抚顺市雷锋高级中学2024年学科竞赛
高二数学试卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单项选择题：（每道题6分，5道题，共30分）
1．已知全集，集合，则集合等于（ ）。
A．或 B．或
C．或 D．或
2．已知复数，则它的共轭复数等于（ ）。
A． B． C． D．
3．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）。
A． B． C． D．
4．已知函数为R上的减函数，则满足＞的实数的取值范围是（ ）。
A、(-∞,1) B、(1,+∞) C、(-∞,0)∪(0,1) D、(-∞,0)∪(1,+∞)
5. 设点A是直径为25的球面上一点，在这个球面上有一个圆，该圆上所有点到点A的距离都是15，那么这个圆的半径为（ ）。
A、8 B、10 C、12 D、15
二、多项选择题：（每小题6分，共2道小题，满分12分.每小题的正确选项都至少有2个，全选对得6分，部分选对得部分。若两个正确选项，选对1个得3分，选对2个得6分；若三个正确选项，选对1个，得2分，选对2个得4分，选对3个得6分）
6.下列关于正方体的叙述正确的有（ ）。
A.截掉一个角形成的三角形截面为锐角三角形；
B.设棱长为a,则与各棱都相切的球表面积为2a2π；
C.正方体内切球的体积为；
D.正方体也叫正六面体
7.已知，。若，则下列说法正确的是（ ）。
A．k=8 B． C． D．反向
三、填空题：（每道小题10分，共2道小题，共20分）
8.在△ABC中，，cosC是方程的一个根，则△ABC周长的最小值为 。
9.已知函数为奇函数,则实数的值为 。
四、解答题：（共2道小题，每道题19分，共38分）
10.已知，函数。
（1）求该函数的最小值及相应的值。（10分）
（2）写出该函数的单调区间。（9分）
11.在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2，侧棱长均为。
（1）求该四棱锥的体积。（9分）
（2）求二面角V-AB-C的大小。（10分）
班 级
姓 名
抚顺市雷锋高级中学2024年学科竞赛
高二数学试卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单项选择题：（每道题6分，5道题，共30分）
题号 1 2 3 4 5
答案
二、多项选择题：（每小题6分，共2道小题，满分12分.每小题的正确选项都至
少有2个，全选对得6分，部分选对得部分。若两个正确选项，选对1个得3
分，选对2个得6分；若三个正确选项，选对1个，得2分，选对2个得4
分，选对3个得6分）
题号 6 7
答案
三、填空题：（每道小题10分，共2道小题，共20分）
8. ； 9.
四、解答题：（共2道小题，每道题19分，共38分）
10.已知，函数。
（1）求该函数的最小值及相应的值。（10分）
（2）写出该函数的单调区间。（9分）
11.在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2，侧棱长均为。
（1）求该四棱锥的体积。（9分）
（2）求二面角V-AB-C的大小。（10分）
抚顺市雷锋高级中学2024年学科竞赛
高二数学试卷
时间：45分钟 满分：100分
一、单项选择题：（每道题6分，5道题，共30分）
1．已知全集，集合，则集合等于（ C ）。
A．或 B．或
C．或 D．或
解：，
或。
2．已知复数，则它的共轭复数等于（ B ）。
A． B． C． D．
解:,.
3．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ B ）。
A． B． C． D．
解：函数的图象向左平移得，
，为偶函数。
4．已知函数为R上的减函数，则满足＞的实数的取值范围是（ D ）。
A、(-∞,1) B、(1,+∞) C、(-∞,0)∪(0,1) D、(-∞,0)∪(1,+∞)
解：因为函数为R上的减函数，＞，所以。。
5. 设点A是直径为25的球面上一点，在这个球面上有一个圆，该圆上所有点到点A的距离都是15，那么这个圆的半径为（ C ）。
A、8 B、10 C、12 D、15
解：AC=15,AB=25,BC=20.,,
,,.
二、多项选择题：（每小题6分，共2道小题，满分12分.每小题的正确选项都至少有2个，全选对得6分，部分选对得部分。若两个正确选项，选对1个得3分，选对2个得6分；若三个正确选项，选对1个，得2分，选对2个得4分，选对3个得6分）
6.下列关于正方体的叙述正确的有（ ABD ）。
A.截掉一个角形成的三角形截面为锐角三角形；
B.设棱长为a,则与各棱都相切的球表面积为2a2π；
C.正方体内切球的体积为；
D.正方体也叫正六面体
7.已知，。若，则下列说法正确的是（ AB ）。
A．k=8 B． C． D．反向
解：因为，且，所以。因为，，所以
k=8 。，。同向。
三、填空题：（每道小题10分，共2道小题，共20分）
8.在△ABC中，，cosC是方程的一个根，则△ABC周长的最小值为。
解：解得或.因为，所以。
由余弦定理得
。。于是周长的最小值为。
9.已知函数为奇函数,则实数的值为 1 。
解：因为奇函数的定义域关于原点对称,所以a=1.
三、解答题：（共2道小题，每道题19分，共38分）
10.已知，函数。
（1）求该函数的最小值及相应的值。（10分）
（2）写出该函数的单调区间。（9分）
解：（1）…………………………………………2分
………………………………………………………………………………2分
。…………………………………………………………………………2分
因为，。…………………………………………2分
令，解得。……………………………………………………2分
（2）作出图像………………………………………………3分
单调递增区间为，…………………………3分
单调递减区间为，…………………………3分
11.在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2，侧棱长均为。
（1）求该四棱锥的体积。（9分）
（2）求二面角V-ABC的大小。（10分）
解：（1）连接BD，取中点O，连接VO。………………1分
因为V-ABCD为正四棱锥，所以VO⊥底面ABCD。
………………………………………………………………2分
因为底面正方形ABCD是边长为2，所以。…………………………………2分
因为侧棱长均为，所以高VO=……………………………………………………2分
VV-ABCD=…………………………………………………………………2分
（2）取AB的中点M，连接OM，则OM⊥AB。…………………………………………1分
因为VA=VB，所以VM⊥AB。………………………………………………………………2分
于是∠VMO是二面角V-AB-C的平面角。……………………………………………………2分
因为底面ABCD是边长为2的正方形，OM=1.……………………………………………2分
所以。………………………………………………………………………2分
。………………………………………………………………………………1分
