周测12　选择性必修 第二册 综合质量评估卷（二）（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

周测12　综合质量评估卷（二）
（时间：120分钟　分值：150分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.在等差数列｛an｝中，若a2+a3+a4+a5+a6=90，则a1+a7等于 （　　）
A.45 B.15
C.18 D.36
2.已知定义在［m，n］上的函数f（x），其导函数f'（x）的图象如图所示，则下列叙述正确的是 （　　）
A.f（x）的值域为［f（d），f（n）］
B.f（x）在［a，b］上单调递增，在［b，d］上单调递减
C.f（x）的极大值点为c，极小值点为e
D.f（x）一定有两个零点
3.已知在等差数列｛an｝中，a1=9，a4=3，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，则T21等于 （　　）
A.245 B.263 C.281 D.290
4.已知Sn为正项等比数列｛an｝的前n项和，若a1与S3为方程x2-11x+28=0的两个根，则S4等于 （　　）
A.7 B.8 C. D.
5.已知函数f（x）=x2-2x+ln x.若f（a+1）≥f（2a-1），则实数a的取值范围是 （　　）
A.（-∞，-1］ B.（-1，2］
C.［2，+∞） D.
6.已知数列｛an｝中，a1=4，a2=1，an+2=an+1-an（n∈N*），则 a2 024等于 （　　）
A.4 B.3 C.1 D.-4
7.已知函数f（x）=ex，g（x）=ln+的图象与直线y=m（m>0）分别交于A，B两点，则|AB|的最小值为 （　　）
A.2 B.2+ln 2
C.e2+ D.2e-ln
8.已知函数f（x）=若函数y=f（x）-a（a为常数）有三个零点，则实数a的取值范围为 （　　）
A.
B.
C.∪
D.（-∞，-1）∪
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，若a1=-5，an+1=an+3，则下列说法正确的是 （　　）
A.数列｛an｝是递增数列
B.数列是递增数列
C.数列中的最小项为S3
D.Sm，S2m，S3m（m∈N*）成等差数列
10.已知数列｛an｝的前n项和为Sn（Sn≠0），且满足an+4Sn-1Sn=0（n≥2），a1=，则下列说法正确的是 （　　）
A.数列｛an｝的前n项和为Sn=
B.数列｛an｝的通项公式为an=-
C.数列｛an｝为递增数列
D.数列为递增数列
11.已知函数f（x）=ln x+x，对于满足1≤x1A.（x1-x2）［f（x1）-f（x2）］<0
B.f（x1）-≤0
C.x1f（x2）D.f（x1）-f（x2）>2（x1-x2）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知曲线y=x3+x，该曲线的切线的倾斜角的取值范围是　　　　　.
所以该曲线的切线的倾斜角的取值范围为.
13.在数列｛an｝中，若a1=3，an+1=an（n∈N*），则an=　　　　　.
14.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，a2+a7=8，S9=27，则nSn的最大值为　　　　.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15.（13分）已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2.
（1）求数列｛an｝的通项公式；（5分）
（2）设数列｛bn｝满足：bn=，求数列｛bn｝的前2n项和T2n.（8分）
16.（15分）已知函数f（x）=-1.
（1）若m=2，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（7分）
（2）若017.（15分）在等差数列｛an｝中，a4=4，Sn为｛an｝的前n项和，S10=55，数列｛bn｝满足log2b1+log2b2+…+log2bn=.
（1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；（6分）
（2）求数列的前n项和Tn.（9分）
18.（17分）已知f（x）=-ex+ex（e为自然对数的底数）.
（1）求函数f（x）的最大值；（7分）
（2）设g（x）=ln x+x2+ax，若对任意x1∈（0，2］，总存在x2∈（0，2］，使得g（x1）19.（17分）已知函数f（x）=的最大值是.
（1）求实数a的值；（7分）
（2）设函数g（x）=，若 x>0，使g（x）≤f（x）+k，求实数k的取值范围.（10分）
参考答案及解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.在等差数列｛an｝中，若a2+a3+a4+a5+a6=90，则a1+a7等于 （　　）
A.45 B.15
C.18 D.36
答案　D
解析　因为｛an｝是等差数列，所以a2+a3+a4+a5+a6=5a4=90，解得a4=18，
所以a1+a7=2a4=36.
