山东省济南市2024年中考数学试卷
1．（2024·济南）9的相反数是 （ ）
A．﹣9 B． C． D．9
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
2．（2024·济南）黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是 （ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【答案】A
【知识点】非实心几何体的三视图
【解析】【解答】解：该蛋壳黑陶高柄杯的主视图与左视图相同，俯视图与其主视图和左视图都不相同.
故答案为：A.
【分析】主视图就是从正面看得到的正投影；左视图就是从侧面看得到的正投影；俯视图就是从上面看得到的正投影，据此并结合蛋壳黑陶高柄杯的形状即可逐一判断得出答案.
3．（2024·济南）截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为 （ ）
A．0.3465×109 B．3.465×109 C．3.465×108 D．34.65×108
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数字3465000000用科学记数法表示为： 3.465×109.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可求解.
4．（2024·济南）若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是 （ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵正多边形的一个外角是45°，
∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8，即这个正多边形是正八边形.
故答案为：C.
【分析】由于正多边形各个外角相等且外角和为360°，故用外角的总度数除以一个外角的度数即可求出该正多边形的边数.
5．（2024·济南）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为 （ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC中∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B＝80°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE=∠ACB=80°.
故答案为：C.
【分析】先由三角形的内角和定理算出∠ACB的度数，再根据全等三角形的对应角相等可求出∠DCE的度数.
6．（2024·济南）下列运算正确的是 （ ）
A．3x+3y＝6xy B．（xy2）3＝xy6
C．3（x+8）＝3x+8 D．x2 x3＝x5
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、3x与3y不是同类项，不能进行合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、(xy2)3=x3×(y2)3=x3y6，故此选项计算错误，不符合题意；
C、3(x+8)=3x+24，故此选项计算错误，不符合题意；
D、x2 x3＝x2+3=x5，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可判断B选项；由乘法分配律，可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可判断D选项.
7．（2024·济南）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）
A． B． C．m＜﹣4 D．m＞﹣4
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即(-1)2-4×1×(-m)＞0，
解得m＞.
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的不等式，求解即可.
8．（2024·济南）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：设“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动分别为A、B、C，由题意画树状图如下：
由图可知共有9种等可能结果数，其中恰好选到同一个活动的情况数有3种，
∴ 恰好选到同一个活动的概率为：.
故答案为：C.
【分析】此题是抽取放回类型，用出树状图列举出所有等可能的情况数，由图可知共有9种等可能结果数，其中恰好选到同一个活动的情况数有3种，进而根据概率公式计算可得答案.
9．（2024·济南）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AG，设EF交AB于点H，交CD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠B=∠C=∠ADC=90°，
由作图过程可得EF是AB的垂直平分线，
∴AH=BH，∠AHM=∠BHM=90°，
∴四边形AHMD与四边形BHMC都是矩形，
∴AD∥HM∥BC，BH=CM=AH=DM，HM=BC，
∴点G是DK的中点
∴GM是△DCK的中位线，
设GM=x，则CK=2x，
∴AB=BC=AD=2+2x，
∴AH=BH=x+1，
由作图知AG=AD=2x+2，
∴，
∴
∴，
解得x=，
∴，即该正方形的边长为.
故答案为：D.
【分析】连接AG，设EF交AB于点H，交CD于点M，由正方形的性质得AB=AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，由作图过程可得EF是AB的垂直平分线，则可根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形AHMD与四边形BHMC都是矩形，由矩形的性质得AD∥HM∥BC，BH=CM=AH=DM，HM=BC，由平行线等分线段定理得点G是DK的中点，由三角形中位线定理设GM=x，则CK=2x，推出AB=BC=AD=2+2x，AH=BH=x+1，由作图知AG=AD=x+1，由勾股定理表示出GH，进而再由线段和差表示出MH，最后根据MH=BC建立方程求出x的值，从而可求出正方形的边长.
10．（2024·济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是 （ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠A=60°.
当P到C时，DP2=y=7，
∴DC2=7，
作DH⊥BC于点H，如图，
∵∠B=60°，BD=2，
∴BH=BD=1，，
∴，
∴BC=BH+CH=1+2=3，
∴AB=BC=3，故①正确；
∴此时t=AB÷1=3（秒），
当t=5时，P在AC上，且PC=2，如图，
∵AB=AC=3，BD=PC=2，
∴AD=AP=1，
又∵∠A=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AD=AP=1，
∴y=DP2=1，故②正确；
过点D作DH⊥AP于点H，如图，
∴，.
t=4时，PC=1，
∴AP=2，
∴.
∴.
当4≤t≤6时，点P从如图PC=1的位置运动到点A，且DP的长先减小后增大.
∴在DP⊥AC，即DP和DH重合时取得最小值，最小值为：.
在t=4时，DP2=3；t=6时，DP2=DA2=1；
∴DP2最大值为3；
∴ 当4≤t≤6时，≤y≤3 ，故③错误；
∵t1+t2＝6，t1＜t2 ，
∴t2=6-t1＞t1，t1=6-t2
由题意当0≤t≤3时，y=(t-1)2+3；
当3≤t≤6时，y=(t-5.5)2+；
∴y1=(t1-1)2+3，y2=(t2-5.5)2+=(t1-0.5)2+，
∴y1-y2=(t1-1)2+3-(t1-0.5)2-=3-t1＞0，
∴y1＞y2，故④正确，
综上，正确的有①②④.
故答案为：D.
