浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试卷
1．（2024八下·浙江月考）下列有关亚运会的四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：把一个图形绕一个点旋转180°后与原图形完全重合，这样的图形叫中心对称图形，C符合条件，
故答案为：C.
【分析】考查中心对称图形的定义：把一个图形绕一个点旋转180°后与原图形完全重合，这样的图形叫中心对称图形，分别判断即可.
2．（2024八下·浙江月考）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】被开方数不相同的两个二次根式不能合并，A、B错误；两个二次根式相乘除，把被开方数相乘除，C错误，D正确.
3．（2024八下·浙江月考）如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=3∠B，∠B=∠D，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=3∠B+∠B+3∠B+∠B=360°，
∴∠B=45°，
∴∠C=3∠B=135°；
故答案为：A.
【分析】先利用平行四边形对角相等得到∠A=∠C，∠B=∠D，再利用四边形内角和360°得到∠A+∠B+∠C+∠D=360°，等量代换得到∠B的方程，求出∠B，进而得到∠C度数.
4．（2024八下·浙江月考）一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】加一个4可凑成完全平方式，再减去一个4，变形后即可得到答案.
5．（2024八下·浙江月考）如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，A不符合题意；
B、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，B不符合题意；
C、AB=CD，AD∥BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
又 ∠A=∠C
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；B、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形；D、先利用两直线平行同旁内角互补得到∠A+∠B=180°，等量代换得到∠B+∠C=180°，根据同旁内角互补，两直线平行得到AB∥CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定.
6．（2024八下·浙江月考）在元旦节目汇演比赛中，7位评委给某节目打分，得到互不相等的7个分值，同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；常用统计量的选择；众数；标准差
【解析】【解答】解、将分数从低到高排列，去掉最高分和最低分后处在中间的分数不变，因此中位数不变；
故答案为：B.
【分析】A、平均数大小与数据的个数和大小都有关系，少了最大和最小值可能会改变；B、中位数是指按顺序排列后中间的数据，最大和最小值去掉后不影响中间数据的位置，中位数不变；CD、方差与标准差大小跟平均数大小有关，平均数变了，方差与标准差也可能改变.
7．（2024八下·浙江月考）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．有一个锐角大于 B．有一个锐角小于
C．每一个锐角都小于 D．每一个锐角都大于
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： “至少有一个锐角不大于” 的反面即为“每一个锐角不大于”；
故答案为：D.
【分析】反证法：通过证明与论题相矛盾的假设的错误来确立论题的真实性的方法，至少的对立面是每一个.
8．（2024八下·浙江月考）一个六边形如图所示．已知．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，连结AD，
∵AB∥DE，AF∥CD，
∴∠BAD=∠ADE，∠ADC=∠DAF，
∴∠CDE=∠CDA+∠ADE=∠DAF+∠BAD=∠BAF=122°，
同理，可得 ∠F=∠C=128°，∠B=∠E，
∵六边形内角和为4×180°=720°，
∴∠F+∠C+∠B+∠E+∠CDE+∠BAF=720°，
∴128°+128°+∠B+∠E+122°+122°=720°，
∴∠B+∠E=220°，
∴∠E=∠B=110°.
故答案为：A
【分析】连结AD，根据两直线平行内错角相等得到∠BAD=∠ADE，∠ADC=∠DAF，等量代换得到∠CDE=∠BAF，同理得到 ∠F=∠C，∠B=∠E；再根据多边形内角和（n-2)×180°可得六边形内角和720°，即可得到∠B+∠E=220°，即可求出∠E.
9．（2024八下·浙江月考）为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g为10米秒）．若设石头从并口落到并底用了x秒，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设石头从井口落到井底时间为x，则井口到井底路程为，声音从井底传到井口用时6.5-x，则井底到井口路程为330(6.5-x)，故可列方程；
故答案为：C.
【分析】利用井口到井底路程=井底到井口路程列方程即可.
