2024-2025学年北师大版选择性必修第一册单元测试：第二章 圆锥曲线
一、选择题
1．设,分别是椭圆的右顶点和上焦点,点P在C上,且,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
2．已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三角形,过其底面圆周上一点A作平面,若截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆,则该椭圆的长轴长的最小值为( )
A. B.1 C. D.2
3．椭圆的左、右焦点分别为,,过且斜率为的直线与椭圆交于A,B两点(A在B左侧),若,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
4．双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5．抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
6．已知F为椭圆的右焦点,P为C上的动点,过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,若等于的最小值的3倍,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
7．已知双曲线:的左、右焦点分别为,,焦距为2c,直线与双曲线的一个交点M满足,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
8．双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．设点,分别为椭圆的左、右焦点,点P是椭圆C上任意一点,若使得成立的点恰好是4个,则实数m的取值可以是( )
A.1 B.3 C.5 D.4
10．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.已知人造卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即人造卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，如图所示.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的是( )
A.人造卫星向径的取值范围是
B.人造卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C.人造卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D.人造卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
11．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AP，BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是( )
A.当时，点P所在的曲线是焦点在x轴上的双曲线
B.当时，点P所在的曲线是焦点在y轴上的双曲线
C.当时，点P所在的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D.当时，点P所在的曲线是圆
三、填空题
12．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点F且垂直于的直线l分别交，于A，B两点，且，则该双曲线的离心率为________.
13．双曲线的一条渐近线方程为，则正实数________.
14．已知双曲线，斜率为的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，点P的坐标为，直线交E于另一点C，直线交E于另一点D若直线的斜率为，则E的离心率为__________.
四、解答题
15．已知椭圆的一个焦点为,椭圆上的点到F的最大距离为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)不经过F的直线l与x轴垂直,l与椭圆C交于A,B两点,连接并延长交椭圆C于点D,求证：直线过定点.
16．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求l的斜率；
（2）若，求的面积.
17．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍.
（1）求M的方程;
（2）若倾斜角为的直线l与M交于A,B两点,线段AB的中点坐标为,求m.
18．已知双曲线C的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知A，B是双曲线C上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.
19．已知抛物线的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有.当点A的横坐标为3时，为正三角形.
（1）求抛物线C的方程.
（2）延长AF交抛物线C于点E，过点E作抛物线的切线，求证：.
参考答案
1．答案：A
解析：,,,则,P在椭圆上,,故选A.
2．答案：C
解析：根据题意可得:当该椭圆的长轴垂直于母线时,长轴长取得最小值,
且最小值为边长为2的正三角形的高,即为.
3．答案：A
解析：由,可得的垂直平分线过,
,又,,
,
,,,
,又,解得.
4．答案：B
解析：由,
得,,所以,
即双曲线的离心率.
故选：B.
5．答案：B
解析：因为抛物线的标准方程为： ,
焦点在y轴正半轴上,且,所以焦点坐标为,
故选：B.
6．答案：B
解析：F为椭圆的右焦点,P为C上的动点,
由椭圆的性质,可得.
过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,.
等于的最小值的3倍,.
椭圆中,,即,则.
,,解得或（舍）.
故选：B.
7．答案：D
解析：由题意,直线过左焦点且倾斜角为60°,
,,,即
,,
双曲线定义有,离心率.
8．答案：B
解析：双曲线即，故渐近线方程为.
故选：B
9．答案：BD
解析：设, ,, ,,
由可得,又点P在椭圆C上,即,
,要使得成立的点恰好是4个,则,解得.
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：
A √ 根据椭圆定义知人造卫星向径的取值范围是.
B √ 当人造卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知人造卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间.
C × 由选项A分析可知，人造卫星向径的最小值和最大值分别为和，则，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆.
D √ 根据面积守恒规律，人造卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小.
11．答案：AD
解析：设点P的坐标为，则直线AP的斜率为.直线BP的斜率为.由已知，得.化简，得点M的轨迹方程为.当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点），所以A正确；当时，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点），所以B错误；当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点），所以C错误；当时，点P的轨迹为圆（除去与x轴的交点），所以D正确.故选AD.
12．答案：
解析：由题意得，，，
由题得，
，
整理得，即，
，，即.
故答案为：
13．答案：4
解析：双曲线方程为，则其焦点在x轴上，，
故其渐近线方程为，
一条渐近线方程为，则，即.
故答案为：4.
14．答案：
解析：如图
设，，线段AB的中点，
，两式相减得：，
…①
设，，线段CD的中点，
同理可得：…②
，，易知P，M，N三点共线，
，将①②代入得：，即，
，即，
15．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由题意,椭圆上的点到F的最大距离为,
所以,,所以椭圆方程为;
(2)显然直线的斜率存在且不为0,
设直线的方程为,,
则,由,
可得,
,
,,
所以直线的方程为,
令,可得
,
所以直线过定点.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）将点A的坐标代入双曲线方程得，化简得，得，
故双曲线C的方程为.
由题知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，，
联立直线l与双曲线C的方程并整理得，
故，.
，
化简得，
故，
整理得，
又直线l不过点A，即，故.
（2）不妨设直线PA的倾斜角为，由题意知，
所以，
解得或（舍去），
由得，
所以，
同理得，所以.
因为，所以，
故.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为椭圆M的长轴长是短轴长的倍,
所以,
解得,
则M的方程为;
（2）易知,
不妨设,,
因为线段AB的中点坐标为,
所以,,
因为A,B两点在椭圆M上,
所以,
整理得,
即,
解得,
经检验,点在椭圆M内.
故.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
所以可设其方程为，
将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为.
（2）设，，则，
因为
所以，
即有，
所以，
所以直线的方程为，即.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知.
设点，则线段FD的中点为点.
因为，所以由抛物线的定义，得，
解得或（舍去）.
若为正三角形，则点A的横坐标为，即，
解得.
所以抛物线C的方程为.
（2）证明：设点，.
由，得，
所以（负值已舍去），
则.
设直线和抛物线C相切.
将代入，得.
令，得，所以点.
又因为A，F，E三点共线，所以，
化简，得，解得或.
因为时，点与点A重合，故舍去，
所以，所以.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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