2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：3.2双曲线
一、选择题
1．与圆及圆都外切的圆的圆心在( )
A.椭圆上 B.双曲线的一支上 C.抛物线上 D.圆上
2．双曲线的焦距为4,则C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3．设双曲线的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为( )
A. B.2 C.3 D.
4．已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点F且垂直于x轴的直线交，分别于点P，Q，O为坐标原点，若的面积为，则( )
A.1 B. C. D.2
5．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为,则C的离心率为( )
A.3 B. C.4 D.
6．已知双曲线（，）的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为( )
A.2 B. C. D.
7．已知双曲线，若一过焦点F的斜率的直线与双曲线交于A、B两点（A、B在同一支上），且满足，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
8．双曲线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知双曲线的左右焦点分别为，，左顶点为，点P是C的右支上一点，则( )
A.的最小值为8
B.若直线与C交于另一点Q，则的最小值为6
C.为定值
D.若I为的内心，则为定值
10．已知点A,B在双曲线上,点是线段的中点,则( )
A.当时,点A,B在双曲线的同一支上
B.当时,点A,B分别在双曲线的两支上
C.存在点A,B,使得成立
D.存在点A,B,使得成立
11．已知m为3与5的等差中项，n为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是( )
A.曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆
B.曲线C可表示为焦距是4的双曲线
C.曲线C可表示为离心率是的椭圆
D.曲线C可表示为渐近线方程是的双曲线
12．已知点P在双曲线上，点，分别是双曲线的左、右焦点.若的面积为20，则下列判断正确的有( )
A.点P到x轴的距离为 B.
C.为钝角三角形 D.
三、填空题
13．双曲线的实轴长与虚轴长的比为2,则该双曲线的离心率为________.
14．已知双曲线,点N的坐标为,其中,存在过点N的直线与双曲线C相交于A,B两点,且点N为弦AB的中点,则点N的坐标是________.（写出一个符合条件的答案即可）
15．已知椭圆方程为,双曲线方程为,若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点,则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为________.
16．双曲线的左 右焦点分别是,,过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A B两点,若为正三角形,则双曲线的离心率为_______________.
四、解答题
17．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，双曲线C的右焦点为，双曲线C的左、右顶点分别为A，B.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴的上方），直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，证明：为定值.
18．如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，的内切圆的圆心为I.
（1）求点I的横坐标；
（2）若，，的面积满足，求实数的值.
19．已知双曲线与椭圆共焦点，点M、N分别是以椭圆半焦距为半径的圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，（O为坐标原点），
(1)求双曲线的离心率；
(2)求的面积.
20．已知双曲线C的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知A，B是双曲线C上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.
参考答案
1．答案：B
解析：设所求圆的半径为,圆心为M,
圆的圆心,半径,
圆化为标准方程得,则圆心,半径,
因为,所以两圆相离,
由题意可得,两式相减得,
所以圆心M在双曲线的一支上.
故选：B.
2．答案：B
解析：双曲线中,,所以,,
所以,所以渐近线方程为.
3．答案：D
解析：由题意可知，设，，可得①，
因为，所以②，且③，由①②③可得，所以双曲线的离心率.故选D.
4．答案：A
解析：由双曲线方程得其渐近线方程为，
由题知轴且过右焦点F，令，得，.
则的面积，解得.
双曲线（），，解得.
故选：A.
5．答案：A
解析：双曲线的一个焦点,到一条渐近线的距离为,,,C的离心率.
6．答案：D
解析：由题意，点M在渐近线上，点N在渐近线上，
设，
因为P，M恰为线段FN的三等分点，
所以P为线段的中点，N为线段的中点，
则，则，即，
又点N在渐近线上，
所以，所以，
故，
因为点P在双曲线，
所以，所以，
所以.
故选：D.
7．答案：A
解析：假设F为右焦点，
根据题意，设直线方程为，，，
由，消x得到，
易知，由韦达定理得，，
又因为，所以，得到，
将代入，得到，，
将，代入，得到，
又，所以，得到，
故选：A.
