2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：2.1 直线的倾斜角与斜率
一、选择题
1．若直线与直线垂直，则实数a的值为( )
A.或0 B. C.1或0 D.1
2．直线的斜率是( )
A. B. C. D.
3．直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.不存在
4．已知直线与直线互相垂直，则m为( )
A. B.1 C. D.2
5．直线,,则“”是“”的( )条件
A.必要不充分 B.充分不必要
C.充要 D.既不充分也不必要
6．直线,,,的图象如图所示,则斜率最小的直线是( )
A. B. C. D.
7．已知直线的一个方向向量为,则直线的倾斜角( )
A. B. C. D.
8．已知直线与互相垂直，则( )
A. B. C.1 D.1或
二、多项选择题
9．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点A的坐标为，则点B的坐标可能为( )
A. B. C. D.
10．已知直线，其中，则下列说法正确的是( )
A.当时，直线l与直线垂直
B.若直线l与直线平行，则
C.直线l过定点
D.当时，直线l在两坐标轴上的截距相等
11．若直线l的斜率，且过点，则直线l经过点( )
A. B. C. D.
12．已知直线l：，则下列说法正确的是( )
A.直线l的斜率可以等于0
B.若直线l与y轴的夹角为，则或
C.若直线的斜率为，则直线l的方程为
D.若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则或-2
三、填空题
13．已知，是双曲线C的两个顶点，C的离心率为，P为C上一点，记直线，的斜率分别为，，则___________.
14．直线、的斜率、是关于k的方程的两根，若，则实数______.
15．若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______.
16．若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为__________.
四、解答题
17．在直角坐标平面内,已知,,动点P满足条件：直线与直线斜率之积等于,记动点P的轨迹为E.
(1)求E的方程;
(2)过直线上任意一点Q作直线与,分别交E于M,N两点,则直线是否过定点？若是,求出该点坐标;若不是,说明理由.
18．已知椭圆的左,右顶点分别是,,椭圆C的焦距是2,P(异于,)是椭圆C上的动点,直线与的斜率之积为.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）,分别是椭圆C的左,右焦点,Q是内切圆的圆心,试问平面上是否存在定点M,N,使得为定值 若存在,求出该定值;若不存在,请说明理由.
19．如图，在菱形ABCD中，，求两条对角线AC与BD所在直线的斜率.
20．已知三角形三顶点,,求：
（1）AC边上的高所在的直线方程;
（2）AB边的中线所在的直线方程.
参考答案
1．答案：A
解析：由已知可得，解得或，
故选：A.
2．答案：A
解析：由题得，原式可化为，斜率.
故选：A
3．答案：C
解析：因为直线即直线垂直于x轴，根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为，
故选:C.
4．答案：C
解析：两直线垂直，则有，即，解得.
故选：C.
5．答案：C
解析：若,则,
解得或,
当时,和的方程都是,两直线重合,不符合题意.
经验证可知,符合.
所以“”是“”的充要条件.
故选:C
6．答案：B
解析：设直线,,,的斜率分别为,,,,由图可得直线,的斜率为负值,直线,的斜率为正值,因为直线越陡峭,斜率的绝对值越大,所以,,所以,所以斜率最小的直线是.故选B.
7．答案：B
解析：因为直线l的一个方向向量为,所以直线l的斜率,又因为,所以,故选B.
8．答案：C
解析：因为直线与互相垂直，
所以，解得.
故选：C.
9．答案：AC
解析：设，由题意可得
，可化为，
解得：或，即或.
故选：AC.
10．答案：AC
解析：
A √ 当时，直线l的方程为，显然l与直线垂直.
B × 若直线l与直线平行，则，解得或.
C √ 当时，，故直线l过定点.
D × 当时，直线l的方程为，在两坐标轴上的截距分别是，1.
11．答案：BC
解析：
A × .
B √ .
C √ .
D × .
12．答案：BCD
解析：对于直线l：，当时，直线l：，斜率不存在，
当时，直线l的斜率为，不可能等于0，故A错误；
若直线l与y轴的夹角为，则直线l的倾斜角为或，
而直线l的斜率为，或，
或，故B正确；
由直线l的斜率，得，直线l的方程为，故C正确；
当时，直线l：，在y轴上的截距不存在；当时，令，得，令，得，令，得或-2，故D正确.
故选：BCD.
13．答案：2
解析：不妨设双曲线方程为（，），，，，则.
14．答案：
解析：因为，所以，又、是关于k的方程的两根，
所以，解得；
故答案为：.
15．答案：
解析：设直线的倾斜角为，
因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，
因为，因此，.
故答案为：.
16．答案：
解析：依题意，知直线的斜率为.设直线的倾斜角为，则，所以.
17．答案：(1)
(2)是,定点为.
解析：(1)设动点,则直线、的斜率分别为,,
于是,整理得,显然点A,B不在轨迹E上,
所以E的方程为.
(2)设直线上的点,显然,
依题意,直线,的斜率,满足,
且,直线斜率,则,有,
设,,则（且）,
当直线不垂直于x轴时,设直线的方程为,
消去y得,
则,,
又,即,
则,整理得,
解得或,此时方程中的,
当时,直线恒过点,
当时,直线,由于舍去,
当直线时,则有,,即有,而,解得,
直线过点,所以直线l恒过点.
18．答案：（1）;
（2）存在,2.
解析：（1）设,,则,即,
显然点,依题意,,
解得,由椭圆C的焦距是2,得,则,
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设,因为,则,
由（1）知,则直线的方程为,即,
从而点Q到直线的距离,
即,即.
因为,所以,所以,
所以,即,
因为,所以,
因为,所以,即,点在以,为焦点,长轴长为2的椭圆上,
故存在定点,,使得.
19．答案：；
解析：在菱形ABCD中，，
，.
又菱形的每条对角线平分一组对角，
，，，
，.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）AC边所在直线的斜率为,
AC边上的高所在的直线的斜率为2.
AC边上的高所在的直线方程为,即.
（2）易知AB边的中点为,则边的中线过点和.
所以AB边的中线所在直线方程为,即.