【分析】当P到C时，DP2=y=7，可得DC2=7，作DH⊥BC于点H，由含30度角直角三角形的性质可得BH=1，由勾股定理算出DH、CH的长，由线段和差算出BC，根据等边三角形的性质可判断①；找出t=5时，P的位置，进而可判断②；再由当4≤t≤6时，点P从如图位置运动到点A，DP的长先减小后增大，紧扣特殊位置进行分析可得≤y≤3 ，从而可判断③；由已知条件判断出t1＜3，t2＞3，再结合当0≤t≤3时与当3≤t≤6时，分别表示出y1与y2，利用作差法可判断④.
11．（2024·济南）若分式的值为0，则实数x的值为 ．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式的值为0，
∴x-1=0且2x≠0，
解得x=1.
故答案为：1.
【分析】由分式值为零的条件：分子等于零且分母不为零，列出混合组，求解即可.
12．（2024·济南）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵四个相同的扇形中红色的有一个，
∴转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为.
故答案为：.
【分析】用红色扇形的个数除以4即可求出答案.
13．（2024·济南）如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝ °．
【答案】65
【知识点】等腰直角三角形；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵l1∥l2，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠2=180°-∠3-∠ABC=65°.
故答案为：65.
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠3=∠1=70°，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=45°，然后根据平角定义求解即可.
14．（2024·济南）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kw h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 kw h．
【答案】12
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：A款新能源电动汽车每干米的耗电量为(80-48)÷200=0.16（kw h），B款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80-40)÷200=0.2（kw h），
∴l1图象的函数关系式为y1=80-0.16x，l2的函数关系式为y2=80-0.2x，
当x=300时，y1=80-0.16×300=32，y2=80-0.2×300=20，
32-20=12（kw h），
∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多1kw h .
故答案为：12.
【分析】根据“电动汽车每千米的耗电量=剩余电量的减少量÷行驶路程”分别计算A、B两款新能源电动汽车每干米的耗电量，由此写出图象l1，12的函数关系式，将x=300分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可.
15．（2024·济南）如图，在矩形纸片ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D'，连接BD'．若BD'＝2，则DF＝ ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接BE，延长FE交BA的延长线于点H，
∵矩形ABCD中，AB=，AD=2，E为边AD的中点，
∴AE=DE=1，∠BAE=∠D=90°=∠HAE，
∴
∵∠DEF=∠AEH，AE=DE，∠D=∠HAE=90°，
∴△HAE≌△EDF (ASA)，
∴DF=AH，
∵将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D'，
∴ED=ED'=1，∠ED'F=∠D=90°，∠DEF=∠D'EF，
∵BD'=2，
∴
∴△BED为直角三角形，且∠BED'=90°，
设∠DEF=x，则∠AEH=∠DEF=x，∠DED'=2x，
∴∠AEB=90°-2x，∠AHE=90°-x，
∴∠НЕВ=∠AEH+∠AEB=90°-x=∠АНЕ，
∴△BHE为等腰三角形，
∴ВH=ВЕ=，
∴АН=BН-АВ=，
∴DF=АН=.
故答案为：.
【分析】 连接BE，延长EF交BA的延长线于H，由中点定义得AE=DE=1，由矩形性质得∠BAE=∠D=90°，从而由勾股定理算出BE的长；利用ASA判断出△HAE≌△EDF，得DF=AH，由翻折性质得ED=ED'=1，∠ED'F=∠D=90°，∠DEF=∠D'EF，由勾股定理的逆定理判断出△BED为直角三角形，且∠BED'=90°，设∠DEF=x，则∠AEH=∠DEF=x，∠DED'=2x，则∠AEB=90°-2x，∠AHE=90°-x，推出△BHE为等腰三角形，从而即可求解.
16．（2024·济南）计算：．
【答案】解：原式
＝6．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据二次根式性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质及绝对值的性质分别计算，同时代入特殊锐角三角函数值，再计算乘法，最后计算有理数的加减法及合并同类二次根式即可.
17．（2024·济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x＜4，
原不等式组的解集是﹣1＜x＜4，
∴整数解为0，1，2，3．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而再写出解集内的整数解即可.
18．（2024·济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：AF＝CE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵AE⊥CD，CF⊥AD，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣DE，
∴AF＝CE．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的四边相等得AD=CD，由垂直的定义得∠AED＝∠CFD＝90°，从而用AAS判断出△AED≌△CFD，由全等三角形的对应边相等得DE＝DF，最后根据线段的和差及等式的性质可得结论.
19．（2024·济南）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD＝98°，∠CDE＝97°，AE＝8.5m，CD＝6.7m．
成果梳理 …
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点C到地面DE的距离；
（2）求顶部线段BC的长．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cos83°≈0.122，tan83°≈8.144）
【答案】（1）解：如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，垂足为N，
∵∠CDE＝97°，
∴∠CDN＝83°，
在Rt△CDN中，，CD＝6.7m，
∴CN＝CDsin83°＝6.7×0.993≈6.65（m），
答：点C到地面DE的距离为6.65m；
（2）解：如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P，
∵CF∥DE，
∴∠FCD＝∠CDN＝83°，
∵∠BCD＝98°，
∴∠BCP＝∠BCD﹣∠FCD＝15°，
∵平行线间的距离处处相等，
∴EF＝CN＝6.65m，
∵AE＝8.5m，
∴BP＝AF＝AE﹣EF＝8.5﹣6.65＝1.85，
在Rt△BCP中，
∴（m），
答：顶部线段BC的长为7.14m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，垂足为N，由邻补角求出∠CDN＝83°，在Rt△CDN中，由∠CDN的正弦函数值可求出CN，从而得出答案；
（2）过点B作BP⊥CF，垂足为P，由二直线平行，内错角相等，得∠FCD＝∠CDN＝83°，由角的和差可求出∠BCP的度数，由平行线间的距离处处相等，得EF＝CN＝6.65m，由线段和差算出BP，在△BCP中，利用∠BCP的正弦函数可求出BC的长.
