2024-2025学年江西省宜春市丰城九中八年级（上）开学
数学试卷（A卷）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如果点和点关于直线对称，则的值是( )
A. B. C. D.
4.等腰三角形中有一内角等于，那么这个三角形的最小内角的度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
6.如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，若，则的边长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.如果分式有意义，那么的取值范围是______，如果分式的值为零，那么 ______，如果有意义，那么 ______．
8.如图六边形的内角和为度，如图六边形的内角和为度，则______．
9.勾股定理被誉为“几何明珠”在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图所示，把一个边长分别为，，的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为______．
10.若关于的分式方程有正整数解，则整数为______．
11.若，则 ______．
12.一个三位正整数其中、都是正整数，，，满足各数位上的数字互不相同将的任意两个数位上的数字对调后得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为若，则 ，符合条件的的所有值的和是 ．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角问：多加的这个内角的度数是多少？这个多边形是几边形？
14.本小题分
如图，在中，是的角平分线，，垂足为，求证：．
15.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
请画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
在轴上有一点，则的最小值是______．
16.本小题分
化简求值：，其中与，构成三角形的三边，且为整数．
17.本小题分
我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆运算可得，这就是多项式除以多项式两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算例如，可仿照用竖式计算如图：
因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算．
请用上述方法计算：
；
．
18.本小题分
数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释如图，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形．
利用图中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：．
若用个类材料围成图的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是写出所有正确结论的序号 ______．
；；；；．
若取其中的若干个三种图形都要取到拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______．
若取其中的若干个三种图形都要取到拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______直接写出结果
19.本小题分
如图，在四边形中，，，平分．
如图，若，，则 ______；
问题解决：如图，求证：；
问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：．
20.本小题分
学校准备为运动会的某项活动购买，两种奖品，中奖品的单价比种商品的单价多元，用元购进种奖品和用元购进种商品的数量相同．
种商品和种商品的单价分别是多少？
学校计划用不超过元的资金购进、两种奖品共件，其中种奖品的数量不低于种奖品数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件种商品的售价优惠元，种商品的售价不变，请为学校设计出最省钱的购买方案．
21.本小题分
教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
．
例如求代数式的最小值．
原式
．
可知当时，有最小值，最小值是．
分解因式： ______．
已知的三边长、、都是整数，且满足，求边长的最小值；
当，为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
22.本小题分
问题发现：如图，和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，连接．
的度数为______；
线段、之间的数量关系为______；
拓展探究：如图，和都是等腰直角三角形、，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：如图，和都是等腰三角形，，点、，在同一条直线上，请直接写出的度数．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都是整数的点为“整点”，若坐标系内两个“整点”，满足关于的多项式能够因式分解为，则称点是点的分解点，例如，满足，所以是的“分解点”．
在点，，，中，请找出不存在的“分解点”的点______．
点存在分解点，求代数式的值．
在，都在纵轴轴上，在的上方，点在横轴轴上，且点、、都存在“分解点”，若面积为，请直接写出点的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.或
11.
12.；．
13.解：由题意可知：
多加的内角为．
，
解得．
为正整数，
．
多加的内角为：．
故多加的这个内角是，这个多边形是八边形．
14.证明：是的角平分线，，
，
，
，
．
15.如图，连结，，，即为所求，
和关于轴对称，
，，；
如图，连结，即为所求，
，
的最小值是，
16.解：原式
，
与，构成三角形的三边，
，
，
为整数，
，或，
又，，
且，
，
原式
．
17.解
；
．
．
18.．
．
或或．
19.；
证明：如图，过点分别作于，的延长线于点，则，
平分，
，
，
，
，
≌，
；
证明：如图，在上取，
是等腰三角形，，
，
平分，
，
，
，
，
由可得，，
，
，
，
，
，
，
即．
20.解：设种商品的单价为元，则种商品的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：种商品的单价为元，种商品的单价为元．
设购买种商品件，则购买商品件，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
、、、，
商店共有种购买方案，
当时，，费用为：元；
当时，，费用为：元；
当时，，费用为：元；
当时，，费用为：元；
，
购买种商品件，购买商品件最省钱．
21.；
，
，
即，
，，
、、是的三边长，
，
、、都是整数，
边长的最小值为；
，，
，，
当时，代数式有最大值，最大值为．
22.解：；
，理由如下：
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
都是等腰直角三角形，为中边上的高，
，
；
．
23.，；
点存在分解点，
可以因式分解，
或，
，
，
把代入，得
点，在纵轴上在的上方，，都存在分解点，
点，点都在纵轴的负半轴，
则设点，点为有理数，，
点在横轴上，存在分解点，
当点在负半轴上，
设点，
面积为，
，
，
当时，，不合题意舍去，
当时，，则点，，
当时，，不合题意舍去，
当时，，不合题意舍去，
当点在正半轴上，
设点，
面积为，
，
，
当时，，不合题意舍去，
当时，，则点，，
当时，，不合题意舍去，
当时，，不合题意舍去，
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