10．（2024八下·浙江月考）如图，在中，，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到，分别取边的中点，则线段的长可能是（ ）
A．6 B．7 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作B'C'的中点，连结PD、DQ，
由平移可得，A'B'=AB=3，PD=4，
∵D、Q是中点，
∴DQ=0.5A'B'=1.5，
∵PD-DQ＜PQ＜PD+PQ，
∴2.5＜PQ＜5，
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质可得A'B'=AB=3，PD=4，再利用三角形中位线是第三边的一半得到DQ长，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可得到PQ的取值范围，对比选项即可.
11．（2024八下·浙江月考）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x+2≥0，
∴x≥-2；
故答案为：x≥-2.
【分析】二次根式有意义，被开方数是非负数，列不等式x+2≥0，解出即可.
12．（2024八下·浙江月考）若关于x的方程 有一个根是1，则 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1代入方程 得1+a-2=0，
解得a=1.
故答案是：1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可.
13．（2024八下·浙江月考）水果超市卖一批散装草莓，草莓大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的草莓．设原有草莓质量（单位：g）的方差为，该顾客选购的草莓质量的方差为，则 （填“>”、“=”或“<”号）
【答案】>
【知识点】方差
【解析】【解答】选购后草莓大小波动比原来小，方差小；
故答案为：＞.
【分析】方差表示数据的波动，波动越大，方差越大，原来的草莓个头相差较大，因此方差大.
14．（2024八下·浙江月考）如图，在中，对角线与交于点的平分线与交于点F，点E是的中点，连接，若，则长为 ．
【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，AD∥BC，OA=OC，
∴∠AFB=∠DAF，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BF=AB=3，
∴FC=BC-BF=5-3=2，
∵OA=OC，AE=EF，
∴OE=0.5CF=1；
故答案为：1.
【分析】先根据平行四边对边平行且相等，对角线互相平分得到AD=BC=5，AD∥BC，OA=OC，再根据两直线平行内错角相等得到∠AFB=∠DAF，由角平分线定义可得∠BAF=∠DAF，等量代换∠BAF=∠BFA，等角对等边得到BF=AB=3，即可得到CF长，最后根据三角形中位线等于第三边的一半即可得到OE长.
15．（2024八下·浙江月考）古巴比伦挖掘出的泥版中，记载着一元二次方程正数解的几何解法．以为例说明，如图1，构造一个边长为x的正方形，加上一个长为x宽为10的长方形；再将右边的长方形剪成2个宽为5的长方形，拼成边长为的大正方形，如图2所示，则大正方形的面积为，即可求得．小明用此几何法解关于x的方程，若假设图1中正方形的面积为81，图2中大正方形的面积为144，则 ， ．
【答案】6；135
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵图一正方形面积为81，
∴x=9
∵图二中正方形面积为，
∴，
∴p=6，
∴q=9×(9+6)=135；
故答案为：6；135.
【分析】根据题中的公式可得图一中正方形边长为x，图二中正方形边长为，由正方形面积公式即可得到x、p的值，进而得到q的值.
16．（2024八下·浙江月考）在中，当，点E是边上的中点，点F为上一点，连结，作交的边于点G．
（1）如图1，若G点在边上，，则的面积是 ．
（2）如图2，若G点在边上，，则的面积是 ．
【答案】（1）
（2）10
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，过点A作AM⊥BC于M，过点G作GL⊥AD于L，过点F作FK⊥AD于K，
∴∠DKF=∠EKF=∠GLE=∠AMB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，AB=6，BC=8，
∴∠B=∠D=45°，AD∥BC，AB=CD=6，AD=BC=8，
∴∠DFK=∠D=45°，
∴DK=KF，，
∴由勾股定理得：，
∴DK=KF=2，
∵E是AD中点，
∴，