20．（2024·济南）如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若，，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧，
∴∠EDB＝∠EAB，
∵∠EAD+∠EDB＝45°，
∴∠EAD+∠EAB＝45°，
即∠BAD＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵AB＝AG，
∴∠B＝∠G＝45°，
∴∠GAB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AG与⊙O相切；
（2）解：如图，连接CE，
∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵DC为直径，
∴∠DEC＝90°，
∵，∠B＝45°，∠BAG＝90°，
∴，
在Rt△DEC中， ，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；同角三角函数的关系；等腰直角三角形；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等得∠EDB＝∠EAB，结合已知及角的和差可得∠BAD＝45°，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB＝90°，由三角形的内角和定理及等边对等角可推出∠GAB=90°，从而根据垂直于半径外端点的直线是圆的切线可得结论；
（2）连接CE，由同弧所对的圆周角相等得∠DAE＝∠DCE，由直径所对的圆周角是直角得∠DEC＝90°，由等腰直角三角形性质可求出AB=CD=，由等角的同名三角函数值相等并结合∠DCE的正弦函数可求出DE的长.
21．（2024·济南）2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
a：C组的数据：
70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．
b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求随机抽取的八年级学生人数；
（2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为 度；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是 分；
（5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．
【答案】（1）解：3÷5%＝60（人）
答：随机抽取的八年级学生人数为60人；
（2）90
（3）解：D组的频数为：60﹣3﹣15﹣16﹣6＝20（人），
补全频数分布直方图如图所示；
（4）77
（5）解： （人）
答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为390人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数为：360°×=90°，
故答案为：90；
（4）∵抽取的八年级学生人数为60，
∴中位数是排在第30个数和第31个数的平均数，
∵排在第30个数与第31个数都在C组，
∴中位数为（分），
故答案为：77；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，由A组的人数除以其所占的百分比可求出本次随机抽取的八年级学生人数；
（2）用360°乘以样本中B组人数所占的百分比可求出扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数；
（3）根据各组人数之和等于本次调查的总人数可求出D组的频数，从而即可补全直方图；
（4）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（5）用该校八年级学生的总人数乘以样本中参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数所占的百分比即可估算出该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数.
22．（2024·济南）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【答案】（1）解：设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元；
（2）解：设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，
根据题意得：m≥2（20﹣m），
解得：．
设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，则w＝3m+2（20﹣m），
即w＝m+40，
∵一次项系数k=1＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m，且m为正整数，
∴当m＝14时，w取得最小值，最小值为14+40＝54．
答：修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”列出方程组，求解即可；
（2）设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，由“ 修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍 ”列出不等式求解可得字母m的取值范围，根据总投资=修建m个A种光伏车棚的费用+修建（20-m）个B种光伏车棚的费用建立出w关于m的函数解析式，进而根据函数性质求解即可.
23．（2024·济南）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．
【答案】（1）解：将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，
∴A（2，6），
将A（2.6）代入 得 ，解得k＝12，
∴反比例函数表达式为 ；
（2）解：设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），
由 可得xy＝12，所以3m（m+3）＝12，
解得 m1＝1，m2＝﹣4 （舍去），
∴B（1，3）；
（3）解：设点B（n，3n），
如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，
∴∠HEB+∠EBH＝90°，
∵点A绕点B顺时针旋转 90°，
∴∠ABE＝90°，BE＝BA，
∴∠EBH+∠ABF＝90°
∴∠BEH＝∠ABF，
∴△EHB≌△BFA（AAS），
∴EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，
∴点E（6﹣2n，4n﹣2），
∵点E在反比例函数图象上，
∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12，
解得 ，n2＝2（舍去）．
∴点E（3，4）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将A（2，a）代入y＝3x可算出a的值，从而得出点A的坐标，然后将点A的坐标代入 可求出k的值，从而求出反比例函数的解析式；
（2）根据点的坐标与图形的性质可设点B（m，3m），根据BD=3得点D（m+3，3m），然后根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k的值建立方程可求出符合题意的m的值，从而求出点B的坐标；
（3）设点B（n，3n），过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，由旋转的性质得∠ABE＝90°，BE＝BA，由同角的余角相等得∠BEH＝∠ABF，从而由AAS判断出△EHB≌△BFA，得EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，然后用含n的式子表示出点E的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特点建立方程可求出符合题意的n的值，从而得到点E的坐标.
