2024-2025学年北师大版选择性必修第一册单元测试：第五章 计数原理
一、选择题
1．在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为( )
A.9人 B.10人 C.11人 D.12人
2．数列的最大项为第k项，则( )
A.4或5 B.5 C.5或6 D.6
3．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A.10 B.20 C.30 D.120
4．在二项式的展开式中,常数项为( )
A.180 B.270 C.360 D.540
5．已知对任意实数x，，则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
6．展开式中含项的系数为( )
A.30 B. C.10 D.
7．展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
8．若,则( )
A.100 B.110 C.120 D.130
二、多项选择题
9．我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》 《九章算术》 《孙子算经》 《五曹算经》 《夏侯阳算经》 《张丘建算经》 《海岛算经》 《五经算术》 《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周髀算经》 《九章算术》 《孙子算经》 《五经算术》 《缀术》和《缉古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为( )
A. B.
C. D.
10．某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：
乘坐站数x
票价/元 2 3 4
现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是( )
A.若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有9种
B.若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有18种
C.若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有9种
D.若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有27种
11．中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是( )
A.某学生从中选3门学习，共有20种选法
B.“礼”和“射”不相邻，共有400种选法
C.“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法
D.“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法
三、填空题
12．《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作,甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读,若三人选择的书不全相同,则不同的选法有_________种．
13．“算24”游戏是以除去大小王的52张扑克牌为载体,任意抽取4张,把扑克牌对应的4个整数（,,,）通过加减乘除（没有乘方开方）以及括号运算,使最后的运算结果是24的一个数学游戏.因为和扑克牌的花色无关,所以游戏可以看作在集合中每次任选1个数,选4次得到4个整数,记为数组,因为算24和选取4个数的顺序无关,可以假设.比如.显然游戏不同的牌组就对应不同的数组,那么所有不同的数组一共有_______个.如果数组为,写出一个结果为24的算式_______.
14．若,则____________.
四、解答题
15．（1）现有甲、乙、丙、丁、戊共五架战机依次着辽宁舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有多少种？（列简式，算出结果）
（2）若甲、乙两人从六门课程中各选修三门，则甲、乙所选的课程中恰有两门相同的选法有多少种？（列简式，算出结果）
16．3名女生和5名男生排成一排.
（1）若女生全排在一起，有多少种排法？
（2）若女生都不相邻，有多少种排法？
（3）其中甲必须排在乙左边（可不邻），有多少种排法？
（4）其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
17．已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求展开式中的常数项.
18．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）的问题中，并解答下面两个问题.
已知，在的展开式中，__________.
（1）求n的值；
（2）求的值.
19．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第5项的系数与第3项的系数之比为；
②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36；
③.
已知在的展开式中，__________.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含的项.
参考答案
1．答案：C
解析：设参加酒会的人数为,
则,得.
故选:C
2．答案：C
解析：令，则，则.
故当时，数列单调递增；当时，数列单调递增；当时，数列递减，所以第5或第6项是数列的最大项，故选C.
3．答案：B
解析：根据题意可得，解得，
则展开式的通项为，令，得，
所以常数项为：，
故选：B.
4．答案：A
解析：二项式的展开式的通项公式为,
令,解得,所以常数项为.
故选：A.
5．答案：C
解析：因（*）
对于A项，当时，代入（*）可得，当时，代入（*）可得，所以，故A项错误；
对于B项，当时，代入（*）可得，
又，所以，故B项错误；
对于C项，当时，代入（*）可得，故C项正确；
对于D项，对（*）两边求导可得，
，当时，，故D项错误.
故选：C.
6．答案：B
解析：表示5个相乘,要得到含项,需要2个x,1个y,
故展开式中含项的系数为.
7．答案：A
解析：由二项式定理易知,展开式的常数项为
,
故选：A.
8．答案：C
解析：利用赋值法,令时,,
令时,,①,
令时,,②,
①②得：,所以.
9．答案：BD
解析：根据题意，第一类，从6本书中取出3本视作一本书，连同剩余的3本分配给4个人，共有种分法，
第二类，从6本书中取出2本书，再从剩余4本书中取出2本书，平均分堆后连同剩余2本，视作4本书分配给4个人，共有，
由分类加法计数原理可得，不同的分配方法的种数为；
或者先分组再分配，6本书分为4组，
若为1，1，1，3，则有种，再分配给4个人有种，
若为1，1，2，2，则有种，再分配给4个人有种，
则一共有种分配方法.