∴EK=DE-DK=2，
∴EK=KF，
∵∠EKF=90°，
∴，∠KEF=∠KFE=45°，
又∵GE⊥EF，
∴∠AEG=90°-∠KEF=45°，
又∵GL⊥AD，
∴∠GEF=90°，
∴∠LEG=90°-∠KEF=45°，
∵∠GLE=90°，
∴∠LGE=∠LEG=45°，
∴GL=LE，
∵∠B=45°，∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠B=45°，
∴AM=BM，
由勾股定理得：
∴，
∵AD∥BC，AM⊥BC，LG⊥AD，
∴易证四边形AMGL是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图，过点F作FK⊥AD于K，延长KF∠BC延长线于M，过点G作GL⊥AD于L，交DA延长线于L，延长LG交BC于N，过点F作FH⊥GN于H，过点A作AI⊥BC于I，
∴∠DKF=∠L=∠GHF=∠NHF=∠AIB=∠AIM=90°，
由（1）得∠B=∠D=45°，AD∥BC，
∴∠BNG=∠L=∠M=∠DKF=∠LAI=∠KAI=90°，∠LAG=∠B=45°，
∴∠D=∠KFD=∠LAG=∠LGA=∠B=∠BGN=∠BAI=45°，
∴DK=KF，AL=GL，BN=GN，BI=AI，
∵∠L=∠LAI=∠AIB=∠KAI=∠AIM=∠M=∠NHF=∠GHF=90°，
∴四边形ALNI、AIMK、HNMF、LHFK均为矩形，
∴LN=AI=KM，HF=MN，HN=FM，LH=FK，
又∵，AB=6
∴，
∴DK=KF=3，，
∴，LH=FK=3，
由（1）得AE=DE=4，
∴EK=DE-DK=4-3=1，
∴，
设GH=x，则GL=AL=LH-GH=3-x，
∴LE=AL+AE=3-x+4=7-x，，
∴，
∵AB∥CD，∠B=45°，
∴∠FCM=∠B=45°，
∵∠M=90°，
∴∠MFC=∠FCM=45°，
∴，
∵BC=8，
∴，
∴，
∵GE⊥EF，
∴∠GEF=90°，
∴，
∴，
解得：x=1，
∴，
∴，
故答案为：10.
【分析】（1）过点A作AM⊥BC于M，过点G作GL⊥AD于L，过点F作FK⊥AD于K，根据平行四边形的性质得∠B=∠D=45°，AD∥BC，AB=CD=6，AD=BC=8，然后利用勾股定理求出DK=KF=KE=2，从而求出EF的值，接下来求LE=GL=AM的值，从而利用勾股定理求EG的值，最后利用三角形面积公式进行求解；
（2）过点F作FK⊥AD于K，延长KF∠BC延长线于M，过点G作GL⊥AD于L，交DA延长线于L，延长LG交BC于N，过点F作FH⊥GN于H，过点A作AI⊥BC于I，先利用等腰三角形的判定与性质得DK=KF，AL=GL，BN=GN，BI=AI，易证四边形ALNI、AIMK、HNMF、LHFK均为矩形，从而根据矩形的性质得LN=AI=KM，HF=MN，HN=FM，LH=FK，利用勾股定理求出DK=KF=LH=3，，同时求EK=1，利用勾股定理求出EF的值，接下来设GH=x，则GL=AL=LH-GH=3-x，从而得LE、BN=GN的值，利用勾股定理得，求出CM=FM的值，从而得MN=HF的值，进而利用勾股定理求出，由勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值，得GE的值，最后利用三角形面积公式进行求解.
17．（2024八下·浙江月考） 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先将各二次根式化简，再合并；
（2）利用平方差公式计算即可.
18．（2024八下·浙江月考）甲、乙两位同学解方程的过程如下框：
甲： 两边同除以得： 则 （ ） 乙： 移项得 提公因式 则或 （ ）
你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】解：（×） （×）
解答如下：
或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】甲同学两边同时除以(x-2)，没有考虑x-2=0的情况，因此错了；乙同学提公因式时去括号时括号前面是负号，去括号未变号，因此错了.
19．（2024八下·浙江月考） 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）画以点O为对称中心，为顶点的；
（2）的周长为 ．
【答案】（1）解：如图，
（2）
【知识点】勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解(1)
（2）∵AB=CD=；
AD=BC=；
∴周长为AB+BC+CD+AD=；
故答案为：.
【分析】（1）找到A关于O对称的点C、B关于O对称的点D，顺次连结A、B、C、D，平行四边形ABCD即为所求；
（2）利用勾股定理求出四边长，加起来即可.
