6.4 平行关系 高一数学北师大版（2019）必修第二册同步课时训练
一、选择题
1．四棱柱的底面是平行四边形，过此四棱柱任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有( )
A.4条 B.6条 C.8条 D.12条
2．给出下列说法：
①若直线l平行于平面内的无数条直线，则；
②若直线a在平面外，则；
③若直线，直线平面，则；
④若直线，直线平面，则直线a平行于平面内的无数条直线.
其中正确说法的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3．如图所示，四面体的一个截面为四边形EFGH.若，则与平面EFGH平行的棱有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
4．如图，在三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过MN作一平面分别交的边BC，AC于点E，F，则( )
A. B.四边形MNEF为梯形
C.四边形MNEF为平行四边形 D.
5．下列说法正确的是( )
A.若直线平面，直线平面，则直线直线b
B.若直线平面，直线a与直线b相交，则直线b与平面相交
C.若直线平面，直线直线b，则直线平面
D.若直线平面，则直线a与平面内的任意一条直线都无公共点
6．如图，在棱长为2的正方体中，M是的中点，点P是侧面上的动点，且平面，则线段MP长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．已知m，n表示两条直线，，，表示平面，下列命题中正确的有( )
①若，，且，则；
②若m，n相交且都在平面，外，，，，，则；
③若，，则；
④若，，且，则.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8．如图，各棱长均为1的正三棱柱中，M，N分别为线段，上的动点，且平面，则这样的MN有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
二、多项选择题
9．如图，在三棱柱中，，，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A. B.四边形MNEF为梯形
C.四边形MNEF为平行四边形 D.平面
10．已知P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形ABCD的对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列与直线OM平行的平面有( )
A.平面PCD B.平面PBC C.平面PDA D.平面PBA
11．已知a，b表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，给出下列命题，其中正确的是( )
A.若，，且，则
B.若a，b相交且都在，外，，，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
12．已知a，b表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，给出下列命题，其中正确的是( )
A.若，，且，则
B.若，相交且都在，外，，，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
三、填空题
13．已知平面和直线a，b，c，且，，，，则与的位置关系是_________.
14．如图，在正方体中，M，N，P分别是的中点，点H在四边形的边及其内部运动，则H满足条件________时，有平面MNP.
15．若在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上的一点，当点E满足条件________时，平面EBD.
16．已知点S是等边三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是_________.
四、解答题
17．如图所示，矩形ABCD和矩形ABEF中，，点M，N分别位于AE，DB上，且，矩形ABEF可沿AB任意翻折.
（1）求证：当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.
（2）“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总和线段FD平行.”这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立.
18．如图，在空间四边形ABCD中，，，直线AC和BD的夹角为，平面与空间四边形的边AB，BC，CD，DA分别相交于点E，F，G，H，且四边形EFGH为平行四边形.
（1）求证：直线平面.
（2）当平面变化时，求平行四边形EFGH的面积S的最大值.
19．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.求证：平面BDE.
20．如图，已知异面直线AB，CD都与平面MNPQ平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形.
21．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC，BD为圆锥底面的两条直径，M为母线PD上一点.
（1）若M为PD的中点，证明：平面MAC.
（2）若平面MAC，证明：M为PD的中点.
22．如图，在三棱柱中，D，分别为棱，的中点.求证：平面平面.
参考答案
1．答案：D
解析：根据题意作出图形，如图，其中，E，F，G，H，P，Q，M，N分别为所在棱的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.同理可证平面.因为四边形是平行四边形，N，F分别是，的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.同理可证平面.又因为，平面PNFG，所以平面平面.因为平面，平面PNFG，所以平面，平面.同理可证QM，ME，EH，HQ，QE，MH也与平面平行，所以与平面平行的直线共有12条.
2．答案：A
解析：对于①，虽然直线l与平面内的无数条直线平行，但l可能在平面内，所以l不一定平行于，所以①错误；
对于②，因为直线a在平面外，包括两种情况：和a与相交，所以a和不一定平行，所以②错误；
对于③，因为直线，，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内，所以a不一定平行于平面，所以③错误；
对于④，因为，，所以或，所以a与平面内的无数条直线平行，所以④正确.
综上，正确说法的个数为1.
3．答案：C
解析：，.又平面，平面，平面EFGH.同理，由，可得平面，与平面EFGH平行的棱有2条.故选C.
4．答案：B
解析：在平行四边形中，，，，四边形ABNM为平行四边形，，.
平面，平面，平面ABC.
又平面MNEF，平面平面，，.
显然在中，，，四边形MNEF为梯形.故选B.
5．答案：D
解析：A中，直线a与直线b也可能异面、相交，所以A不正确；B中，直线b也可能与平面平行，所以B不正确；C中，直线b也可能在平面内，所以C不正确；根据直线与平面平行的定义可知D正确.
