安徽省池州市第一中学2025届高三上学期第一次检测数学试题
一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知实数满足，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
3.已知正实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.若函数的定义域为，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
6.已知，，则使“”成立的一个必要不充分条件是 ．
A. B. C. D.
7.若，其中为自然对数的底数，则下列命题正确的是
A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点中心对称
8.若函数既有极大值也有极小值，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.不等式的解集为 ．
10.已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数 ．
11.函数的最小值为 ．
12.已知函数，函数，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
已知函数．
若，求函数的单调区间；
是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
14.本小题分
近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步，华为在年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲，今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产千部手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
求出年的利润万元关于年产量千部的函数关系式，利润销售额成本；
年产量为多少千部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
当时，若在上恒成立，求实数的取值范围；
设为的两个不同零点，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.解：，，即，
，由，
解得，函数的定义域为，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又在上为增函数，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
设存在实数，使函数的最小值为，，
函数的最小值为，函数的最小值为，所以，且，
联立解得：，
存在实数，使函数的最小值为．
14.解：当时，
，
当时，
，
若，
当时，
万元 ，
若，
，
当且仅当，即时，万元，
年产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
15.解：，，
当时，，当时，，
的单调递增区间是，单调递减区间是．
由得，
方程有两个不相等的实数根，
即函数与的图象有两个不同的交点，
函数与的单调性相同，
结合知函数在处取得极大值，即最大值，为
易知当时，，
当时，，且当时，，
所以可得实数的取值范围是．
16.解：当时，，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，即在上恒成立，则，
令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．
故，
所以实数的取值范围是．
证明：要证明，
即证，
只需证和．
由知，当，时，，即，
所以．
要证，即证．
因为为的两个不同零点，不妨设，
所以，，
则，
两边同时乘以，可得，
即．
令，则．
即证，即证，
即证．
令函数，，则，
所以在上单调递增，所以．
所以故．
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