20．（2024八下·浙江月考） 为了过个有意义的寒假，某校组织学生开展“读书气自华”的主题阅读活动．新学期开学，学生会随机调查了40名学生寒假阅读时间（单位：小时）的样本数据，结果统计如下：
寒假阅读时间（小时） 10 11 12 13 14
人数 5 15 10 5 5
（1）求出上述阅读时间样本数据的众数、中位数及平均数；
（2）若该校学生人数为720人，请估计寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为多少人．
【答案】（1）解：阅读时间11小时的人数为15人，人数最多，故众数为11h；
数据从小打到大排列，中间的两个数据为11和12，故中位数是（11+12）÷2=11.5h；
平均数=（10×5+11×15+12×10+13×5+14×5）÷40=11.75h；
（2）解：人，
答： 寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为 360人.
【知识点】用样本估计总体；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】(1)个数最多的数据是众数，11h个数最多；数据从小打到大排列，中间的两个数据为11和12，因此中位数是11.5h；平均数=所有数据的和÷数据个数；
（2）样本估算总体，总体的12小时以上的概率和样本一样，样本概率为（10+5+5）÷40=50%；720人中12小时以上的人数=720×50%=360人.
21．（2024八下·浙江月考） 如图，在中，分别平分和，交于点．
（1）求证：；
（2）过点E作于点G，若的周长为，求的面积．
【答案】（1）解：证明：
分别平分和
（2）解：过点E作于点P，根据角平分线的性质，
的周长为36
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)平行四边形对边平行且相等，可得AB=CD，∠ABC=∠ADC，再根据角平分线定义可得∠ABE=∠CDF；根据两直线平行内错角相等可得∠BAC=∠DCA，由ASA可证，全等三角形对应边相等，即可证得BE=DF；
（2）根据角平分线性质可得PE=EG=4，由平行四边形对边平相等可得AB+AC=18，再根据三角形面积公式代入变形即可整体代入求得三角形ABC的面积.
22．（2024八下·浙江月考） 随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司名方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度．
（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
【答案】（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
解得：（舍），
答：该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率40%.
（2）解：设应该再增加m条生产线，
（舍）
答：应该再增加3个工厂.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据 原产量×(1+增长率)2=原产量×（1+96%）列出方程，解出方程再根据增长率为正数即可得到增长率为40%；
（2）根据生产线条数×生产效率=总量列方程解出即可.
23．（2024八下·浙江月考） 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
探究一元三次方程根与系数的关系
素材1 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）．
素材2 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为．
素材3 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：．
问题解决
任务1 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ．
任务2 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系．
任务3 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值．
【答案】解：任务1：．
任务2：由题意可知，原方程可化为：，
展开整理得：，
与原方程比较可得：
⑤任务3：利用上题结论可知：，……2分
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】(1)a(x-1)(x+2)(x-3)=0，每个因式都可能为0，x-1=0或者x+2=0或x-3=0，解得x=1、-2或3；
（2）三根代入原方程化简整理可得-a(x1+x2+x3)=b，-ax1x2x3=d，变形即可得到；
（3）根据任务2的结论直接代入可得，再将所求式子通分变形即可得到，整体代入即可求得.
24．（2024八下·浙江月考） 如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，连接，若点F恰好落在边上．
①求证：；
②求的长；
（2）如图2，连接，若，求的长．
【答案】（1）解：①由折叠得
，
②由①知，
过点D作延长线于点H，
，
在中，，
在中，，
，
．
（2）解：延长交的延长线于点G，
过点G作于点H，过点D作于点K．
由题可证四边形为平行四边形，∴设，则，
由（1）知，
在中，，
同（1）中方法可证得，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)①由折叠性质可得∠1=∠2，由平行四边形对边平行可得AD∥BC，两直线平行内错角相等可得∠1=∠DAE，等量变换可得∠2=∠DAE，等角对等边即可得到AD=DE；
②解直角三角形CDH可得CH、DH长，在直角三角形DEH根据勾股定理可得EH长，由EC=EH-CH求出EC长，根据BE=BC-EC即可求出；
（2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BEGD是平行四边形，平行四边形对边相等可设BE=DG=KH=x，GH=DK=，进一步求出EH长，根据勾股定理可求出GE长，进而得到AG长，根据DG=AG-AD可求出DG长，即可得BE长.
浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试卷
1．（2024八下·浙江月考）下列有关亚运会的四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·浙江月考）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·浙江月考）如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·浙江月考）一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·浙江月考）如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·浙江月考）在元旦节目汇演比赛中，7位评委给某节目打分，得到互不相等的7个分值，同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
7．（2024八下·浙江月考）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．有一个锐角大于 B．有一个锐角小于
C．每一个锐角都小于 D．每一个锐角都大于
8．（2024八下·浙江月考）一个六边形如图所示．已知．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·浙江月考）为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g为10米秒）．若设石头从并口落到并底用了x秒，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024八下·浙江月考）如图，在中，，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到，分别取边的中点，则线段的长可能是（ ）
A．6 B．7 C．2 D．3
11．（2024八下·浙江月考）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2024八下·浙江月考）若关于x的方程 有一个根是1，则 .
13．（2024八下·浙江月考）水果超市卖一批散装草莓，草莓大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的草莓．设原有草莓质量（单位：g）的方差为，该顾客选购的草莓质量的方差为，则 （填“>”、“=”或“<”号）
14．（2024八下·浙江月考）如图，在中，对角线与交于点的平分线与交于点F，点E是的中点，连接，若，则长为 ．
15．（2024八下·浙江月考）古巴比伦挖掘出的泥版中，记载着一元二次方程正数解的几何解法．以为例说明，如图1，构造一个边长为x的正方形，加上一个长为x宽为10的长方形；再将右边的长方形剪成2个宽为5的长方形，拼成边长为的大正方形，如图2所示，则大正方形的面积为，即可求得．小明用此几何法解关于x的方程，若假设图1中正方形的面积为81，图2中大正方形的面积为144，则 ， ．
16．（2024八下·浙江月考）在中，当，点E是边上的中点，点F为上一点，连结，作交的边于点G．
（1）如图1，若G点在边上，，则的面积是 ．
（2）如图2，若G点在边上，，则的面积是 ．
17．（2024八下·浙江月考） 计算：
（1）；
（2）
18．（2024八下·浙江月考）甲、乙两位同学解方程的过程如下框：
甲： 两边同除以得： 则 （ ） 乙： 移项得 提公因式 则或 （ ）
你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．
19．（2024八下·浙江月考） 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）画以点O为对称中心，为顶点的；
（2）的周长为 ．
20．（2024八下·浙江月考） 为了过个有意义的寒假，某校组织学生开展“读书气自华”的主题阅读活动．新学期开学，学生会随机调查了40名学生寒假阅读时间（单位：小时）的样本数据，结果统计如下：
寒假阅读时间（小时） 10 11 12 13 14
人数 5 15 10 5 5
（1）求出上述阅读时间样本数据的众数、中位数及平均数；
（2）若该校学生人数为720人，请估计寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为多少人．
21．（2024八下·浙江月考） 如图，在中，分别平分和，交于点．
（1）求证：；
（2）过点E作于点G，若的周长为，求的面积．
22．（2024八下·浙江月考） 随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司名方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度．
（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
23．（2024八下·浙江月考） 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
探究一元三次方程根与系数的关系
素材1 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）．
素材2 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为．
素材3 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：．
问题解决
任务1 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ．
任务2 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系．
任务3 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值．
24．（2024八下·浙江月考） 如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，连接，若点F恰好落在边上．
①求证：；
②求的长；
（2）如图2，连接，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：把一个图形绕一个点旋转180°后与原图形完全重合，这样的图形叫中心对称图形，C符合条件，
故答案为：C.
【分析】考查中心对称图形的定义：把一个图形绕一个点旋转180°后与原图形完全重合，这样的图形叫中心对称图形，分别判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】被开方数不相同的两个二次根式不能合并，A、B错误；两个二次根式相乘除，把被开方数相乘除，C错误，D正确.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=3∠B，∠B=∠D，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=3∠B+∠B+3∠B+∠B=360°，
∴∠B=45°，
∴∠C=3∠B=135°；
故答案为：A.
【分析】先利用平行四边形对角相等得到∠A=∠C，∠B=∠D，再利用四边形内角和360°得到∠A+∠B+∠C+∠D=360°，等量代换得到∠B的方程，求出∠B，进而得到∠C度数.