2.已知定义在［m，n］上的函数f（x），其导函数f'（x）的图象如图所示，则下列叙述正确的是 （　　）
A.f（x）的值域为［f（d），f（n）］
B.f（x）在［a，b］上单调递增，在［b，d］上单调递减
C.f（x）的极大值点为c，极小值点为e
D.f（x）一定有两个零点
答案　C
解析　根据导函数f'（x）的图象可知，f（x）在［a，c］上单调递增，在［c，d］上单调递减，故B错误；
根据导函数f'（x）的图象可知，当x∈［m，c）时，f'（x）>0，所以函数f（x）在［m，c）上单调递增，当x∈（c，e）时，f'（x）<0，所以函数f（x）在（c，e）上单调递减，当x∈（e，n］时，f'（x）>0，所以函数f（x）在（e，n］上单调递增，所以f（x）的极大值点为c，极小值点为e，故C正确；
根据单调性可知，函数的最小值为f（m）或f（e），最大值为f（c）或f（n），故A错误；
当f（m）>0且f（e）>0时，函数无零点，故D错误.
3.已知在等差数列｛an｝中，a1=9，a4=3，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，则T21等于 （　　）
A.245 B.263 C.281 D.290
答案　C
解析　在等差数列｛an｝中，由a1=9，a4=3，
得公差d==-2，
则an=a1+（n-1）d=-2n+11，
显然当n≤5时，an>0，当n≥6时，an<0，
所以T21=|a1|+|a2|+…+|a21|
=（a1+a2+…+a5）-（a6+a7+…+a21）
=2（a1+a2+…+a5）-（a1+a2+…+a21）
=2×-=281.
4.已知Sn为正项等比数列｛an｝的前n项和，若a1与S3为方程x2-11x+28=0的两个根，则S4等于 （　　）
A.7 B.8 C. D.
答案　C
解析　∵a1与S3为方程x2-11x+28=0的两个根，∴
解得或
设正项等比数列｛an｝的公比为q（q>0），
则当a1=4时，S3=a1（1+q+q2）=4（1+q+q2）=7，解得q=或q=-（舍）；
当a1=7时，S3=a1（1+q+q2）=7（1+q+q2）=4，方程无解.
∴a1=4，q=，
∴S4===.
5.已知函数f（x）=x2-2x+ln x.若f（a+1）≥f（2a-1），则实数a的取值范围是 （　　）
A.（-∞，-1］ B.（-1，2］
C.［2，+∞） D.
答案　D
解析　因为f（x）=x2-2x+ln x，x∈（0，+∞），
所以f'（x）=x-2+=
=≥0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（a+1）≥f（2a-1），
则a+1≥2a-1>0，解得6.已知数列｛an｝中，a1=4，a2=1，an+2=an+1-an（n∈N*），则 a2 024等于 （　　）
A.4 B.3 C.1 D.-4
答案　C
解析　因为a1=4，a2=1，
an+2=an+1-an（n∈N*），
所以a3=a2-a1=1-4=-3，
a4=a3-a2=-3-1=-4，
a5=a4-a3=-4-（-3）=-1，
a6=a5-a4=-1-（-4）=3，
a7=a6-a5=3-（-1）=4，
a8=a7-a6=4-3=1，…，
所以数列｛an｝是以6为周期的周期数列，
所以a2 024=a337×6+2=a2=1.
7.已知函数f（x）=ex，g（x）=ln+的图象与直线y=m（m>0）分别交于A，B两点，则|AB|的最小值为 （　　）
A.2 B.2+ln 2
C.e2+ D.2e-ln
答案　B
解析　因为函数f（x）=ex，g（x）=ln+的图象与直线y=m分别交于A，B两点，
所以A（ln m，m），B（2，m），其中2>ln m，且m>0，
所以|AB|=2-ln m，
令h（x）=2-ln x（x>0），
则h'（x）=2-，
令h'（x）=0得x=；
所以当x>时，h'（x）>0；
当0即函数h（x）在上单调递减，在上单调递增，
因此h（x）≥h=2+ln 2，即|AB|的最小值为2+ln 2.
8.已知函数f（x）=若函数y=f（x）-a（a为常数）有三个零点，则实数a的取值范围为 （　　）
A.
B.
C.∪
D.（-∞，-1）∪
答案　B
解析　当x>0时，f（x）=，
可得f'（x）=，
令f'（x）>0，解得0e，
则f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且当x∈（e，+∞）时，函数值为正数，
故f（x）≤f（e）=；
当x≤0时，f（x）=x2+2x=（x+1）2-1，
则f（x）在（-1，0］上单调递增，在（-∞，-1）上单调递减，
故f（x）≥f（-1）=-1，f（0）=0.
