15.3 分式方程 同步训练
一、单选题
1．下列方程不是分式方程的为（ ）
A． B． C． D．
2．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A． B．2 C．1 D．
4．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
5．对于关于的分式方程，以下说法错误的是（ ）
A．分式方程的增根是或 B．若分式方程有增根，则
C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是
6．已知关于的分式方程的解大于，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．且
7．某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若不等式的解都能使关于x的一次不等式成立，且使关于x的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数a值之和是（ ）
A．19 B．20 C．12 D．24
二、填空题
9．方程的解是 ．
10．若关于x的方程有增根，则n的值为 ．
11．已知关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ．
12．若以x为未知数的方程无解，则 .
13．若整数使关于的不等式组有解，且使关于的分式方程有整数解，则整数的值为 ．
三、解答题
14．（1）若关于x的方程有增根，求m的值．
（2）在（1）中的条件下，若，求的值．
15．“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍．
(1)求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？
(2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？
16．观察下列算式：，，
(1)由上式可以类似推出式为：______；
(2)用含字母的等式表示（1）中的一般规律（为非零自然数）；
(3)用以上方法解方程；．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查分式方程的定义，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、是分式方程，不符合题意；
B、是分式方程，不符合题意；
C、不是分式方程，符合题意；
D、是分式方程，不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
先去分母，然后转化为一元一次方程求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：为原分式方程的根，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查分式方程的解法，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程的解，这个整式方程的解使原分式方程的分母等于．
【详解】方程去分母得：，
当时分母为0，方程无解，
即，
解得：，
故选B．
4．B
【分析】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．先求出分式方程的解，根据关于的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可．
【详解】解：，
，
，
关于的分式方程的解为正数，
且，即，
且，
且，
故选：．
5．A
【分析】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．将原方程去分母并整理，然后将增根（分母为0的未知数的值）代入，解得值即可．
【详解】解：∵的公分母是
∴
∴
∴
方程两边同时乘上
得
把分别代入
得出（舍去）；，则
∴分式方程的增根是
故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的；
若分式方程无解，则
∴
则或
故C是正确的；
故选：A
6．B
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解大于且分母不为0得到不等式组，解之可得答案．
【详解】解；
去分母得：，
解得，
∵关于x的分式方程的解大于，
∴，
∴且，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
由题意得甲的进价是元，根据用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件列出方程即可．
【详解】解：设乙的进价为x元，则甲的进价是元，
根据题意得，，
故选：C
8．A
【分析】本题考查解不等式、解分式方程，理解不等式的解集及分式方程的解是解答的关键．先解不等式的解集，根据已知条件得到a的取值范围；再解分式方程，根据分式方程的解结合已知求得a的取值，进而可求解．
【详解】解：解不等式得，
∵不等式的解都能使关于x的一次不等式成立，
∴且一次不等式的解集为，
∴且，即且，
解得；
解分式方程得，
即，
∵分式方程有整数解，
∴，又，，
∴符合条件的所有整数a值为2，4，6，7，
∴符合条件的所有整数a值之和是，
故选：A．
9．/
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．先把分式方程去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：∵
∴，
∴
∴
经检验是原分式方程的解．
故答案为：
10．2
【分析】根据题意可得：，然后把代入整式方程中进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
解得：，
∵方程有增根，
∴，
把代入中得：，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题目的已知条件求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
11．且/且
【分析】本题考查了分式方程的解，解不等式等知识，首先求出关于x的方程的解，然后根据解是非负数，再解不等式求出的取值范围．．
【详解】解：关于的方程得，
，
，
方程的解是非负数，
且，
解这个不等式得且．
故答案为：且．
12．或或
【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，包含两类无解的问题：方程增根无解和化简后系数为0无解．
解方程求得，分类讨论方程无解即可．
【详解】去分母得，
整理得，①
当时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当时，原方程有增根为或.
当增根为时，，解得；
当增根为时，，解得.
综上所述，或或.
故答案为： 1或或 2.
13．
【分析】由不等式组有解，确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出，由为整数确定出的值，即可求解．
本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
【详解】解：解不等式组得，
不等式组有解，
，
解得，
分式方程两边同乘，
得：，
，
方程有整数解，，且，
．
故答案为：．
14．（1） （2）2
【分析】本题主要考查了解分式方程以及增根的概念，如果一个分式方程的根能使此方程的最简公分母为零，那么这个根就是原方程的增根，掌握解分式方程以及增根的概念是解本题的关键．
（1）先找出最简公分母，方程两边同乘以，解得，再将方程的增根代入，即可求解．
（2）由（1）得，进而解分式方程，得到，解得，即可求解．
【详解】（1）方程两边同乘以，得，，
解得，
方程有增根，
，
把代入中，得，
解得，
的值为1．
（2）由（1）得，
方程为，
方程两边同乘以，得，
，
，
可得，
解得，
．
15．(1)每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元．
(2)应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元，根据用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍列出分式方程求解即可．
（2）设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求解，再根据甲乙种数苗的单价即可得出结论．
【详解】（1）解：设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元，
根据题意有：，
解得：
经检验，是分式方程的解，
∴，
∴每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元．
（2）解：设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵，
根据题意有：，
解得：，
∵甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元，
∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低，
故应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，根据题意找到规律是解题的关键．
（1）仿照已知等式推理得出下一个等式即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用裂项的方法化简方程，求出解即可．
【详解】（1）解： ，，
根据规律可得，式为．
（2）解：根据题意可得：它的一般规律是（为非零自然数）
（3）解：
原方程化为，
整理得，即，
解得：．
检验当时，，
是原分式方程的解．
