期中检测评估（测试内容：第1--2章）
班级： 姓名： 得分：
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则tanA等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4）、B（﹣6，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
（4） （5） （6）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，﹣1）
C．（﹣1，2）或（1，﹣2） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
3．已知tan（90°﹣α）＝，则锐角α的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
4．如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）
A．250米 B．250米 C．米 D．500米
5．如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，连接BE，交DF于点G，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（ ）
A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB C．AB CD＝BD BC D．BC2＝AC CD
7．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正切值是（ ）
（8） （9） （10）
A．2 B． C． D．
8．如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2
9．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（ ）
A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米
10．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为（ ）
A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
12．计算：2cos30°﹣tan60°﹣2sin60°＝ ．
13．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 ．
（14） （15） （17）
14.如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为（ ）
15．如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为 米．
16．在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是 ．
17．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值＝ ，tan∠APD的值＝ ．
三．解答题（共7小题）
17．（8分）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝9cm，BE＝16cm，求DE的长．
18.（8分）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°．已知底座BD的高度为4m，求铜像AB的高度．（结果保留整数．参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，）
19．（8分）某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1km）．
20．（8分）2024西安城墙新春灯会聚焦了文化、科技、数字、环保、演艺五大热门元素．部分灯组将文物与灯会相融合，如气势磅礴的《祥龙贺春》灯组便在“中华第一龙”红山玉龙与浮雕龙纹宫灯石柱的基础上进行制作展示（如图①）．张敏和赵雷两人去城墙灯会游览，看到龙灯十分壮观，他们合作完成寒假作业的实践活动报告．
活动报告
课题 测量龙灯最高点到地面的高度AB
目的 运用相似三角形与三角函数解决实际问题
工具 标杆、皮尺、测角仪、激光笔等
测量方案及示意图 如图②，张敏在D处用测角仪测得龙灯最高点A的仰角∠ADB为31°，赵雷在D处竖立高3米的标杆CD，利用激光笔测得地面上的点E、点A和点C在一条直线上，DE＝6米．
说明 AB⊥BE，CD⊥BE，点B、D、E在一条水平线上，图中所有点都在同一平面内，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86tan31°≈0.60，测角仪、激光笔与地面的距离忽略不计．
安全 测量过程中注意自己及他人的安全．
请你根据活动报告求出龙灯最高点到地面的高度AB．
21．（9分）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝30°．在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
22．（9分）如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD，BC相交于点E，求证：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE DC＝AB DE．
23．（10分）已知：如图，D，E，F分别是△ABC的AB，AC，BC边上的点，DE∥BC，DF∥AC．
（1）求证：△ADE∽△DBF．
（2）若＝，S△BDF＝9cm2，求S△ADE和S△ABC．
24．（12分）【问题呈现】
如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
【类比探究】
如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
【拓展提升】
如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
（1）求的值；
（2）延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A C C A B A C
﹣ 12. △MCB 13. 8 14. 7 15. 16. 3 ; 2
17.（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：平行四边形ABCD中，DC＝AB，
∵DC＝9cm，BE＝16cm，
∴AB＝9，AE＝25cm，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴，
∴DE＝20cm．
18.解：热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°．已知底座BD的高度为4m，
∴CE＝32m，EF＝BD＝4m，
∴CF＝CE﹣EF＝28m，
∵四边形BFCG是矩形，
∴BG＝CF＝14m，
∵∠ACG＝45°，∠BCG＝63.4°，
∴∠FBC＝∠BCG＝63.4°，
∴，
∴BF＝14m，
∴CG＝BF＝14m，
∴CG＝AG＝14m，
∴AB＝BG﹣AG＝14m，
∴铜像AB的高度是14m．
19.解：由题意得，AB＝40×2＝80（km），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，
如图，过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴，
∵AB＝80km，
∴CD+CD＝80，
解得CD＝40﹣40≈29.2（km），
答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2km．
20.解：在Rt△ABD 中，，
∴．
∵∠ABE＝∠CDE＝90°，∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
即 ，
∴，
∴AB＝18．
∴龙灯最高点到地面的高度AB为18米．
21.解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°，
则DF＝CD＝90（cm），CF＝CD cos∠DCF＝180×＝90（cm），
由题意得：＝，即＝，
解得：EF＝135，
∴BE＝BC+CF+EF＝（255+90）cm，
则＝，
解得：AB＝170+60，
答：立柱AB的高度为（170+60）cm．
22.证明：（1）∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠DBC．
∵∠E＝∠E，
∴△ACE∽△BDE；
（2）∵△ACE∽△BDE，
∴＝，
∴＝．
∵∠E＝∠E，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴BE DC＝AB DE．
23.（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴∠ADE＝∠DBF，∠AED＝∠C，∠DFB＝∠C，
∴∠AED＝∠DFB，
∴△ADE∽△DBF．
（2）解：∵＝，
∴．
又∵△ADE∽△DBF，
∴，而S△BDF＝9，
∴S△ADE＝4；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ABC＝25；
∴S△ADE和S△ABC的面积分别为4cm2和25cm2．
24.【问题呈现】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
【类比探究】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝；
【拓展提升】解：（1）∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴＝＝；
（2）由（1）得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC＝＝．