8．答案：D
解析：由双曲线，可得，，则，
且双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的焦点坐标为.
故选：D.
9．答案：AC
解析：由得，，，
所以，，
所以
，当P为双曲线右支与x轴交点时，取等号，
即的最小值为8，故A正确；
若直线l经过，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为，
与双曲线C的两个交点为，，此时，故B错误；
因为，，
所以，，
两式相加得，，
所以，故C正确；
因为I为的内心，则I不恒在双曲线C上，
不为定值，故D错误.
10．答案：ABC
解析：若直线不存在斜率,设直线方程：,代入得：,
当或时,是弦的中线,此时A,B关于x轴对称,且在双曲线的同一支上,;
若直线存在斜率,设直线方程：代入得：
,整理得：.
因为直线与双曲线有两个不同的交点,
所以：且
所以：
设,,则,
由,
所以：
或.故D不成立;
又
当时,,A,B两点分别在双曲线的两支上;
当时,,A,B两点在双曲线的同一支上.
故AB成立;
当时,,可使命题成立,故C正确.
故选：ABC.
11．答案：ACD
解析：由m为3与5的等差中项，得，即，
由n为4与16的等比中项，得，即，
则曲线的方程为或.
其中表示焦点在y轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；
其中表示焦点在x轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确.
故选：ACD.
12．答案：BC
解析：由双曲线的方程，得，，则.由的面积为20，得，得，即点P到x轴的距离为4，故A错误.将代入双曲线的方程，得.根据双曲线的对称性可设，则.由双曲线的定义知，则，所以，故B正确.在中，，则，则为钝角，则为钝角三角形，故C正确.由题意，得，故D错误.
选BC.
13．答案：
解析：由题意可知,故,所以离心率为.
故答案为:.
14．答案：（或,）
解析：法一:设,,则,,
两式相减得到,
又,,因此,
所以直线AB的方程为,
与双曲线联立得,
即,
因此,
整理后得到.
所以点N的坐标可以为,,.
故答案为:（或,）
法二:
由题意易知,双曲线的渐近线为,
因为,所以在双曲线靠原点的一侧,
又因为点N为弦AB的中点,故A,B一定位于双曲线的两支上,
所以,即.
所以点N的坐标可以为,,.
故答案为:（或,）
15．答案：
解析：椭圆方程为,双曲线方程为,
若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,
可得椭圆的焦点坐标,,正六边形的一个顶点
,
,
椭圆离心率,
同时,双曲线的渐近线的斜率为,即,
可得双曲线的离心率为.
故答案为.
16．答案：
解析： 为正三角形,
,又,
,
,（舍去）
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意可知在双曲线C中，，，，解得
所以双曲线C的方程为.
（2）方法一：由题意可知，，
当直线l的斜率存在时，设直线，，，
由得，
则，，
又，，
所以
.
当直线l的斜率不存在时，，
此时，，，，.
综上，为定值.
方法二：设直线，，，
由整理得，
又直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，
所以
解得，
，，，.
由双曲线方程可得，，，，
因为，所以，，
所以
.
方法三：设直线，，，
由整理得，
又直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，
所以
解得，，.
由双曲线方程可得，，
则.
又
，
所以为定值.
18．答案：（1）1
（2）
解析：（1）如图，设，，分别与圆I相切于点A，B，C，
则，，.
由双曲线的定义，可得.
设点I的横坐标为t，则点，
所以，解得，
所以点I的横坐标为1.
（2）设圆I的半径为r，
由，
得，
所以，即，解得.
19．答案：(1)；
(2)8
解析：（1）椭圆中，，，，
椭圆焦点为，双曲线的焦点坐标为.
双曲线的渐近线方程为，
的方程：.
由得，，.
由题意知，M、N分别为第一、二象限的交点，
，，
，，
，，.
化简整理得，
又代入上式，解之得，.
双曲线方程：.
离心率.
（2）由（1）知，，
，.
.
20．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
所以可设其方程为，
将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为.
（2）设，，则，
因为
所以，
即有，
所以，
所以直线的方程为，即.
