2024年江苏省淮安市中考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，比小的数是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，，点在直线上，点、在直线上，，，则的度数是( )
A. B.
C. D.
5.用一根小木棒与两根长度分别为、的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是( )
A. B. C. D.
6.若关于的一元二次方程有个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为记这个图形的周长实线部分为，则下列整数与最接近的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在 中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点下列说法不正确的是( )
A. 当时，
B. 当点落在上时，四边形是菱形
C. 在点运动的过程中，线段的最小值为
D. 连接，则四边形的面积始终等于
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.计算：______．
10.分解因式：______．
11.年月日嫦娥六号成功发射，它将在相距约的地月之间完成月壤样品的“空中接力”数据用科学记数法表示为______．
12.一只不透明的袋中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球___个
13.如图，是的内接三角形，，半径为，则的长为______．
14.一辆轿车从地驶向地，设出发后，这辆轿车离地路程为，已知与之间的函数表达式为，则轿车从地到达地所用时间是______
15.某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺无空隙、不重叠的拼接而成，铺设方式如图图是其中一块地砖的示意图，，，，，，部分尺寸如图所示单位：结合图、图信息，可求得的长度是______．
16.如图，点是正六边形的边的中点，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过顶点已知正六边形的边长为，则 ______．
三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
解不等式：．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
已知：如图，在矩形中，点、在上，求证：≌．
20.本小题分
张丘建算经由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人若个人共用个盘子，则少个盘子；若个人共用个盘子，则多出来个盘子问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
21.本小题分
历史文化名城淮安有着丰富的旅游资源小明计划假期来淮安游玩，他打算从个人文景点周恩来纪念馆；吴承恩故居；河下古镇中随机选取一个，再从个自然景点金湖水上森林；铁山寺国家森林公园中随机选取一个．
小明从人文景点中选中河下古镇的概率是______；
用树状图或列表的方法求小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率．
22.本小题分
张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路为了解上班路上所用时间，张老师记录了个工作日的上班路上用时其中个工作日走路线一，另外个工作日走路线二根据记录数据绘制成如下统计图：
根据以上数据把表格补充完整：
平均数 中位数 众数 方差 极差
路线一 ______ ______
路线二 ______ ______
请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少个统计量说明理由．
23.本小题分
拉杆箱是外出旅行常用工具某种拉杆箱示意图如图所示滚轮忽略不计，箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上如图，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图，当拉杆伸出两节、时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同求每节拉杆的长度．
参考数据：，，，
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图像交于点已知点坐标为，点坐标为．
求反比例函数及一次函数的表达式；
点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图像于点当时，求点的坐标．
25.本小题分
如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点．
求证：为的切线；
若，，求的值．
26.本小题分
二次函数的图像经过点，顶点为．
______；
当时，
若顶点到轴的距离为，则 ______；
直线过点且垂直于轴，顶点到直线的距离为随着的增大，的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由；
若二次函数图像交轴于、两点，点坐标为，且的面积不小于，求的取值范围．
27.本小题分
综合与实践
【问题初探】某兴趣小组探索这样一个问题：若是的角平分线，则线段、、、有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空：
小智的思路和方法：
如图，作，，垂足分别为、．
平分，，，
______．
，
，
．
再用另一种方式表示与的面积，即可推导出结论
勇的思路和方法：
如图，作，交的延长线于，交的延长线于点．
平分，
．
，
．
．
______．
再通过证明∽得到比例式，得到比例式，从而推导出结论
根据小智或小勇的方法，可以得到线段、、、的数量关系是______．
【变式拓展】小慧对问题作了进一步拓展：如图，在中，，是边上一点，，，求的值请你完成解答．
【迁移应用】请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图的线段上作一点，使要求：不写作法，保留作图痕迹
【综合提升】如图，在中，，，，点在边上，，点在的延长线上，连接，，请直接写出的值用含，的式子表示．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
；
，
不等式的两边同乘以得，，
，
不等式的解集为．
18.解：
；
当时，
原式．
19.证明：四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
≌．
20.解：设有个客人，个盘子．
根据题意，得，
解得，
答：有个客人，个盘子．
21.；
树状图如下所示：
由上可得，一共有种等可能性，其中小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的有种，
小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率为．
22.；；；；
路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，则选路线二．
23.解：如图，作，垂足为，设，则，
，
，
如图，作，垂足为，则，
，
，
，
，
解得：．
答：每节拉杆的长度为．
24.解：把点代入得，
，
解得，
反比例函数的表达式为，
把点，点代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
设，
平行于轴，
，
，
，
，
解得，
，
点的纵坐标为，
把代入得，，
点的坐标为
25.证明：连接，，如图，
为的直径，
，
，
，
点为的中点，
点为的中点，
为的中位线，
，
，
，
，
，
，
为的半径，为的外端点，
为的切线；
解：如上图，
，，，
由勾股定理，得，
由知，
∽，
，
，，，
，
解得，，
，
在中，
由勾股定理，得，
，
，
．
26.；
；
顶点的纵坐标为：，
则，
令，则或，
函数的大致图象如下：
从图象看，当或时，随的最大而增大，当或时，随的增大而减小；
设点、的横坐标为，，
将点的坐标代入抛物线得：，
则，
即抛物线的表达式为：，
则，，
则，
则的面积，
即，
则或，
解得：或且．
27.；；；
如图，过作于点，交的延长线于点，则，
设，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，，
∽，
，
；
如图所示，
作法提示：作角：先作等边三角形，再作的角平分线，交于点；
构造相似：再作，交的延长线于点，易证∽，且相似比为；
作圆：以为圆心，为半径作圆，则为圆与线段的交点．
如图，作于点，于点，
在中，，，
，
，
，，
，
，
在中，，
即，
，
，
，
两边同时平方得，
，
，
在中，，
代入得，
，
在中，，
，
，
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