6．答案：B
解析：设CD的中点为N，的中点为R，的中点为H，连接，，，，，MN，NR，如图所示.
由图可知，，所以四边形为平行四边形，所以.因为，，所以，因为，，所以平面平面，因为平面，所以点P在平面MNRH内，又点P是侧面上的动点，平面侧面，所以点P在线段NR上运动.由知，，，，.在中，，即，所以，所以，即为直角，故当点P与点R重合时，线段MP最短，当点P与点N重合时，线段MP最长，所以MP长度的取值范围为，故选B.
7．答案：A
解析：对于①，若，，且，则或相交，故①错误；
对于③和④，与也可能相交，均错误；
对于②，设m，n相交确定平面，根据线面平行的判定定理知，，根据平行平面的传递性得知.
故选：A.
8．答案：D
解析：如图，过M作，交AB于点Q，过Q作，交BC于点H，过点H作，交于点N.因为，所以，则平面平面，则平面.因为M、N分别为线段，上的动点，所以这样的MN有无数条，故选D.
9．答案：BD
解析：在中，，，.又平面，平面，平面ABC.又平面MNEF，平面平面，，又平面，平面，平面.，，，显然在中，，，四边形MNEF为梯形.故选BD.
10．答案：AC
解析：如图，易得，所以平面，平面PDA，故A，C正确.由图可知OM与平面PBC和平面PBA均相交，故B，D错误.
11．答案：BD
解析：对于A，当，，且时，与有可能平行，也可能相交，所以A错误，
对于B，设a，b确定的平面为，因为，，，，a，b是相交直线，所以，，故，所以B正确，
对于C，当，时，与可能平行，也可能相交，所以C错误，
对于D，当，，时，由线面平行的性质定理可知，所以D正确.
故选：BD.
12．答案：BD
解析：对于A，当，，且时，与有可能平行，也可能相交，所以A错误，
对于B，设，确定的平面为，因为，，，，，是相交直线，所以，，故，所以B正确，
对于C，当，时，与可能平行，也可能相交，所以C错误，
对于D，当，，时，由线面平行的性质定理可知，所以D正确.
故选：BD.
13．答案：平行或相交
解析：b，，，，若，满足要求；
若与相交，交线为l，，，满足要求；
故答案为平行或相交.
14．答案：线段
解析：
15．答案：
解析：当E为SA的中点时，连接AC，
设AC与BD的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以点O是AC的中点.
又E是SA的中点，所以OE是的中位线.
所以.
因为平面EBD，平面EBD，
所以平面EBD.
16．答案：平行
解析：，F分别是SB，SC的中点，是的中位线，.又平面ABC，平面ABC，平面ABC.同理平面ABC.，平面平面ABC.
17、
（1）答案：证明见解析
解析：在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G.
四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，且，
且，
四边形ADBE是平行四边形，.
又，.
翻折之后，如图1所示.
，，，，平面，平面FAD，
平面平面FAD.
又平面，平面FAD.
当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.
（2）答案：这个结论不对
解析：这个结论不对.
为使结论成立，可以将M，N分别位于AE，DB上改为M，N分别为AE和BD的中点，理由如下.
在图1的基础上，连接FB，如图2所示.
为AE的中点，也为FB的中点，FB与DB交于B，即DN与FM交于B.
，确定一个平面，即F，M，D，N四点共面.
又平面平面，平面平面，平面平面GNM，
.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）四边形EFGH为平行四边形，，
平面，平面，平面ACD.
又平面ABC，平面平面，.
又平面，平面，
平面.
（2）由（1）知，同理可证，
或.
设，，
则四边形EFGH的面积.
由，，得，
（当且仅当，即，时，等号成立），
，
.
19．答案：证明见解析
解析：证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
，且，
四边形AOEM是平行四边形，.
又平面，平面BDE，
平面BDE.
20．答案：证明见解析
解析：证明：平面MNPQ，平面平面，.
平面MNPQ，平面平面，
，.
同理可证，
四边形MNPQ是平行四边形.
21．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）由题意，得O为BD的中点.
若M为PD的中点，则在中有.
又平面，平面MAC，
所以平面MAC.
（2）由题意，得平面PBD，平面平面.
若平面MAC，则，
所以在中，.
又O为BD的中点，
所以M为PD的中点，
22．答案：证明见解析
解析：证明：如图，连接交于点E，连接DE.由三棱柱的性质可知四边形均为平行四边形，为的中点.
为AC的中点，为的中位线，.
又平面，平面，平面.
在平行四边形中，D，分别为棱，的中点，则四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.
，，平面，平面平面.