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】加一个4可凑成完全平方式，再减去一个4，变形后即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，A不符合题意；
B、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，B不符合题意；
C、AB=CD，AD∥BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
又 ∠A=∠C
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；B、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形；D、先利用两直线平行同旁内角互补得到∠A+∠B=180°，等量代换得到∠B+∠C=180°，根据同旁内角互补，两直线平行得到AB∥CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定.
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；常用统计量的选择；众数；标准差
【解析】【解答】解、将分数从低到高排列，去掉最高分和最低分后处在中间的分数不变，因此中位数不变；
故答案为：B.
【分析】A、平均数大小与数据的个数和大小都有关系，少了最大和最小值可能会改变；B、中位数是指按顺序排列后中间的数据，最大和最小值去掉后不影响中间数据的位置，中位数不变；CD、方差与标准差大小跟平均数大小有关，平均数变了，方差与标准差也可能改变.
7．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： “至少有一个锐角不大于” 的反面即为“每一个锐角不大于”；
故答案为：D.
【分析】反证法：通过证明与论题相矛盾的假设的错误来确立论题的真实性的方法，至少的对立面是每一个.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，连结AD，
∵AB∥DE，AF∥CD，
∴∠BAD=∠ADE，∠ADC=∠DAF，
∴∠CDE=∠CDA+∠ADE=∠DAF+∠BAD=∠BAF=122°，
同理，可得 ∠F=∠C=128°，∠B=∠E，
∵六边形内角和为4×180°=720°，
∴∠F+∠C+∠B+∠E+∠CDE+∠BAF=720°，
∴128°+128°+∠B+∠E+122°+122°=720°，
∴∠B+∠E=220°，
∴∠E=∠B=110°.
故答案为：A
【分析】连结AD，根据两直线平行内错角相等得到∠BAD=∠ADE，∠ADC=∠DAF，等量代换得到∠CDE=∠BAF，同理得到 ∠F=∠C，∠B=∠E；再根据多边形内角和（n-2)×180°可得六边形内角和720°，即可得到∠B+∠E=220°，即可求出∠E.
9．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设石头从井口落到井底时间为x，则井口到井底路程为，声音从井底传到井口用时6.5-x，则井底到井口路程为330(6.5-x)，故可列方程；
故答案为：C.
【分析】利用井口到井底路程=井底到井口路程列方程即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作B'C'的中点，连结PD、DQ，
由平移可得，A'B'=AB=3，PD=4，
∵D、Q是中点，
∴DQ=0.5A'B'=1.5，
∵PD-DQ＜PQ＜PD+PQ，
∴2.5＜PQ＜5，
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质可得A'B'=AB=3，PD=4，再利用三角形中位线是第三边的一半得到DQ长，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可得到PQ的取值范围，对比选项即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x+2≥0，
∴x≥-2；
故答案为：x≥-2.
【分析】二次根式有意义，被开方数是非负数，列不等式x+2≥0，解出即可.
12．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1代入方程 得1+a-2=0，
解得a=1.
故答案是：1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可.
13．【答案】>
【知识点】方差
【解析】【解答】选购后草莓大小波动比原来小，方差小；
故答案为：＞.
【分析】方差表示数据的波动，波动越大，方差越大，原来的草莓个头相差较大，因此方差大.
14．【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，AD∥BC，OA=OC，
∴∠AFB=∠DAF，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BF=AB=3，
∴FC=BC-BF=5-3=2，
∵OA=OC，AE=EF，
∴OE=0.5CF=1；
故答案为：1.
【分析】先根据平行四边对边平行且相等，对角线互相平分得到AD=BC=5，AD∥BC，OA=OC，再根据两直线平行内错角相等得到∠AFB=∠DAF，由角平分线定义可得∠BAF=∠DAF，等量代换∠BAF=∠BFA，等角对等边得到BF=AB=3，即可得到CF长，最后根据三角形中位线等于第三边的一半即可得到OE长.
15．【答案】6；135
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵图一正方形面积为81，
∴x=9
∵图二中正方形面积为，
∴，
∴p=6，
∴q=9×(9+6)=135；
故答案为：6；135.
