周测5 导数的概念及几何意义
（时间：75分钟 分值：100分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
1.如图，函数f（x）在区间［1，3］上的平均变化率是 （ ）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
2.已知函数f（x）=-x2，则f（x）在x=3处的导数f'（3）等于 （ ）
A.-6-Δx B.6
C.-6 D.-9
3.某物体沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y=1-t+t2，该物体在t=2 s时的瞬时速度是 （ ）
A.2 m/s B.3 m/s C.4 m/s D.5 m/s
4.某汽车在笔直的公路上不断加速行驶，则其路程s关于时间t的函数图象的大致形状是 （ ）
5.函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是 （ ）
A.f'（4）>f'（3）>f'（2）>f'（1）
B.f'（1）>f'（2）>f'（3）>f'（4）
C.f'（2）>f'（1）>f'（4）>f'（3）
D.f'（2）>f'（3）>f'（1）>f'（4）
6.已知函数y=f（x）可导，且=1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为 （ ）
A.45° B.60°
C.120° D.135°
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
7.下列有关导数的说法，正确的是 （ ）
A.f'（x0）就是曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率
B.f'（x0）与［f（x0）］'的意义是一样的
C.设s=s（t）是位移函数，则s'（t0）表示物体在t=t0时刻的瞬时速度
D.设v=v（t）是速度函数，则v'（t0）表示物体在t=t0时刻的瞬时加速度
8.设f'（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f'（x）的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是 （ ）
9.小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系如图，记t时刻的瞬时速度为V（t），区间［0，t1］，［0，t2］，［t1，t2］上的平均速度分别为V1，V2，V3，则下列判断正确的有 （ ）
A.V1
C.对于Vi（i=1，2，3），存在mi∈（0，t2），使得V（mi）=Vi
D.整个过程中小明行走的速度一直在加快
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
10.曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是 .
11.已知函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=-2x+8，则f（5）+f'（5）= .
12.某铁球在0 ℃时，半径为1 dm，当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为t ℃时铁球的半径为（1+at）dm，其中a为常数，则在t=0时，铁球体积对温度的瞬时变化率为 .
四、解答题（本题共3小题，共37分）
13.（12分）“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后多长时间达到最高点？
14.（12分）（1）求函数y=在x=1处的导数；（5分）
（2）求函数y=x2+ax+b（a，b为常数）的导数.（7分）
15.（13分）已知曲线f（x）=.
（1）求过点A（1，0）的切线方程；（6分）
（2）求满足斜率为-的曲线的切线方程.（7分）
参考答案及解析
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
1.如图，函数f（x）在区间［1，3］上的平均变化率是 （ ）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
答案 B
2.已知函数f（x）=-x2，则f（x）在x=3处的导数f'（3）等于 （ ）
A.-6-Δx B.6
C.-6 D.-9
答案 C
解析 当自变量在x=3处的改变量为Δx时，平均变化率
=
==-6-Δx.
可以看出，当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于-6，
因此f'（3）=
=（-6-Δx）=-6.
3.某物体沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y=1-t+t2，该物体在t=2 s时的瞬时速度是 （ ）
A.2 m/s B.3 m/s C.4 m/s D.5 m/s
答案 B
解析 ∵=
=（Δt+2t-1）=2t-1，
∴当t=2时，=2×2-1=3，
即该物体在t=2 s时的瞬时速度是3 m/s.
4.某汽车在笔直的公路上不断加速行驶，则其路程s关于时间t的函数图象的大致形状是 （ ）
答案 B
解析 因为汽车加速行驶，所以随着t的增大，速度在不断增大，根据导数的物理意义知v=s'（t），从而s'（t）在不断增大，即曲线上的各点的切线斜率不断增大.只有B满足此规律.
5.函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是 （ ）
A.f'（4）>f'（3）>f'（2）>f'（1）
B.f'（1）>f'（2）>f'（3）>f'（4）
C.f'（2）>f'（1）>f'（4）>f'（3）
D.f'（2）>f'（3）>f'（1）>f'（4）
答案 B
解析 由题图可知，x=1和x=2在f（x）的增区间内，故f'（1）>0，f'（2）>0，且在x=1处切线的斜率大于在x=2处切线的斜率，即f'（1）>f'（2）>0；
x=3和x=4在f（x）的减区间内，故f'（3）<0，f'（4）<0，且在x=3处切线的斜率大于在x=4处切线的斜率，即0>f'（3）>f'（4）.
综上，f'（1）>f'（2）>0>f'（3）>f'（4）.
