大于3的偶数)外接圆的圆心，在正N边形的一个顶点A放置一个电荷量为＋2q的点电荷，其余顶点分别放置电荷量均为－q的点电荷(未画出)。已知静电力常量为k，则圆心O处的电场强度大小为
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尖子生选练
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由对称性及电场强度的叠加可知，圆心O处的电场可等效为由正N边形的顶点A放置的一个带电荷量为＋2q的点电荷与过该点直径的另一端的顶点放置的一个带电荷量为－q的点电荷共同产生的，
11.理论上已经证明，电荷均匀分布的球壳在壳内产生的电场强度为零，在球外产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。现有一半径为R、电荷均
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匀分布的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。关于该带电小球产生的电场强度大小E随x的变化关系，图中正确的是
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以O为球心，选取半径为r的小球，其中r≤R，设单位体积内的电荷量为ρ，
除小球外的外部球壳产生的电场在该点的电场强度为零，
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与该小球的半径成正比，所以在0～R的范围内，球体内部的电场强度与r成正比；
设该实心球体所带电荷量为Q，
返回作业6 静电场中力的性质
(分值：60分)
1～6题每题4分，共24分
1．一带负电的点电荷，在静电力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知点电荷的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线)( )
2. 如图中实线为一匀强电场的电场线，虚线为一个点电荷仅受静电力作用时的运动轨迹的一部分，则可以知道( )
A．电场线方向向右
B．电场线方向向左
C．点电荷是负电荷
D．点电荷经过B点时速度比经过A点时速度大
3．(多选)如图所示，半径为R的硬橡胶圆环，其上带有均匀分布的负电荷，总电荷量为Q，已知静电力常量为k，若在圆环上切去长度为l(l远小于R)的一小段AB，则圆心O处产生的电场方向和电场强度大小应为( )
A．方向指向AB中点
B．方向背离AB中点
C．电场强度大小为
D．电场强度大小为
4. (多选)(2023·福建省福州市第十一中学高二期中)真空中某竖直平面内存在一水平向右的匀强电场，一质量为m、带电荷量为q的带电微粒恰好能沿如图所示虚线(与水平方向成θ角)由A向B做直线运动，已知重力加速度为g，则( )
A．微粒一定带负电
B．微粒一定做匀速直线运动
C．匀强电场的电场强度大小为
D．微粒运动的加速度大小为
5．(2024·安徽省合肥市第一中学高二期中)如图所示，12个带电荷量均为＋q的点电荷，均匀对称地分布在半径为r的圆周上，某时刻，P、Q两处的点电荷电荷量突然减为零，则O点的电场强度大小为(静电力常量为k)( )
A. B. C. D.
6. 如图甲、乙所示，两个带电荷量均为q的点电荷分别位于带电荷量密度相同、半径相同的半圆环和圆环的圆心，环的粗细可忽略不计。若图甲中环对圆心点电荷的库仑力大小为F，则图乙中环对圆心点电荷的库仑力大小为( )
A.F B.F C.F D.F
7～9题每题6分，共18分
7. 如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷。已知b点处的电场强度为零，则d点处电场强度的大小为(k为静电力常量)( )
A．k B．k C．k D．k
8. 已知均匀带电的完整球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布着正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球面顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，＝＝2R。已知M点的电场强度大小为E，则N点的电场强度大小为(k为静电力常量)( )
A.－E B.
C.－E D.＋E
9. (多选)如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，所带电荷量为＋Q，在圆环的最高点用绝缘丝线悬挂一质量为m、带电荷量为q的小球(大小不计)，小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，小球到圆环中心O的距离为R，已知静电力常量为k，重力加速度为g，则小球所处位置的电场强度大小为( )
A. B. C．k D.
10、11题每题9分，共18分
10. 如图所示，O是半径为R的正N边形(N为大于3的偶数)外接圆的圆心，在正N边形的一个顶点A放置一个电荷量为＋2q的点电荷，其余顶点分别放置电荷量均为－q的点电荷(未画出)。已知静电力常量为k，则圆心O处的电场强度大小为( )