【分析】根据题中的公式可得图一中正方形边长为x，图二中正方形边长为，由正方形面积公式即可得到x、p的值，进而得到q的值.
16．【答案】（1）
（2）10
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，过点A作AM⊥BC于M，过点G作GL⊥AD于L，过点F作FK⊥AD于K，
∴∠DKF=∠EKF=∠GLE=∠AMB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，AB=6，BC=8，
∴∠B=∠D=45°，AD∥BC，AB=CD=6，AD=BC=8，
∴∠DFK=∠D=45°，
∴DK=KF，，
∴由勾股定理得：，
∴DK=KF=2，
∵E是AD中点，
∴，
∴EK=DE-DK=2，
∴EK=KF，
∵∠EKF=90°，
∴，∠KEF=∠KFE=45°，
又∵GE⊥EF，
∴∠AEG=90°-∠KEF=45°，
又∵GL⊥AD，
∴∠GEF=90°，
∴∠LEG=90°-∠KEF=45°，
∵∠GLE=90°，
∴∠LGE=∠LEG=45°，
∴GL=LE，
∵∠B=45°，∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠B=45°，
∴AM=BM，
由勾股定理得：
∴，
∵AD∥BC，AM⊥BC，LG⊥AD，
∴易证四边形AMGL是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图，过点F作FK⊥AD于K，延长KF∠BC延长线于M，过点G作GL⊥AD于L，交DA延长线于L，延长LG交BC于N，过点F作FH⊥GN于H，过点A作AI⊥BC于I，
∴∠DKF=∠L=∠GHF=∠NHF=∠AIB=∠AIM=90°，
由（1）得∠B=∠D=45°，AD∥BC，
∴∠BNG=∠L=∠M=∠DKF=∠LAI=∠KAI=90°，∠LAG=∠B=45°，
∴∠D=∠KFD=∠LAG=∠LGA=∠B=∠BGN=∠BAI=45°，
∴DK=KF，AL=GL，BN=GN，BI=AI，
∵∠L=∠LAI=∠AIB=∠KAI=∠AIM=∠M=∠NHF=∠GHF=90°，
∴四边形ALNI、AIMK、HNMF、LHFK均为矩形，
∴LN=AI=KM，HF=MN，HN=FM，LH=FK，
又∵，AB=6
∴，
∴DK=KF=3，，
∴，LH=FK=3，
由（1）得AE=DE=4，
∴EK=DE-DK=4-3=1，
∴，
设GH=x，则GL=AL=LH-GH=3-x，
∴LE=AL+AE=3-x+4=7-x，，
∴，
∵AB∥CD，∠B=45°，
∴∠FCM=∠B=45°，
∵∠M=90°，
∴∠MFC=∠FCM=45°，
∴，
∵BC=8，
∴，
∴，
∵GE⊥EF，
∴∠GEF=90°，
∴，
∴，
解得：x=1，
∴，
∴，
故答案为：10.
【分析】（1）过点A作AM⊥BC于M，过点G作GL⊥AD于L，过点F作FK⊥AD于K，根据平行四边形的性质得∠B=∠D=45°，AD∥BC，AB=CD=6，AD=BC=8，然后利用勾股定理求出DK=KF=KE=2，从而求出EF的值，接下来求LE=GL=AM的值，从而利用勾股定理求EG的值，最后利用三角形面积公式进行求解；
（2）过点F作FK⊥AD于K，延长KF∠BC延长线于M，过点G作GL⊥AD于L，交DA延长线于L，延长LG交BC于N，过点F作FH⊥GN于H，过点A作AI⊥BC于I，先利用等腰三角形的判定与性质得DK=KF，AL=GL，BN=GN，BI=AI，易证四边形ALNI、AIMK、HNMF、LHFK均为矩形，从而根据矩形的性质得LN=AI=KM，HF=MN，HN=FM，LH=FK，利用勾股定理求出DK=KF=LH=3，，同时求EK=1，利用勾股定理求出EF的值，接下来设GH=x，则GL=AL=LH-GH=3-x，从而得LE、BN=GN的值，利用勾股定理得，求出CM=FM的值，从而得MN=HF的值，进而利用勾股定理求出，由勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值，得GE的值，最后利用三角形面积公式进行求解.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先将各二次根式化简，再合并；
（2）利用平方差公式计算即可.