24．（2024·济南）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），顶点为Q．
（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，连接AD，点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值；
（3）如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值．
【答案】（1）解：∵抛物线 y＝x2+bx+c过点A（0，2），B（2，2），
得 ，
解得 ，
∴抛物线C1的表达式为y＝x2﹣2x+2；
∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴顶点D（1，1）；
（2）解：如图1，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于 H'，
设点E的横坐标为t．
设直线AD的表达式为y＝kx+b，
由题意知 ，
解得 ，
∴直线AD的表达式为 y＝﹣x+2，
则E（t，t2﹣2t+2），G（t，2﹣t），
∴EG＝t2﹣t，
∵ ADFE的面积为12，
∴S△ADE，
∴S△ADE＝S△AGE﹣S△DGE，
∵H'D＝1，
∴EG＝12，
∴t2﹣t＝12，
解得t1＝4，t2＝﹣3 （舍），
∴E（4，10），
∵点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点F，
∴F（5，9），
将F（5，9）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），
得m2﹣11m+18＝0，
解得m1＝2，m2＝9；
（3）解：如图2，过M作MP⊥x轴，垂足为P，过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K，
设 M（h，h2﹣2h+2），则N（n，0），
∵y＝x2﹣2mx+m2+2﹣m＝（x﹣m）2+2﹣m，
∴抛物线C2的顶点Q（m，2﹣m），
∴DK＝|1﹣（2﹣m）|＝|m﹣1|，KQ＝|m﹣1|，
∴DK＝KQ，∠DQK＝45°，
∵MN∥DQ KQ∥NP，
∴∠MNP＝∠DQK＝45°，
∴∠NMP＝45°，
∴MP＝NP，
∴n﹣h＝h2﹣2h+2，
∴n＝h2﹣h+2＝（h）2，
∴当时，，
∴点N横坐标最小值为，此时点N到直线BD距离最近，△BDN的面积最小，
最近距离即边BD上的高，高为：，
∴△BDN面积的最小值为S△BDN．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A（0，2），B（2，2）分别代入抛物线 y＝x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而得到抛物线C1的解析式，进而将解析式配成顶点式可得顶点D的坐标；
（2）连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于 H'，设点E的横坐标为t；首先利用待定系数法求出直线AD的解析式，根据点的坐标与图形性质得E（t，t2﹣2t+2），G（t，2﹣t），根据两点间的距离公式表示出EG，进而根据平行四边形的性质得△ADE的面积，再根据三角形面积计算公式由S△ADE＝S△AGE﹣S△DGE建立方程可求出EG，进而可求出符合题意的t的值，得到点E的坐标；根据平行四边形的性质，结合A、D、E三点坐标可求出F点的坐标，再根据抛物线上点的坐标特点将F（5，9）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），可求出m的值；
（3）过M作MP⊥x轴，垂足为P，过D作DK∥y轴，过Q作QK∥x轴，与DK交于点K，设 M（h，h2﹣2h+2），则N（n，0），将抛物线C2配成顶点式可得顶点Q的坐标，根据两点间的距离公式表示出DK、KQ，可得DK＝KQ，∠DQK＝45°，由平行线的性质推出∠MNP＝∠DQK＝45°，由等腰直角三角形性质得MP＝NP，据此建立出n关于h的函数解析式，结合函数性质可得点N横坐标最小值为，此时点N到直线BD距离最近，△BDN的面积最小，此题得解.
25．（2024·济南）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（1）（一）拓展探究
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．
兴趣小组的同学得出AC2＝AD AB．理由如下：
∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∵CD⊥AB ∴∠ADC＝90° ∴∠A+∠ACD＝90° ∴∠B＝① ∵∠A＝∠A ∴△ABC∽△ACD ∴② ∴AC2＝AD AB
请完成填空：①；②；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．
（3）（二）学以致用
如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长．
【答案】（1）∠ACD；
（2）解：△AEB是直角三角形，理由如下：
∵∠ACE＝∠AFC，∠CAE＝∠FAC，
∴△ACF∽△AEC，
∴，
∴AC2＝AF AE，
由（1）得 AC2＝AD AB，
∴AF AE＝AD AB，
∴，
∵∠FAD＝∠BAE，
∴△AFD∽△ABE，
∴∠ADF＝∠AEB＝90°，
∴△AEB是直角三角形；
（3）解：∵∠CEB＝∠CBD，∠ECB＝∠BCD，
∴△CEB∽△CBD，
∴．
∴CD CE＝CB2＝24．
如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝6，交⊙A于D0，CD0＝4，∠CDD0＝90°，
∴CD0 CE0＝24＝CD CE，则，
∵∠ECE0＝∠D0CD，
∴△ECE0～△D0CD，
∴∠CDD0＝∠CE0E＝90°，
∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，
过点B作BE'⊥E0E，垂足为E'，BE'即为最短的BE，连接CE'，
∵∠BCE0＝∠CE0E'＝∠BE'E0＝90°，
∴四边形CE0E'B是矩形，
在RtΔCE0E'中可求得，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠B＝90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC＝90°
∴∠A+∠ACD＝90°
∴∠B=∠ACD，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∴AC2＝AD AB；
故答案为：∠ACD；；
【分析】（1）由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠B=∠ACD，结合公共角∠A，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△ACD，由相似三角形对应边成比例得出结论；
（2）由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACF∽△AEC，由相似三角形对应边成比例得AC2＝AF AE，结合（1）得结论可得出，由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△AFD∽△ABE，由相似三角形对应角相等得∠ADF＝∠AEB＝90°，从而即可得出结论；
（3）由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CEB∽△CBD，由相似三角形对应边成比例得CD CE＝CB2＝24；以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝6，交⊙A于D0，CD0＝4，∠CDD0＝90°，由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△ECE0～△D0CD，由相似三角形对应角相等得∠CDD0＝∠CE0E＝90°，则点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，过点B作BE'⊥E0E，垂足为E'，BE'即为最短的BE，连接CE'，由有三个角是直角的四边形是矩形得四边形CE0E'B是矩形，进而根据勾股定理可得答案.
