2024-2025学年陕西省西安工业大学附属中学高二上学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数在上单调递增，则的取值范围是．
A. B. C. D.
3.若向量，，则在上的投影向量的坐标是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现的点数为奇数”，“出现的点数不大于”，事件“出现点数为的倍数”，则下列说法正确的是( )
A. 与互为对立事件 B.
C. D.
6.一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有人解出的概率为( )
A. B. C. D.
7.下列说法不正确的是( )
A. 个数据的平均数为，另个数据的平均数为，则这个数据的平均数是
B. 用抽签法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为
C. 一组数据，，，，， 分位数为
D. 若样本数据，，，的平均数为，则数据，，，的平均数为
8.如图所示，在三棱柱中，若，分别为，的中点，平面 将三棱柱分成体积为，的两部分，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列是基本事实的是( )
A. 过三个点有且只有一个平面
B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
10.已知函数，，则( )
A. 与的图象有相同的对称中心
B. 与的图象关于轴对称
C. 与的图象关于轴对称
D. 的解集为
11.在中，，，为内的一点，设，则下列说法正确的是( )
A. 若为的重心，则
B. 若为的外心，则
C. 若为的垂心，则
D. 若为的内心，则
12.在菱形中，，，将沿对角线折起，使点至点在平面外的位置，则( )
A. 在折叠过程中，总有
B. 存在点，使得
C. 当时，三棱锥的外接球的表面积为
D. 当三棱锥的体积最大时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知虚数，其实部为，且，则实数为 ．
14.为了迎接年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生人，女生入、按照分层抽样的方法从该班共抽取人，进行一轮答题．相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为，方差为：女生答对题目的平均数为，方差为，则这人答对题目的方差为 ．
15.已知锐角中，，则的取值范围 ．
16.设，满足，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进行调查，先将调查结果统计如下：
请将表格补充完整，若该地区共有教师人，用频率估计概率，试估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数；
先按照比例分配的分层随机抽样从“反对”的人中抽取人，再从中随机选出人进行深入调研，求深入调研中恰有名学生的概率．
赞成 反对 合计
教师
学生
合计
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，求周长．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．
Ⅰ证明：平面平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
购买基金：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
当时，求的值；
已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围．
21.本小题分
如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．
证明：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
22.本小题分
已知函数的最大值为．
求实数的值；
若向量满足，，，设的夹角为，求的取值范围．
参考答案
1.
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8.
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10.
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14.
15.
16.
17.
表格补充如下：
赞成 反对 合计
教师
学生
合计
人，
即可估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为人；
，，即这人中有人为教师，人为学生，
记这名学生为，名教师记为，，，，
则随机选出人进行深入调研，不同选法有：，
，共种，
恰有名学生的选法有，
共种，
故深入调研中恰有一名学生的概率．
18.解：，
，
又，
由正弦定理可知
结合得
，而，
由得
则的周长为
19.Ⅰ连结，，交于点，
则由∽，得，
，，
平面，平面，
又平面，平面平面．
Ⅱ过作平面的垂线，垂足为，
则即为直线与平面所成角，设为，
设，，
，
即，
解得，
，
直线与平面所成角的正弦值．
20.解：“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
又，．
记事件为“甲投资股市且获利”，事件为“乙购买基金且获利”，事件为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”，
则，且，相互独立．
由题意可知，．
，．
又，，，．
21.解：证明：
，
以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意可得，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则
令，即，，则，
，，
平面．
由知，，
设平面的法向量为，
则
令，即，，即，
由知，，，
设平面的法向量为，
则
令，即，，即，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面的夹角的余弦值为．
22.解：
，
令，则，
当，即时，
，无解
当，即时，
，
解得或，因为，所以，
当，即时，
，
解得舍去
综上；
由可知，
因为，所以，
即，
因为向量满足，， ，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以的取值范围为：．
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