A. B.
C. D.
11. 理论上已经证明，电荷均匀分布的球壳在壳内产生的电场强度为零，在球外产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。现有一半径为R、电荷均匀分布的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。关于该带电小球产生的电场强度大小E随x的变化关系，图中正确的是( )
1．D [点电荷做曲线运动，静电力与速度方向不在同一直线上，应指向轨迹凹侧，不可能沿轨迹的切线方向，则电场强度也不可能沿轨迹的切线方向，故A错误；负点电荷所受的静电力方向与电场强度方向相反，题图B中静电力方向与速度方向的夹角为锐角，静电力做正功，点电荷的速率增大，故B错误；题图C中电场强度方向指向轨迹的内侧，则静电力指向轨迹的外侧，点电荷的轨迹应向上弯曲，不可能沿题图所示的轨迹运动，故C错误；题图D中电场强度方向指向轨迹的外侧，则静电力指向轨迹的内侧，而且静电力方向与点电荷的速度方向成钝角，静电力做负功，点电荷的速率减小，故D正确。]
2．D [合力的方向指向轨迹的凹侧，所以点电荷所受静电力方向向右，根据题意，无法判断点电荷的电性和电场线方向，选项A、B、C错误；若点电荷从A点向B点运动，则静电力与速度方向夹角为锐角，点电荷做加速运动，经过B点时速度比经过A点时速度大，若点电荷从B点向A点运动，则静电力与速度方向夹角为钝角，点电荷做减速运动，经过B点时速度仍比经过A点时速度大，选项D正确。]
3．BD [AB段的电荷量q＝，则AB段在O点产生的电场强度大小为E＝＝，方向指向AB中点，所以剩余部分在O点产生的电场强度大小等于，方向背离AB中点，故B、D正确，A、C错误。]
4．AD [微粒做直线运动的条件是速度方向和所受合外力的方向在同一条直线上，微粒受到竖直向下的重力，只有微粒受到水平向左的静电力才可能使得合力方向与速度方向在同一条直线上且方向相反，由此可知微粒所受的静电力的方向与电场强度方向相反，则微粒带负电，故A正确；微粒受到向左的静电力与竖直向下的重力，合力的方向与初速度方向相反，所以运动过程中微粒做匀减速直线运动，故B错误；
根据上述分析可知qEtan θ＝mg，则E＝，故C错误；根据牛顿第二定律有＝ma，可得a＝，故D正确。]
5．A [P、Q两处的点电荷在O点产生的电场强度大小相等，均为E＝，根据几何关系P、Q两处的点电荷在O点的合电场强度大小为E合＝2Ecos 60°＝，P、Q两处的点电荷电荷量突然减为零时，O点的电场强度大小为E合′＝E合＝，故A正确。]
6．C [由题图甲中均匀带电半圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F，可以得出圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F。将题图乙中的均匀带电圆环分成三个圆环，关于圆心对称的两个圆环对圆心点电荷的库仑力的合力为零，因此题图乙中的圆环对圆心点电荷的库仑力大小为F，C正确。]
7．B [b点处的电场强度为零，说明q与Q在b点处产生的电场强度大小相等、方向相反，即k＝EQb，由于d点和b点相对于圆盘是对称的，因此Q在d点产生的电场强度的大小为EQd＝k，点电荷q在d点产生的电场强度Eqd＝k，则d点处的合电场强度大小为E合＝k＋k＝k，故B正确。]
8．A [完整球壳在M点产生的电场的电场强度大小为k＝，根据电场强度叠加原理，右半球壳在M点产生的电场的电场强度大小为－E，根据对称性可知，左半球壳在N点产生的电场的电场强度大小也为－E，选项A正确。]
9．AD [由于圆环不能看作点电荷，我们取圆环上很小一部分Δx，圆环总电荷量为Q，则该部分电荷量为Q，该部分电荷在小球处产生的电场强度大小为E1＝＝，方向沿该点与小球的连线指向小球；同理取与圆心对称的相同的一段，其电场强度E1′与E1大小相等，如图所示，
则合电场强度为E0＝2·cos 45°＝，方向沿圆心与小球的连线向左；因圆环上各点均在小球处产生电场，则合电场强度大小为E＝E0＝，方向水平向左，选项D正确，C错误；对小球受力分析可知mgtan 45°＝qE，解得E＝，则选项A正确，B错误。]
10．B [由对称性及电场强度的叠加可知，圆心O处的电场可等效为由正N边形的顶点A放置的一个带电荷量为＋2q的点电荷与过该点直径的另一端的顶点放置的一个带电荷量为－q的点电荷共同产生的，由点电荷电场强度公式知圆心O处的电场强度大小为E＝，故选项B正确。]
11. B [以O为球心，选取半径为r的小球，其中r≤R，设单位体积内的电荷量为ρ，则该半径为r的小球的体积为πr3，所带的电荷量q＝ρV＝πρr3，在它的表面某一点产生的电场强度E0＝＝kπρr，除小球外的外部球壳产生的电场在该点的电场强度为零，根据电场强度叠加原理知，该点的电场强度大小E＝kπρr，与该小球的半径成正比，所以在0～R的范围内，球体内部的电场强度与r成正比；设该实心球体所带电荷量为Q，则在球体外部有E＝(x>R)，所以选项B正确。]