山东省济南市2024年中考数学试卷
1．（2024·济南）9的相反数是 （ ）
A．﹣9 B． C． D．9
2．（2024·济南）黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是 （ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．（2024·济南）截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为 （ ）
A．0.3465×109 B．3.465×109 C．3.465×108 D．34.65×108
4．（2024·济南）若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是 （ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
5．（2024·济南）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为 （ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
6．（2024·济南）下列运算正确的是 （ ）
A．3x+3y＝6xy B．（xy2）3＝xy6
C．3（x+8）＝3x+8 D．x2 x3＝x5
7．（2024·济南）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）
A． B． C．m＜﹣4 D．m＞﹣4
8．（2024·济南）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024·济南）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为 （ ）
A． B． C． D．
10．（2024·济南）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是 （ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
11．（2024·济南）若分式的值为0，则实数x的值为 ．
12．（2024·济南）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
13．（2024·济南）如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝ °．
14．（2024·济南）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kw h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 kw h．
15．（2024·济南）如图，在矩形纸片ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D'，连接BD'．若BD'＝2，则DF＝ ．
16．（2024·济南）计算：．
17．（2024·济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．（2024·济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：AF＝CE．
19．（2024·济南）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD＝98°，∠CDE＝97°，AE＝8.5m，CD＝6.7m．
成果梳理 …
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点C到地面DE的距离；
（2）求顶部线段BC的长．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cos83°≈0.122，tan83°≈8.144）
20．（2024·济南）如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若，，求DE的长．
21．（2024·济南）2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
a：C组的数据：
70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．
b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求随机抽取的八年级学生人数；
（2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为 度；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是 分；
（5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．
22．（2024·济南）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
23．（2024·济南）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．
24．（2024·济南）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），顶点为Q．
（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，连接AD，点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值；
（3）如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值．
25．（2024·济南）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（1）（一）拓展探究
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．
兴趣小组的同学得出AC2＝AD AB．理由如下：
∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∵CD⊥AB ∴∠ADC＝90° ∴∠A+∠ACD＝90° ∴∠B＝① ∵∠A＝∠A ∴△ABC∽△ACD ∴② ∴AC2＝AD AB
请完成填空：①；②；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．
（3）（二）学以致用
如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
2．【答案】A
【知识点】非实心几何体的三视图
【解析】【解答】解：该蛋壳黑陶高柄杯的主视图与左视图相同，俯视图与其主视图和左视图都不相同.
故答案为：A.
【分析】主视图就是从正面看得到的正投影；左视图就是从侧面看得到的正投影；俯视图就是从上面看得到的正投影，据此并结合蛋壳黑陶高柄杯的形状即可逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数字3465000000用科学记数法表示为： 3.465×109.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可求解.
4．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵正多边形的一个外角是45°，
∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8，即这个正多边形是正八边形.
故答案为：C.
【分析】由于正多边形各个外角相等且外角和为360°，故用外角的总度数除以一个外角的度数即可求出该正多边形的边数.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC中∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B＝80°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE=∠ACB=80°.
故答案为：C.
【分析】先由三角形的内角和定理算出∠ACB的度数，再根据全等三角形的对应角相等可求出∠DCE的度数.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、3x与3y不是同类项，不能进行合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、(xy2)3=x3×(y2)3=x3y6，故此选项计算错误，不符合题意；
C、3(x+8)=3x+24，故此选项计算错误，不符合题意；
D、x2 x3＝x2+3=x5，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即可判断B选项；由乘法分配律，可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可判断D选项.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即(-1)2-4×1×(-m)＞0，
解得m＞.
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的不等式，求解即可.
8．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：设“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动分别为A、B、C，由题意画树状图如下：
由图可知共有9种等可能结果数，其中恰好选到同一个活动的情况数有3种，
∴ 恰好选到同一个活动的概率为：.
故答案为：C.
【分析】此题是抽取放回类型，用出树状图列举出所有等可能的情况数，由图可知共有9种等可能结果数，其中恰好选到同一个活动的情况数有3种，进而根据概率公式计算可得答案.
9．【答案】D
【知识点】正方形的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AG，设EF交AB于点H，交CD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠B=∠C=∠ADC=90°，
由作图过程可得EF是AB的垂直平分线，
∴AH=BH，∠AHM=∠BHM=90°，
∴四边形AHMD与四边形BHMC都是矩形，
∴AD∥HM∥BC，BH=CM=AH=DM，HM=BC，
∴点G是DK的中点
∴GM是△DCK的中位线，
设GM=x，则CK=2x，
∴AB=BC=AD=2+2x，
∴AH=BH=x+1，
由作图知AG=AD=2x+2，
∴，
∴
∴，
解得x=，
∴，即该正方形的边长为.
故答案为：D.
【分析】连接AG，设EF交AB于点H，交CD于点M，由正方形的性质得AB=AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，由作图过程可得EF是AB的垂直平分线，则可根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形AHMD与四边形BHMC都是矩形，由矩形的性质得AD∥HM∥BC，BH=CM=AH=DM，HM=BC，由平行线等分线段定理得点G是DK的中点，由三角形中位线定理设GM=x，则CK=2x，推出AB=BC=AD=2+2x，AH=BH=x+1，由作图知AG=AD=x+1，由勾股定理表示出GH，进而再由线段和差表示出MH，最后根据MH=BC建立方程求出x的值，从而可求出正方形的边长.
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠A=60°.