综上所述，f（x）的大致图象如图所示，
函数y=f（x）-a有三个零点等价于y=f（x）的图象与直线y=a有三个交点，
由图象可得，实数a的取值范围为.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，若a1=-5，an+1=an+3，则下列说法正确的是 （　　）
A.数列｛an｝是递增数列
B.数列是递增数列
C.数列中的最小项为S3
D.Sm，S2m，S3m（m∈N*）成等差数列
答案　AB
解析　因为an+1=an+3，所以数列｛an｝为等差数列，公差为3，
因为a1=-5，所以an=-5+3（n-1）=3n-8，Sn==.
对于A，因为an+1-an=3>0，所以数列｛an｝是递增数列，A正确；
对于B，因为-=-=>0，所以数列是递增数列，B正确；
对于C，因为a1=-5<0，a2=-2<0，a3=1>0，所以数列中的最小项为S2，C不正确；
对于D，当m=1时，S1=-5，S2=-7，S3=-6，显然不是等差数列，D不正确.
10.已知数列｛an｝的前n项和为Sn（Sn≠0），且满足an+4Sn-1Sn=0（n≥2），a1=，则下列说法正确的是 （　　）
A.数列｛an｝的前n项和为Sn=
B.数列｛an｝的通项公式为an=-
C.数列｛an｝为递增数列
D.数列为递增数列
答案　AD
解析　由an+4Sn-1Sn=0（n≥2），
得Sn-Sn-1+4Sn-1Sn=0且Sn≠0，
所以-=4，
又==4，所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，故D正确；
所以=4+4（n-1）=4n，则Sn=，故A正确；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-，而a1=不满足上式，
所以an=显然a1>a2，故B，C不正确.
11.已知函数f（x）=ln x+x，对于满足1≤x1A.（x1-x2）［f（x1）-f（x2）］<0
B.f（x1）-≤0
C.x1f（x2）D.f（x1）-f（x2）>2（x1-x2）
答案　BD
解析　对于A，因为函数f（x）=ln x+x的定义域为（0，+∞），则f'（x）=+1>0，所以f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，
则对于满足1≤x10，故A错误；
对于B，令g（x）=f（x）-x2=ln x+x-x2，当x∈［1，2］时，g'（x）=+1-2x==<0，所以g（x）在［1，2］上单调递减，
又g（1）=0，所以g（x）≤g（1）=0，即ln x+x≤x2，x∈［1，2］，所以f（x1）-≤0，故B正确；
对于C，令h（x）==，则h'（x）=，所以当x∈［1，2］时，h'（x）>0，
所以h（x）在［1，2］上单调递增，所以当1≤x1，则x1f（x2）>x2f（x1），故C错误；
对于D，令m（x）=f（x）-2x，即m（x）=ln x-x，则当x∈［1，2］时，m'（x）=-1=≤0，
所以m（x）在［1，2］上单调递减，则当1≤x1m（x2），
即f（x1）-2x1>f（x2）-2x2，即f（x1）-f（x2）>2（x1-x2），故D正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知曲线y=x3+x，该曲线的切线的倾斜角的取值范围是　　　　　.
答案　
解析　因为y=x3+x，所以y'=x2+1，
显然y'≥1，
所以该曲线的切线的斜率k≥1，
设该曲线的切线的倾斜角为θ，θ∈［0，π），
所以tan θ≥1，
解得θ∈.
所以该曲线的切线的倾斜角的取值范围为.
13.在数列｛an｝中，若a1=3，an+1=an（n∈N*），则an=　　　　　.
答案　
解析　由题意，a1=3，an+1=an可得an≠0，
所以=，
所以an=··…··a1
=××…××3=.
14.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，a2+a7=8，S9=27，则nSn的最大值为　　　　.
答案　256
解析　设等差数列｛an｝的公差为d，
因为｛an｝是等差数列，且有a2+a7=8，S9=27，
所以解得
所以an=13-2n，Sn==-n2+12n，
则设cn=nSn=-n3+12n2，
令f（x）=-x3+12x2，
则f'（x）=-3x2+24x=-3x（x-8），
令f'（x）>0，解得0令f'（x）<0，解得x<0或x>8，此时f（x）单调递减，
因为n∈N*，
所以当1≤n≤8时，cn是递增数列；
当n≥8时，cn是递减数列；
所以（cn）max=c8=256.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15.（13分）已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2.
（1）求数列｛an｝的通项公式；（5分）
（2）设数列｛bn｝满足：bn=，求数列｛bn｝的前2n项和T2n.（8分）
解　（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1，
又当n=1时，a1=S1=1也满足该式，故an=2n-1.