故选：BD.
10．答案：BD
解析：因为甲、乙两人乘坐地铁，共花费5元，
则其中一人的乘坐站数不超过3，另一人的乘坐站数超过3不超过6，
设首站之后的前6站分别为，，，，，，
若甲乘坐地铁不超过3站，则两人下地铁的所有方案为，，，
，，，，，共8种，
同理，若乙乘坐地铁不超过3站，也有8种方案，
因此甲和乙两人共花费5元时共有18种下地铁的方案，故A错误，B正确；
设首站之后的前9站分别为，，，，，，，，，
若甲、乙两人共付费6元，则共有三类方案，甲付2元，乙付4元；甲付3元，乙付3元；甲付4元，乙付2元；
由选项AB的分析可知每类情况有9种方案，
所以甲、乙两人共付费6元时共有27种下地铁的方案，故C错误，D正确.
故选：BD.
11．答案：AC
解析：对于A，某学生从中选3门学习，共有种选法，
故选项A正确；
对于B，“礼”和“射”不相邻，则有种，
故选项B错误；
对于C，①若“数”排在第一节，则排法有种；
②若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有种，
所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有种选法，
故选项C正确；
对于D，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有种；
②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有种；
③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有种.
所以“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有种选法，
故选项D错误；
故选：AC.
12．答案：24
解析：若三人选书没有要求,则有种,
若三人选择的书完全相同,则有3种,
所以三人选择的书不全相同,不同的选法有种.
故答案为：24.
13．答案：1820,
解析：因为数组,且,
若a,b,c,d中四个数相等,所有不同的数组一共有个;
若a,b,c,d中三个数相等,所有不同的数组一共有个;
若a,b,c,d有且仅有2个数相等,所有不同的数组一共有个;
若a,b,c,d中有2组2个数相等,所有不同的数组一共有个;
若a,b,c,d中没有数相等,所有不同的数组一共有个;
所以所有不同的数组一共有个;
如果数组为,则.
故答案为:1820;.
14．答案：4
解析：由组合数的计算公式,可得,解得.
故答案为：4.
15．答案：（1）24种
（2）180种
解析：（1）甲、乙两机必须相邻，把甲、乙看作一个整体和戊全排列，共有种方法，
而丙、丁两机不能相邻，把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的三个空位中，有种方法，
再按分步乘法计数原理可得，共有（种）方法.
（2）甲、乙所选的课程有两门相同，从六门中选两门，有种选法，
再从余下的四门课程中选两门分别给甲、乙，有种选法，
故按分步乘法计数原理可得，共有（种）选法.
16．答案：（1）4320种
（2）14400种
（3）20160种
（4）30960种
解析：（1）由于女生全排在一起，因此可把她们看成一个整体，同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有种排法，
因此，共有（种）不同排法.
（2）先排5名男生，有种排法.
这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法，
因此共有（种）不同排法.
（3）8名学生的所有排列共种方法，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占，
因此符合要求的排法种数为.
（4）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置，
（方法一）甲在最右边时，其他学生可全排列，有种不同排法；
甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种排法，而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种排法，
其余人全排列，共有种不同排法.
由分类加法计数原理知，共有（种）排法.
（方法二）先排最左边，除去甲外，有种排法，余下7个位置全排，有种排法，
但应剔除乙在最右边时的排法种，
因此共有（种）排法.
（方法三）8名学生全排列，共有种排法，
其中，不符合条件的有甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，
其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种排法，
因此共有（种）排法.
17．答案：（1）0
（2）
（3）455
解析：（1）因为，
所以，
所以.
（2）在中，
令，得；
令，得.
又，所以.
（3）由，
可知，
所以，
其通项，.
令，得.
故所求常数项为.
18．答案：（1）选择条件①②③：
（2）
解析：（1）选择条件①，
若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，
.
选择条件②，
若展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则，
.
选择条件③，
若的展开式中所有二项式系数的和为，则，
.
（2）由（1）知，则.
令，得；
令，则.
.
19．答案：（1）
（2）
解析：选①，展开式的通项公式，
则第5项的系数为，第3项的系数为，
，，
解得（舍去）或.
选②，第2项与倒数第3项的二项式系数分别为和，，解得（舍去）或.
选③，由，得.
的展开式的通项公式.
（1）当时，若取得最大值，则，即第5项的二项式系数最大，
展开式中二项式系数最大的项为.
（2）令，解得.
展开式中含的项为.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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