当P到C时，DP2=y=7，
∴DC2=7，
作DH⊥BC于点H，如图，
∵∠B=60°，BD=2，
∴BH=BD=1，，
∴，
∴BC=BH+CH=1+2=3，
∴AB=BC=3，故①正确；
∴此时t=AB÷1=3（秒），
当t=5时，P在AC上，且PC=2，如图，
∵AB=AC=3，BD=PC=2，
∴AD=AP=1，
又∵∠A=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AD=AP=1，
∴y=DP2=1，故②正确；
过点D作DH⊥AP于点H，如图，
∴，.
t=4时，PC=1，
∴AP=2，
∴.
∴.
当4≤t≤6时，点P从如图PC=1的位置运动到点A，且DP的长先减小后增大.
∴在DP⊥AC，即DP和DH重合时取得最小值，最小值为：.
在t=4时，DP2=3；t=6时，DP2=DA2=1；
∴DP2最大值为3；
∴ 当4≤t≤6时，≤y≤3 ，故③错误；
∵t1+t2＝6，t1＜t2 ，
∴t2=6-t1＞t1，t1=6-t2
由题意当0≤t≤3时，y=(t-1)2+3；
当3≤t≤6时，y=(t-5.5)2+；
∴y1=(t1-1)2+3，y2=(t2-5.5)2+=(t1-0.5)2+，
∴y1-y2=(t1-1)2+3-(t1-0.5)2-=3-t1＞0，
∴y1＞y2，故④正确，
综上，正确的有①②④.
故答案为：D.
【分析】当P到C时，DP2=y=7，可得DC2=7，作DH⊥BC于点H，由含30度角直角三角形的性质可得BH=1，由勾股定理算出DH、CH的长，由线段和差算出BC，根据等边三角形的性质可判断①；找出t=5时，P的位置，进而可判断②；再由当4≤t≤6时，点P从如图位置运动到点A，DP的长先减小后增大，紧扣特殊位置进行分析可得≤y≤3 ，从而可判断③；由已知条件判断出t1＜3，t2＞3，再结合当0≤t≤3时与当3≤t≤6时，分别表示出y1与y2，利用作差法可判断④.
11．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ 分式的值为0，
∴x-1=0且2x≠0，
解得x=1.
故答案为：1.
【分析】由分式值为零的条件：分子等于零且分母不为零，列出混合组，求解即可.
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵四个相同的扇形中红色的有一个，
∴转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为.
故答案为：.
【分析】用红色扇形的个数除以4即可求出答案.
13．【答案】65
【知识点】等腰直角三角形；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵l1∥l2，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠2=180°-∠3-∠ABC=65°.
故答案为：65.
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠3=∠1=70°，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=45°，然后根据平角定义求解即可.
14．【答案】12
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：A款新能源电动汽车每干米的耗电量为(80-48)÷200=0.16（kw h），B款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80-40)÷200=0.2（kw h），
∴l1图象的函数关系式为y1=80-0.16x，l2的函数关系式为y2=80-0.2x，
当x=300时，y1=80-0.16×300=32，y2=80-0.2×300=20，
32-20=12（kw h），
∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多1kw h .
故答案为：12.
【分析】根据“电动汽车每千米的耗电量=剩余电量的减少量÷行驶路程”分别计算A、B两款新能源电动汽车每干米的耗电量，由此写出图象l1，12的函数关系式，将x=300分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可.
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接BE，延长FE交BA的延长线于点H，
∵矩形ABCD中，AB=，AD=2，E为边AD的中点，
∴AE=DE=1，∠BAE=∠D=90°=∠HAE，
∴
∵∠DEF=∠AEH，AE=DE，∠D=∠HAE=90°，
∴△HAE≌△EDF (ASA)，
∴DF=AH，
∵将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D'，
∴ED=ED'=1，∠ED'F=∠D=90°，∠DEF=∠D'EF，
∵BD'=2，
∴
∴△BED为直角三角形，且∠BED'=90°，
设∠DEF=x，则∠AEH=∠DEF=x，∠DED'=2x，
∴∠AEB=90°-2x，∠AHE=90°-x，
∴∠НЕВ=∠AEH+∠AEB=90°-x=∠АНЕ，
∴△BHE为等腰三角形，
∴ВH=ВЕ=，
∴АН=BН-АВ=，
∴DF=АН=.
故答案为：.
【分析】 连接BE，延长EF交BA的延长线于H，由中点定义得AE=DE=1，由矩形性质得∠BAE=∠D=90°，从而由勾股定理算出BE的长；利用ASA判断出△HAE≌△EDF，得DF=AH，由翻折性质得ED=ED'=1，∠ED'F=∠D=90°，∠DEF=∠D'EF，由勾股定理的逆定理判断出△BED为直角三角形，且∠BED'=90°，设∠DEF=x，则∠AEH=∠DEF=x，∠DED'=2x，则∠AEB=90°-2x，∠AHE=90°-x，推出△BHE为等腰三角形，从而即可求解.
16．【答案】解：原式
＝6．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据二次根式性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质及绝对值的性质分别计算，同时代入特殊锐角三角函数值，再计算乘法，最后计算有理数的加减法及合并同类二次根式即可.
17．【答案】解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x＜4，
原不等式组的解集是﹣1＜x＜4，
∴整数解为0，1，2，3．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而再写出解集内的整数解即可.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵AE⊥CD，CF⊥AD，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣DE，
∴AF＝CE．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的四边相等得AD=CD，由垂直的定义得∠AED＝∠CFD＝90°，从而用AAS判断出△AED≌△CFD，由全等三角形的对应边相等得DE＝DF，最后根据线段的和差及等式的性质可得结论.