6.已知函数y=f（x）可导，且=1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为 （ ）
A.45° B.60°
C.120° D.135°
答案 A
解析 由=1，可得f'（1）=1，
则曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，
由tan θ=1（θ为倾斜角），0°≤θ<180°，可得θ=45°.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
7.下列有关导数的说法，正确的是 （ ）
A.f'（x0）就是曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率
B.f'（x0）与［f（x0）］'的意义是一样的
C.设s=s（t）是位移函数，则s'（t0）表示物体在t=t0时刻的瞬时速度
D.设v=v（t）是速度函数，则v'（t0）表示物体在t=t0时刻的瞬时加速度
答案 ACD
解析 f'（x0）表示曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率，故A正确；
［f（x0）］'表示对函数值f（x0）求导，因为f（x0）是常函数，所以［f（x0）］'=0，
与f'（x0）的意义不一样，故B错误；易知C，D正确.
8.设f'（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f'（x）的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是 （ ）
答案 ABC
解析 检验易知A，B，C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f'（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选A，B，C.
9.小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系如图，记t时刻的瞬时速度为V（t），区间［0，t1］，［0，t2］，［t1，t2］上的平均速度分别为V1，V2，V3，则下列判断正确的有 （ ）
A.V1
C.对于Vi（i=1，2，3），存在mi∈（0，t2），使得V（mi）=Vi
D.整个过程中小明行走的速度一直在加快
答案 ABC
解析 由题意可知V1==，
V2==，
V3==，
由图象可知t1
因此V1=
所以t2>2（t2-t1），
因此V2=
+-=-
=
=>0，
故>V2，故B正确；
设A，B（t2，S0），
分别作出直线OA，OB，AB，
V1==kOA，V2==kOB，
V3==kAB，
瞬时速度V（t）的几何意义就是曲线在t时刻处的切线的斜率；
由图象可知，存在mi∈（0，t2），曲线在x=mi处的切线斜率与kOA，kOB，kAB相等，
即存在mi∈（0，t2），使得V（mi）=Vi，
故C正确；
由图象可知，整个过程中小明行走的速度先变快后变慢，故D不正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
10.曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是 .
答案 2x-y-1=0
解析 因为曲线y=x2，则y'|x=1==2，
故在点（1，1）处的切线方程的斜率为2，
因此切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.
11.已知函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=-2x+8，则f（5）+f'（5）= .
答案 -4
解析 由已知得f（5）=-2×5+8=-2，f'（5）=-2，
所以f（5）+f'（5）=-4.
12.某铁球在0 ℃时，半径为1 dm，当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为t ℃时铁球的半径为（1+at）dm，其中a为常数，则在t=0时，铁球体积对温度的瞬时变化率为 .
答案 4aπ
解析 设温度变化量为Δt，
则
=
=（3a+3a2Δt+a3Δt2）
=4aπ，
所以在t=0时，铁球体积对温度的瞬时变化率为4aπ.
四、解答题（本题共3小题，共37分）
13.（12分）“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后多长时间达到最高点？
解 设烟花达到最高点时的时刻为t0，
根据瞬时速度的定义知Δh=h（t0+Δt）-h（t0）
=-4.9+14.7（t0+Δt）+18-（-4.9+14.7t0+18）
=（-9.8t0+14.7）Δt-4.9（Δt）2，
故瞬时速度为=（-9.8t0+14.7-4.9Δt）=-9.8t0+14.7，
令-9.8t0+14.7=0，
解得t0==1.5，
故烟花冲出1.5 s后达到最高点.
14.（12分）（1）求函数y=在x=1处的导数；（5分）
（2）求函数y=x2+ax+b（a，b为常数）的导数.（7分）
解 （1）由题意可知，Δy=-1，
所以==，
所以==，
所以y'|x=1=.
（2）由题意可知，Δy=［（x+Δx）2+a（x+Δx）+b］-（x2+ax+b）=2x·Δx+（Δx）2+a·Δx，
所以==（2x+a）+Δx.
所以=［（2x+a）+Δx］=2x+a，
所以y'=2x+a.
15.（13分）已知曲线f（x）=.
（1）求过点A（1，0）的切线方程；（6分）
（2）求满足斜率为-的曲线的切线方程.（7分）
解 （1）f'（x）=
==-，
设过点A（1，0）的切线的切点为P，
则f'（x0）=-，
即该切线的斜率k=-，
因为点A（1，0），P在切线上，所以=-，
解得x0=，故切线的斜率k=-4，
故曲线过点（1，0）的切线方程为y=-4（x-1），即4x+y-4=0.
（2）设斜率为-的切线的切点为Q，
由（1），知k=f'（a）=-=-，解得a=±，
所以切点坐标为或，
故满足斜率为-的曲线的切线方程为y-=-（x-）或y+=-（x+），
即x+3y-2=0或x+3y+2=0.