（2）bn=
=（-1）n
=，
则T2n=-
+
=-+
=-+
=-+.
16.（15分）已知函数f（x）=-1.
（1）若m=2，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（7分）
（2）若0（1）解　∵m=2，
∴f（x）=-1，
∴f'（x）=.
∵f（1）=-，f'（1）=，
∴f（x）的图象在x=1处的切线方程为y+=（x-1），
即（2-ln 2）x-2y+ln 2-3=0.
（2）证明　当00，
令g（x）=xm-mx，
则函数f（x）=-1在（0，+∞）上只有一个零点等价于函数g（x）=xm-mx在（0，+∞）上只有一个零点，
可得g'（x）=mxm-1-mxln m，
∵00，
∴mxm-1>0，ln m<0，
即g'（x）>0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又∵g（m）=0，
∴g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，
即函数f（x）在（0，+∞）上只有一个零点，得证.
17.（15分）在等差数列｛an｝中，a4=4，Sn为｛an｝的前n项和，S10=55，数列｛bn｝满足log2b1+log2b2+…+log2bn=.
（1）求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；（6分）
（2）求数列的前n项和Tn.（9分）
解　（1）设等差数列｛an｝的公差为d，
由题意得
解得所以an=n，
因为log2b1+log2b2+…+log2bn=， ①
则当n≥2时，log2b1+log2b2+…+log2bn-1=， ②
①-②得，log2bn=n，则bn=2n，
而当n=1时，log2b1=1，
则b1=2，满足bn=2n.
所以bn=2n.
（2）记cn=（-1）nn·2n=n·（-2）n，
Tn=（-2）1+2·（-2）2+3·（-2）3+…+（n-1）·（-2）n-1+n·（-2）n，
-2T2=（-2）2+2·（-2）3+…+（n-1）（-2）n+n·（-2）n+1，
两式相减得3Tn=（-2）1+（-2）2+（-2）3+…+（-2）n-n·（-2）n+1=-n·（-2）n+1，
所以Tn=.
18.（17分）已知f（x）=-ex+ex（e为自然对数的底数）.
（1）求函数f（x）的最大值；（7分）
（2）设g（x）=ln x+x2+ax，若对任意x1∈（0，2］，总存在x2∈（0，2］，使得g（x1）解　（1）∵f（x）=-ex+ex，
∴f'（x）=-ex+e，
令f'（x）>0，解得x<1；令f'（x）<0，解得x>1，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=0.
（2）对任意x1∈（0，2］，总存在x2∈（0，2］，
使得g（x1）由（1）知f=f（1）=0，
则问题转化为g（x）<0在（0，2］上恒成立，
化简得-a>=+x，
令h（x）=+x，x∈（0，2］，
则h'（x）=+，
当x∈（0，2］时，由1-ln x>0，得h'（x）>0，∴h（x）在（0，2］上单调递增，
∴h（x）max=h（2）=+1，
则-a>+1，即a<--1，
故a的取值范围为.
19.（17分）已知函数f（x）=的最大值是.
（1）求实数a的值；（7分）
（2）设函数g（x）=，若 x>0，使g（x）≤f（x）+k，求实数k的取值范围.（10分）
解　（1）由题意得f'（x）=，令1-ln x-a=0，解得x=e1-a.
当00；当x>e1-a时，f'（x）<0，
所以f（x）在（0，e1-a）上单调递增，在（e1-a，+∞）上单调递减，
所以当x=e1-a时，函数f（x）有最大值，即f（e1-a）==，
所以a=1-ln 2.
（2）令F（x）=g（x）-f（x）=-，x>0，
则F'（x）=-=，
令G（x）=+ln，
则G'（x）=+，
当x>0时，G'（x）>0，
所以G（x）在（0，+∞）上单调递增.
因为G（2e-2）=+ln
=2（-1）<0，G（1）=-ln 2>0，
所以存在唯一的x0∈（2e-2，1），
使得+ln=0，
当0当x>x0时，G（x）>0，即F'（x）>0，
所以F（x）在（0，x0）上单调递减，
在（x0，+∞）上单调递增，
由+ln=0，
得x0=ln=ln·，
构造函数h（x）=xex（x>0），
则h'（x）=（x+1）ex>0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又h（x0）=h，
所以x0=ln=ln 2-ln x0，
所以k≥F（x0）=-
=-=1.
故实数k的取值范围是［1，+∞）.