19．【答案】（1）解：如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，垂足为N，
∵∠CDE＝97°，
∴∠CDN＝83°，
在Rt△CDN中，，CD＝6.7m，
∴CN＝CDsin83°＝6.7×0.993≈6.65（m），
答：点C到地面DE的距离为6.65m；
（2）解：如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P，
∵CF∥DE，
∴∠FCD＝∠CDN＝83°，
∵∠BCD＝98°，
∴∠BCP＝∠BCD﹣∠FCD＝15°，
∵平行线间的距离处处相等，
∴EF＝CN＝6.65m，
∵AE＝8.5m，
∴BP＝AF＝AE﹣EF＝8.5﹣6.65＝1.85，
在Rt△BCP中，
∴（m），
答：顶部线段BC的长为7.14m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，垂足为N，由邻补角求出∠CDN＝83°，在Rt△CDN中，由∠CDN的正弦函数值可求出CN，从而得出答案；
（2）过点B作BP⊥CF，垂足为P，由二直线平行，内错角相等，得∠FCD＝∠CDN＝83°，由角的和差可求出∠BCP的度数，由平行线间的距离处处相等，得EF＝CN＝6.65m，由线段和差算出BP，在△BCP中，利用∠BCP的正弦函数可求出BC的长.
20．【答案】（1）证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧，
∴∠EDB＝∠EAB，
∵∠EAD+∠EDB＝45°，
∴∠EAD+∠EAB＝45°，
即∠BAD＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵AB＝AG，
∴∠B＝∠G＝45°，
∴∠GAB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AG与⊙O相切；
（2）解：如图，连接CE，
∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵DC为直径，
∴∠DEC＝90°，
∵，∠B＝45°，∠BAG＝90°，
∴，
在Rt△DEC中， ，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；同角三角函数的关系；等腰直角三角形；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等得∠EDB＝∠EAB，结合已知及角的和差可得∠BAD＝45°，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB＝90°，由三角形的内角和定理及等边对等角可推出∠GAB=90°，从而根据垂直于半径外端点的直线是圆的切线可得结论；
（2）连接CE，由同弧所对的圆周角相等得∠DAE＝∠DCE，由直径所对的圆周角是直角得∠DEC＝90°，由等腰直角三角形性质可求出AB=CD=，由等角的同名三角函数值相等并结合∠DCE的正弦函数可求出DE的长.
21．【答案】（1）解：3÷5%＝60（人）
答：随机抽取的八年级学生人数为60人；
（2）90
（3）解：D组的频数为：60﹣3﹣15﹣16﹣6＝20（人），
补全频数分布直方图如图所示；
（4）77
（5）解： （人）
答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为390人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数为：360°×=90°，
故答案为：90；
（4）∵抽取的八年级学生人数为60，
∴中位数是排在第30个数和第31个数的平均数，
∵排在第30个数与第31个数都在C组，
∴中位数为（分），
故答案为：77；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，由A组的人数除以其所占的百分比可求出本次随机抽取的八年级学生人数；
（2）用360°乘以样本中B组人数所占的百分比可求出扇形统计图中B组对应扇形的圆心角度数；
（3）根据各组人数之和等于本次调查的总人数可求出D组的频数，从而即可补全直方图；
（4）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（5）用该校八年级学生的总人数乘以样本中参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数所占的百分比即可估算出该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数.
22．【答案】（1）解：设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元；
（2）解：设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，
根据题意得：m≥2（20﹣m），
解得：．
设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，则w＝3m+2（20﹣m），
即w＝m+40，
∵一次项系数k=1＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m，且m为正整数，
∴当m＝14时，w取得最小值，最小值为14+40＝54．
答：修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”列出方程组，求解即可；
（2）设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，由“ 修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍 ”列出不等式求解可得字母m的取值范围，根据总投资=修建m个A种光伏车棚的费用+修建（20-m）个B种光伏车棚的费用建立出w关于m的函数解析式，进而根据函数性质求解即可.
23．【答案】（1）解：将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，
∴A（2，6），
将A（2.6）代入 得 ，解得k＝12，
∴反比例函数表达式为 ；
（2）解：设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），
由 可得xy＝12，所以3m（m+3）＝12，
解得 m1＝1，m2＝﹣4 （舍去），
∴B（1，3）；
（3）解：设点B（n，3n），
如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，
∴∠HEB+∠EBH＝90°，
∵点A绕点B顺时针旋转 90°，
∴∠ABE＝90°，BE＝BA，
∴∠EBH+∠ABF＝90°
∴∠BEH＝∠ABF，
∴△EHB≌△BFA（AAS），
∴EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，
∴点E（6﹣2n，4n﹣2），
∵点E在反比例函数图象上，
∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12，
解得 ，n2＝2（舍去）．
∴点E（3，4）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将A（2，a）代入y＝3x可算出a的值，从而得出点A的坐标，然后将点A的坐标代入 可求出k的值，从而求出反比例函数的解析式；
（2）根据点的坐标与图形的性质可设点B（m，3m），根据BD=3得点D（m+3，3m），然后根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k的值建立方程可求出符合题意的m的值，从而求出点B的坐标；
（3）设点B（n，3n），过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，由旋转的性质得∠ABE＝90°，BE＝BA，由同角的余角相等得∠BEH＝∠ABF，从而由AAS判断出△EHB≌△BFA，得EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，然后用含n的式子表示出点E的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特点建立方程可求出符合题意的n的值，从而得到点E的坐标.