18．【答案】解：（×） （×）
解答如下：
或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】甲同学两边同时除以(x-2)，没有考虑x-2=0的情况，因此错了；乙同学提公因式时去括号时括号前面是负号，去括号未变号，因此错了.
19．【答案】（1）解：如图，
（2）
【知识点】勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解(1)
（2）∵AB=CD=；
AD=BC=；
∴周长为AB+BC+CD+AD=；
故答案为：.
【分析】（1）找到A关于O对称的点C、B关于O对称的点D，顺次连结A、B、C、D，平行四边形ABCD即为所求；
（2）利用勾股定理求出四边长，加起来即可.
20．【答案】（1）解：阅读时间11小时的人数为15人，人数最多，故众数为11h；
数据从小打到大排列，中间的两个数据为11和12，故中位数是（11+12）÷2=11.5h；
平均数=（10×5+11×15+12×10+13×5+14×5）÷40=11.75h；
（2）解：人，
答： 寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为 360人.
【知识点】用样本估计总体；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】(1)个数最多的数据是众数，11h个数最多；数据从小打到大排列，中间的两个数据为11和12，因此中位数是11.5h；平均数=所有数据的和÷数据个数；
（2）样本估算总体，总体的12小时以上的概率和样本一样，样本概率为（10+5+5）÷40=50%；720人中12小时以上的人数=720×50%=360人.
21．【答案】（1）解：证明：
分别平分和
（2）解：过点E作于点P，根据角平分线的性质，
的周长为36
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)平行四边形对边平行且相等，可得AB=CD，∠ABC=∠ADC，再根据角平分线定义可得∠ABE=∠CDF；根据两直线平行内错角相等可得∠BAC=∠DCA，由ASA可证，全等三角形对应边相等，即可证得BE=DF；
（2）根据角平分线性质可得PE=EG=4，由平行四边形对边平相等可得AB+AC=18，再根据三角形面积公式代入变形即可整体代入求得三角形ABC的面积.
22．【答案】（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
解得：（舍），
答：该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率40%.
（2）解：设应该再增加m条生产线，
（舍）
答：应该再增加3个工厂.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据 原产量×(1+增长率)2=原产量×（1+96%）列出方程，解出方程再根据增长率为正数即可得到增长率为40%；
（2）根据生产线条数×生产效率=总量列方程解出即可.
23．【答案】解：任务1：．
任务2：由题意可知，原方程可化为：，
展开整理得：，
与原方程比较可得：
⑤任务3：利用上题结论可知：，……2分
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】(1)a(x-1)(x+2)(x-3)=0，每个因式都可能为0，x-1=0或者x+2=0或x-3=0，解得x=1、-2或3；
（2）三根代入原方程化简整理可得-a(x1+x2+x3)=b，-ax1x2x3=d，变形即可得到；
（3）根据任务2的结论直接代入可得，再将所求式子通分变形即可得到，整体代入即可求得.
24．【答案】（1）解：①由折叠得
，
②由①知，
过点D作延长线于点H，
，
在中，，
在中，，
，
．
（2）解：延长交的延长线于点G，
过点G作于点H，过点D作于点K．
由题可证四边形为平行四边形，∴设，则，
由（1）知，
在中，，
同（1）中方法可证得，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)①由折叠性质可得∠1=∠2，由平行四边形对边平行可得AD∥BC，两直线平行内错角相等可得∠1=∠DAE，等量变换可得∠2=∠DAE，等角对等边即可得到AD=DE；
②解直角三角形CDH可得CH、DH长，在直角三角形DEH根据勾股定理可得EH长，由EC=EH-CH求出EC长，根据BE=BC-EC即可求出；
（2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BEGD是平行四边形，平行四边形对边相等可设BE=DG=KH=x，GH=DK=，进一步求出EH长，根据勾股定理可求出GE长，进而得到AG长，根据DG=AG-AD可求出DG长，即可得BE长.