24．【答案】（1）解：∵抛物线 y＝x2+bx+c过点A（0，2），B（2，2），
得 ，
解得 ，
∴抛物线C1的表达式为y＝x2﹣2x+2；
∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴顶点D（1，1）；
（2）解：如图1，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于 H'，
设点E的横坐标为t．
设直线AD的表达式为y＝kx+b，
由题意知 ，
解得 ，
∴直线AD的表达式为 y＝﹣x+2，
则E（t，t2﹣2t+2），G（t，2﹣t），
∴EG＝t2﹣t，
∵ ADFE的面积为12，
∴S△ADE，
∴S△ADE＝S△AGE﹣S△DGE，
∵H'D＝1，
∴EG＝12，
∴t2﹣t＝12，
解得t1＝4，t2＝﹣3 （舍），
∴E（4，10），
∵点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点F，
∴F（5，9），
将F（5，9）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），
得m2﹣11m+18＝0，
解得m1＝2，m2＝9；
（3）解：如图2，过M作MP⊥x轴，垂足为P，过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K，
设 M（h，h2﹣2h+2），则N（n，0），
∵y＝x2﹣2mx+m2+2﹣m＝（x﹣m）2+2﹣m，
∴抛物线C2的顶点Q（m，2﹣m），
∴DK＝|1﹣（2﹣m）|＝|m﹣1|，KQ＝|m﹣1|，
∴DK＝KQ，∠DQK＝45°，
∵MN∥DQ KQ∥NP，
∴∠MNP＝∠DQK＝45°，
∴∠NMP＝45°，
∴MP＝NP，
∴n﹣h＝h2﹣2h+2，
∴n＝h2﹣h+2＝（h）2，
∴当时，，
∴点N横坐标最小值为，此时点N到直线BD距离最近，△BDN的面积最小，
最近距离即边BD上的高，高为：，
∴△BDN面积的最小值为S△BDN．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A（0，2），B（2，2）分别代入抛物线 y＝x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而得到抛物线C1的解析式，进而将解析式配成顶点式可得顶点D的坐标；
（2）连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于 H'，设点E的横坐标为t；首先利用待定系数法求出直线AD的解析式，根据点的坐标与图形性质得E（t，t2﹣2t+2），G（t，2﹣t），根据两点间的距离公式表示出EG，进而根据平行四边形的性质得△ADE的面积，再根据三角形面积计算公式由S△ADE＝S△AGE﹣S△DGE建立方程可求出EG，进而可求出符合题意的t的值，得到点E的坐标；根据平行四边形的性质，结合A、D、E三点坐标可求出F点的坐标，再根据抛物线上点的坐标特点将F（5，9）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），可求出m的值；
（3）过M作MP⊥x轴，垂足为P，过D作DK∥y轴，过Q作QK∥x轴，与DK交于点K，设 M（h，h2﹣2h+2），则N（n，0），将抛物线C2配成顶点式可得顶点Q的坐标，根据两点间的距离公式表示出DK、KQ，可得DK＝KQ，∠DQK＝45°，由平行线的性质推出∠MNP＝∠DQK＝45°，由等腰直角三角形性质得MP＝NP，据此建立出n关于h的函数解析式，结合函数性质可得点N横坐标最小值为，此时点N到直线BD距离最近，△BDN的面积最小，此题得解.
25．【答案】（1）∠ACD；
（2）解：△AEB是直角三角形，理由如下：
∵∠ACE＝∠AFC，∠CAE＝∠FAC，
∴△ACF∽△AEC，
∴，
∴AC2＝AF AE，
由（1）得 AC2＝AD AB，
∴AF AE＝AD AB，
∴，
∵∠FAD＝∠BAE，
∴△AFD∽△ABE，
∴∠ADF＝∠AEB＝90°，
∴△AEB是直角三角形；
（3）解：∵∠CEB＝∠CBD，∠ECB＝∠BCD，
∴△CEB∽△CBD，
∴．
∴CD CE＝CB2＝24．
如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝6，交⊙A于D0，CD0＝4，∠CDD0＝90°，
∴CD0 CE0＝24＝CD CE，则，
∵∠ECE0＝∠D0CD，
∴△ECE0～△D0CD，
∴∠CDD0＝∠CE0E＝90°，
∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，
过点B作BE'⊥E0E，垂足为E'，BE'即为最短的BE，连接CE'，
∵∠BCE0＝∠CE0E'＝∠BE'E0＝90°，
∴四边形CE0E'B是矩形，
在RtΔCE0E'中可求得，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠B＝90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC＝90°
∴∠A+∠ACD＝90°
∴∠B=∠ACD，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∴AC2＝AD AB；
故答案为：∠ACD；；
【分析】（1）由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠B=∠ACD，结合公共角∠A，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△ACD，由相似三角形对应边成比例得出结论；
（2）由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACF∽△AEC，由相似三角形对应边成比例得AC2＝AF AE，结合（1）得结论可得出，由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△AFD∽△ABE，由相似三角形对应角相等得∠ADF＝∠AEB＝90°，从而即可得出结论；
（3）由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CEB∽△CBD，由相似三角形对应边成比例得CD CE＝CB2＝24；以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝6，交⊙A于D0，CD0＝4，∠CDD0＝90°，由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△ECE0～△D0CD，由相似三角形对应角相等得∠CDD0＝∠CE0E＝90°，则点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，过点B作BE'⊥E0E，垂足为E'，BE'即为最短的BE，连接CE'，由有三个角是直角的四边形是矩形得四边形CE0E'B是矩形，进而根据勾股定理可得答案.
